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Loi normale
Loi de Gauss, courbe en cloche et intervalles de fluctuation — probabilités continues en Terminale
À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Loi normale » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Variable aléatoire à densité : rappels, Définition de la loi normale N(μ, σ), La courbe en cloche et ses propriétés de symétrie, La loi normale centrée réduite N(0, 1). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
1
Variable aléatoire à densité : rappels
Une variable aléatoire à densité (ou variable aléatoire continue) $X$ est une variable dont l'ensemble des valeurs est un intervalle de $\mathbb{R}$. Elle est caractérisée par une fonction densité de probabilité $f$ telle que :
- $f(x) \geq 0$ pour tout $x$
- $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$
- $P(a \leq X \leq b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ (aire sous la courbe entre $a$ et $b$)
Rappel. Pour une variable continue, $P(X = a) = 0$ pour tout réel $a$. On calcule toujours des probabilités sur des intervalles.
L'espérance $E(X)$ représente la valeur moyenne et l'écart-type $\sigma(X)$ mesure la dispersion autour de cette moyenne.
2
Définition de la loi normale N(μ, σ)
Définition. On dit que $X$ suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, notée $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$ (ou $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$), si sa densité est :
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
où $\mu \in \mathbb{R}$ est l'espérance et $\sigma \gt 0$ est l'écart-type.
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
où $\mu \in \mathbb{R}$ est l'espérance et $\sigma \gt 0$ est l'écart-type.
Les paramètres ont une interprétation directe :
| Paramètre | Rôle | Effet sur la courbe |
|---|---|---|
| $\mu$ | Espérance (centre) | Déplace la cloche horizontalement |
| $\sigma$ | Écart-type (dispersion) | Cloche plus étroite si $\sigma$ petit, plus large si $\sigma$ grand |
Attention ! Selon les manuels, la loi normale est parfois notée $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec la variance en second paramètre. Vérifiez toujours la convention utilisée dans votre exercice.
3
La courbe en cloche et ses propriétés de symétrie
La courbe de densité d'une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ a la forme d'une cloche de Gauss. Elle possède plusieurs propriétés fondamentales :
- Symétrie : la courbe est symétrique par rapport à la droite $x = \mu$
- Maximum : atteint en $x = \mu$, la valeur maximale de $f$ est $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$
- Points d'inflexion : en $x = \mu - \sigma$ et $x = \mu + \sigma$
- Asymptote : la courbe s'approche de l'axe des abscisses sans jamais le toucher
- Aire totale : $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$
Propriété de symétrie. Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$ :
$$P(X \leq \mu - t) = P(X \geq \mu + t)$$
et donc $P(\mu - t \leq X \leq \mu + t) = 1 - 2P(X \leq \mu - t)$
$$P(X \leq \mu - t) = P(X \geq \mu + t)$$
et donc $P(\mu - t \leq X \leq \mu + t) = 1 - 2P(X \leq \mu - t)$
Exemple. Si $X \sim \mathcal{N}(10, 2)$, alors $P(X \leq 6) = P(X \geq 14)$ (symétrie par rapport à $\mu = 10$, à distance $t = 4 = 2\sigma$).
4
La loi normale centrée réduite N(0, 1)
Définition. La loi normale centrée réduite, notée $\mathcal{N}(0,1)$, est la loi normale avec $\mu = 0$ et $\sigma = 1$. Sa densité est :
$$\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{t^2}{2}}$$
$$\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{t^2}{2}}$$
La fonction de répartition de la loi $\mathcal{N}(0,1)$ est notée $\Phi$ :
$$\Phi(t) = P(Z \leq t) = \int_{-\infty}^t \varphi(u)\,du$$
Elle est disponible dans les tables ou à la calculatrice. On retient :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Symétrie | $\Phi(-t) = 1 - \Phi(t)$ |
| Probabilité centrée | $P(-t \leq Z \leq t) = 2\Phi(t) - 1$ |
| Valeur en 0 | $\Phi(0) = 0{,}5$ |
Attention ! La formule $\Phi(-t) = 1 - \Phi(t)$ découle de la symétrie de la courbe par rapport à 0. Elle est indispensable pour les calculs avec des bornes négatives.
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Centrage et réduction : passage à N(0, 1)
Théorème (centrage-réduction). Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$, alors la variable $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$.
Cela permet de ramener tout calcul de probabilité à l'utilisation de la table de $\Phi$ :
$$P(a \leq X \leq b) = P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{b-\mu}{\sigma}\right) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$
Exemple. Soit $X \sim \mathcal{N}(50, 10)$. Calculer $P(30 \leq X \leq 65)$.
On centre et réduit : $\frac{30-50}{10} = -2$ et $\frac{65-50}{10} = 1{,}5$.
Donc $P(30 \leq X \leq 65) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-2) = \Phi(1{,}5) - (1-\Phi(2))$.
$= 0{,}9332 - (1 - 0{,}9772) = 0{,}9332 - 0{,}0228 = 0{,}9104$
On centre et réduit : $\frac{30-50}{10} = -2$ et $\frac{65-50}{10} = 1{,}5$.
Donc $P(30 \leq X \leq 65) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-2) = \Phi(1{,}5) - (1-\Phi(2))$.
