Suites numériques

Exercice 1 — Suites arithmétiques et sommes
a) $r = \dfrac{u_5 - u_0}{5} = \dfrac{17-(-3)}{5} = 4$. Terme général : $u_n = -3 + 4n$.
b) $u_{20} = -3 + 80 = 77$. $S = 21 \times \dfrac{-3 + 77}{2} = 21 \times 37 = 777$.

Exercice 2 — Suites géométriques
a) $\dfrac{v_5}{v_2} = q^3 = \dfrac{324}{12} = 27$, donc $q = 3$.
$v_0 = v_2 / q^2 = 12/9 = \dfrac{4}{3}$.
b) $v_n = \dfrac{4}{3} \times 3^n = 4 \times 3^{n-1}$.

Exercice 3 — Variations et bornitude
a) $w_{n+1} - w_n = \dfrac{2(n+1)+3}{(n+1)+2} - \dfrac{2n+3}{n+2} = \dfrac{2n+5}{n+3} - \dfrac{2n+3}{n+2}$.
$= \dfrac{(2n+5)(n+2) - (2n+3)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \dfrac{2n^2+9n+10 - 2n^2-9n-9}{(n+3)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+3)(n+2)} > 0$. Donc $(w_n)$ est strictement croissante.
b) $w_n = \dfrac{2n+3}{n+2} = 2 - \dfrac{1}{n+2} < 2$ pour tout $n \geq 0$. La suite est majorée par 2.
Monotone et bornée → $(w_n)$ converge. Sa limite est 2.

Exercice 4 — Raisonnement par récurrence
a) Initialisation : pour $n=1$ : $\sum_{k=1}^{1}(2k-1) = 1 = 1^2$ ✓.
Hérédité : supposons $\sum_{k=1}^{n}(2k-1) = n^2$. Alors :
$\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1) = n^2 + (2(n+1)-1) = n^2 + 2n+1 = (n+1)^2$ ✓.
Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n \geq 1$.
b) C'est la somme des $n$ premiers entiers impairs : 1, 3, 5, …, $(2n-1)$.

Exercice 5 — Modélisation — suite récurrente et affine
a) $C_{n+1} = 1{,}08 \times C_n - 50$, $C_0 = 2000$.
b) On cherche $a$ tel que $D_{n+1} = 1{,}08 D_n$ : $C_{n+1} - a = 1{,}08(C_n - a) \Rightarrow 1{,}08 C_n - 50 - a = 1{,}08 C_n - 1{,}08a \Rightarrow -50 = -0{,}08a \Rightarrow a = 625$.
Donc $D_n = C_n - 625$ est géométrique de raison $1{,}08$ et $D_0 = 2000 - 625 = 1375$.
c) $D_n = 1375 \times 1{,}08^n$, donc $C_n = 1375 \times 1{,}08^n + 625$.