Loi à densité, fonction de répartition et espérance — programme de Maths complémentaires Terminale
Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Vérification et calcul d'une densité
Corrigé :
1. $\int_0^1 kx(1-x)\,dx=k\int_0^1(x-x^2)\,dx=k\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=k\cdot\frac{1}{6}=1$, donc $k=6$.
2. $P=\int_{1/4}^{3/4}6x(1-x)\,dx=6\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{1/4}^{3/4}=6\left(\frac{9}{32}-\frac{9}{192}-\frac{1}{32}+\frac{1}{192}\right)$. En calculant : $=6\times\frac{11}{32}=\frac{11}{16}=0{,}6875$.
3. $F(t)=6\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^t=3t^2-2t^3$.
Exercice 2 — Espérance et variance
Corrigé :
1. $E(X)=\int_0^1 x\cdot 6x(1-x)\,dx=6\int_0^1(x^2-x^3)\,dx=6\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=6\times\frac{1}{12}=\frac{1}{2}$.
2. $E(X^2)=6\int_0^1(x^3-x^4)\,dx=6\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=6\times\frac{1}{20}=\frac{3}{10}$. $V(X)=\frac{3}{10}-\frac{1}{4}=\frac{6}{20}-\frac{5}{20}=\frac{1}{20}$.
3. $\sigma(X)=\sqrt{\frac{1}{20}}=\frac{1}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0{,}224$.
Exercice 3 — Loi uniforme et application
Corrigé :
1. $P(X\leq 4)=\frac{4}{15}\approx 0{,}267$.
2. $E(X)=\frac{0+15}{2}=7{,}5$ min ; $V(X)=\frac{15^2}{12}=\frac{225}{12}=18{,}75$ ; $\sigma(X)=\sqrt{18{,}75}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4{,}33$ min.
3. $F(t_0)=\frac{t_0}{15}=0{,}8\Rightarrow t_0=12$ minutes.
Exercice 4 — Médiane et quantiles
Corrigé :
1. $\int_0^4\frac{1}{2}\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times 8=\frac{8}{6}$... Correction : $\int_0^4\frac{\sqrt{x}}{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}[x^{3/2}]_0^4=\frac{1}{3}\times 8=\frac{8}{3}\neq 1$. Donc $k=\frac{3}{8}$ convient : $f(x)=\frac{3}{8}\sqrt{x}$. Note : en acceptant $f(x)=\frac{3}{8}x^{1/2}$, on vérifie $\int_0^4\frac{3}{8}\sqrt{x}\,dx=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3}\cdot 8=1$ ✓.
2. $F(t)=\int_0^t\frac{3}{8}\sqrt{x}\,dx=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}=\frac{t^{3/2}}{4}$ pour $t\in[0;4]$.
3. $F(m)=\frac{m^{3/2}}{4}=0{,}5\Rightarrow m^{3/2}=2\Rightarrow m=2^{2/3}=\sqrt[3]{4}\approx 1{,}587$.
Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
1. $f\geq 0$ sur $[0;2]$ (car $x+1\geq 1>0$). $\int_0^2\frac{2}{9}(x+1)\,dx=\frac{2}{9}[\frac{x^2}{2}+x]_0^2=\frac{2}{9}\times\frac{8}{2}=\frac{2}{9}\times 4=\frac{8}{9}$... En recalculant : $\frac{2}{9}(2+2)=\frac{8}{9}\neq 1$. La densité correcte est $f(x)=\frac{2(x+1)}{8}=\frac{x+1}{4}$ sur $[0;2]$. Vérification : $\int_0^2\frac{x+1}{4}\,dx=\frac{1}{4}[\frac{x^2}{2}+x]_0^2=\frac{1}{4}(2+2)=1$ ✓.
2. $E(X)=\int_0^2\frac{x(x+1)}{4}\,dx=\frac{1}{4}[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}]_0^2=\frac{1}{4}(\frac{8}{3}+2)=\frac{1}{4}\cdot\frac{14}{3}=\frac{7}{6}$.
$E(X^2)=\frac{1}{4}\int_0^2(x^3+x^2)\,dx=\frac{1}{4}[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}]_0^2=\frac{1}{4}(4+\frac{8}{3})=\frac{1}{4}\cdot\frac{20}{3}=\frac{5}{3}$. $V(X)=\frac{5}{3}-\frac{49}{36}=\frac{60-49}{36}=\frac{11}{36}$.
3. $V(Y)=a^2V(X)=a^2\frac{11}{36}=\frac{1}{9}\Rightarrow a^2=\frac{4}{11}$... Avec les valeurs exactes : on utilise $V(X)=\frac{11}{36}$, $a^2\cdot\frac{11}{36}=\frac{1}{9}\Rightarrow a=\frac{2}{\sqrt{11}}$. Puis $E(Y)=aE(X)+b=\frac{2}{\sqrt{11}}\cdot\frac{7}{6}+b=2$.
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