$= 0{,}9332 - (1 - 0{,}9772) = 0{,}9332 - 0{,}0228 = 0{,}9104$
Méthode. Pour calculer $P(a \leq X \leq b)$ :
1. Calculer $\alpha = \dfrac{a-\mu}{\sigma}$ et $\beta = \dfrac{b-\mu}{\sigma}$
2. Calculer $\Phi(\beta) - \Phi(\alpha)$
3. Si l'une des bornes est négative, utiliser $\Phi(-t) = 1 - \Phi(t)$
1. Calculer $\alpha = \dfrac{a-\mu}{\sigma}$ et $\beta = \dfrac{b-\mu}{\sigma}$
2. Calculer $\Phi(\beta) - \Phi(\alpha)$
3. Si l'une des bornes est négative, utiliser $\Phi(-t) = 1 - \Phi(t)$
6
La règle des 68-95-99,7 %
Règle des 68-95-99,7 %. Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$ :
$$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}6827 \approx 68\,\%$$
$$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9545 \approx 95\,\%$$
$$P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0{,}9973 \approx 99{,}7\,\%$$
$$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}6827 \approx 68\,\%$$
$$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9545 \approx 95\,\%$$
$$P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0{,}9973 \approx 99{,}7\,\%$$
Cette règle permet des estimations rapides sans calculatrice.
Exemple. La taille des adultes français suit approximativement une loi $\mathcal{N}(175, 7)$ (en cm). Alors :
• environ 68 % mesurent entre 168 cm et 182 cm ($175 \pm 7$)
• environ 95 % mesurent entre 161 cm et 189 cm ($175 \pm 14$)
• environ 99,7 % mesurent entre 154 cm et 196 cm ($175 \pm 21$)
• environ 68 % mesurent entre 168 cm et 182 cm ($175 \pm 7$)
• environ 95 % mesurent entre 161 cm et 189 cm ($175 \pm 14$)
• environ 99,7 % mesurent entre 154 cm et 196 cm ($175 \pm 21$)
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Calcul de probabilités avec la loi normale
Les calculatrices (TI, Casio, NumWorks) disposent de fonctions intégrées pour les lois normales :
| Calcul souhaité | TI-82/83/84 | Casio |
|---|---|---|
| $P(a \leq X \leq b)$ avec $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma)$ | normalcdf(a, b, μ, σ) | Norm CD(a, b, σ, μ) |
| $P(X \leq b)$ | normalcdf(−1E99, b, μ, σ) | Norm CD(−∞, b, σ, μ) |
| Valeur $x_0$ telle que $P(X \leq x_0) = p$ | invNorm(p, μ, σ) | Inv Norm(p, σ, μ) |
Astuce calculatrice. Pour modéliser $P(X \leq b)$ avec $P(a \leq X \leq b)$, on pose $a = -10^{99}$ (ou $-\infty$ si disponible) sur les calculatrices.
Exemple complet. $X \sim \mathcal{N}(120, 15)$. Calculer $P(X \geq 140)$.
Méthode 1 (centrage-réduction) :
$P(X \geq 140) = P\!\left(Z \geq \dfrac{140 - 120}{15}\right) = P\!\left(Z \geq \dfrac{4}{3}\right) \approx P(Z \geq 1{,}33)$
$= 1 - \Phi(1{,}33) \approx 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918$
Méthode 2 (calculatrice) :
normalcdf(140, 1E99, 120, 15) $\approx 0{,}0912$
Méthode 1 (centrage-réduction) :
$P(X \geq 140) = P\!\left(Z \geq \dfrac{140 - 120}{15}\right) = P\!\left(Z \geq \dfrac{4}{3}\right) \approx P(Z \geq 1{,}33)$
$= 1 - \Phi(1{,}33) \approx 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918$
Méthode 2 (calculatrice) :
normalcdf(140, 1E99, 120, 15) $\approx 0{,}0912$
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Modélisation par la loi normale
La loi normale intervient naturellement dans de nombreux domaines. Elle modélise un phénomène quand :
- La variable résulte de la somme de nombreux effets indépendants (théorème central limite)
- La distribution est symétrique, unimodale et en forme de cloche
- La variable peut prendre toutes les valeurs réelles (ou sur un grand intervalle)
| Domaine | Exemple de variable normale | Paramètres typiques |
|---|---|---|
| Biologie | Taille des individus d'une espèce | $\mu$ = taille moyenne, $\sigma$ = variabilité |
| Industrie | Masse d'un produit fabriqué en série | $\mu$ = masse cible, $\sigma$ = précision |
| Métrologie | Erreurs de mesure | $\mu = 0$ (non biaisé), $\sigma$ = précision |
| Statistique | Moyenne d'un grand échantillon | Théorème central limite |
Attention ! La loi normale ne convient pas pour des variables strictement positives à faible valeur (comme des revenus très concentrés), ni pour des distributions asymétriques. Dans ces cas, d'autres lois sont plus adaptées.
Exemple — contrôle qualité. Une machine produit des pièces dont la longueur suit $\mathcal{N}(50, 0{,}3)$ mm. Les pièces sont conformes si leur longueur est dans $[49{,}4 ; 50{,}6]$ mm.
$$P(49{,}4 \leq X \leq 50{,}6) = P\!\left(\frac{49{,}4-50}{0{,}3} \leq Z \leq \frac{50{,}6-50}{0{,}3}\right) = P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 95\,\%$$
Environ 95 % des pièces sont conformes.
$$P(49{,}4 \leq X \leq 50{,}6) = P\!\left(\frac{49{,}4-50}{0{,}3} \leq Z \leq \frac{50{,}6-50}{0{,}3}\right) = P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 95\,\%$$
Environ 95 % des pièces sont conformes.
En bref — Loi normale
- $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$ : courbe en cloche, symétrique en $\mu$, d'étalement $\sigma$
- Centrage-réduction : $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$
- $P(a \leq X \leq b) = \Phi\!\left(\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)$
- Symétrie : $\Phi(-t) = 1 - \Phi(t)$
- Règle 68-95-99,7 % : $\approx$ 68 % dans $[\mu \pm \sigma]$, 95 % dans $[\mu \pm 2\sigma]$, 99,7 % dans $[\mu \pm 3\sigma]$
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