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Maths complémentaires (option Tle) · Classe de Terminale

Limites de suites

Convergence, divergence et comportement asymptotique des suites numériques (programme Maths complémentaires Terminale)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Limites de suites » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths complémentaires (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Définition intuitive : convergence et divergence, Limite finie : suite convergente, Limite infinie : suite divergente vers ±∞, Opérations sur les limites. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths complémentaires (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Limites de suites classiques

/ 4 pts
  1. Calculer $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7}$.
  2. Calculer $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^3 - 2n}{n^2 + 1}$.
  3. Calculer $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{(-1)^n + n}{n}$.
  4. Calculer $\lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \cdot n$.

Exercice 2 — Théorème des gendarmes

/ 4 pts
  1. Soit $u_n = \dfrac{2 + \sin n}{n}$. Montrer que $\dfrac{1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{3}{n}$ pour tout $n \geq 1$, puis en déduire $\lim u_n$.
  2. Soit $v_n = \dfrac{n \cos^2 n}{n^2 + 1}$. Montrer que $0 \leq v_n \leq \dfrac{1}{n}$, puis calculer $\lim v_n$.

Exercice 3 — Suites géométriques et comportement

/ 4 pts
  1. Un capital $C_0 = 2000$ € est placé à un taux annuel de 1,5 %. Exprimer $C_n$ (capital après $n$ ans) en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $(C_n)$.
  2. Soit $u_n = 5 \times \left(-\dfrac{2}{3}\right)^n$. La suite est-elle convergente ? Justifier et donner la limite le cas échéant.
  3. Soit $u_n = a \cdot q^n$ avec $a = 3$ et $q = -1$. Que dire de la limite ?

Exercice 4 — Suite définie par récurrence

/ 4 pts
  1. On définit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}$.
  2. a) Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$. Conjecturer la limite.
  3. b) Montrer par récurrence que $u_n \leq 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  4. c) Montrer que la suite est croissante.
  5. d) Conclure sur la convergence et calculer la limite $L$ (point fixe de $f : x \mapsto \frac{x+3}{2}$).

Exercice 5 — Problème de synthèse

/ 4 pts
  1. On considère la suite définie par $u_n = \sqrt{n^2 + n} - n$ pour $n \geq 1$.
  2. a) Calculer $u_1$, $u_4$ (valeurs approchées).
  3. b) Montrer que $u_n = \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$ en multipliant par le conjugué.
  4. c) En déduire $\lim_{n\to+\infty} u_n$ (simplifier par $n$ au numérateur et dénominateur).
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Limites de suites classiques
Corrigé :
a) On divise par $n^2$ : $\dfrac{5 - 3/n + 1/n^2}{2 + 7/n^2} \to \dfrac{5}{2}$.
b) On divise par $n^2$ : $\dfrac{n - 2/n}{1 + 1/n^2} \to +\infty$ (numérateur $\to +\infty$, dénominateur $\to 1$).
c) $\dfrac{(-1)^n}{n} + 1$ : le premier terme est encadré par $\pm 1/n \to 0$, donc la limite est $1$.
d) $(3/4)^n \to 0$ bien plus vite que $n \to +\infty$ (décroissance géométrique contre croissance linéaire) : limite $= 0$.

Exercice 2 — Théorème des gendarmes
Corrigé :
a) On a $-1 \leq \sin n \leq 1$ donc $1 \leq 2 + \sin n \leq 3$, d'où $\frac{1}{n} \leq u_n \leq \frac{3}{n}$. Or $\frac{1}{n} \to 0$ et $\frac{3}{n} \to 0$, donc par le théorème des gendarmes $\lim u_n = 0$.
b) $0 \leq \cos^2 n \leq 1$ donc $0 \leq v_n \leq \frac{n}{n^2+1} \leq \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$. Par gendarmes $\lim v_n = 0$.

Exercice 3 — Suites géométriques et comportement
Corrigé :
a) $C_n = 2000 \times 1{,}015^n$. Comme $q = 1{,}015 > 1$, $\lim C_n = +\infty$ : le capital augmente indéfiniment.
b) $|q| = 2/3 < 1$ donc $(−2/3)^n \to 0$, et $u_n = 5 \times (−2/3)^n \to 0$ : la suite converge vers $0$.
c) $q = -1$ : la suite $3 \times (-1)^n$ vaut $3$ ou $-3$ alternativement. Elle n'a pas de limite (diverge par oscillation).

Exercice 4 — Suite définie par récurrence
Corrigé :
a) $u_1 = \frac{1+3}{2}=2$ ; $u_2 = \frac{2+3}{2}=2{,}5$ ; $u_3 = \frac{2{,}5+3}{2}=2{,}75$. On conjecture $L=3$.
b) Initialisation : $u_0=1 \leq 3$. Hérédité : si $u_n \leq 3$, alors $u_{n+1}=\frac{u_n+3}{2} \leq \frac{3+3}{2}=3$. ✓
c) $u_{n+1}-u_n = \frac{u_n+3}{2}-u_n = \frac{3-u_n}{2} \geq 0$ car $u_n \leq 3$. Donc la suite est croissante.
d) Croissante et majorée par $3$ → convergente par le théorème. Point fixe : $L = \frac{L+3}{2}$ donne $2L = L+3$ donc $L = 3$.

Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
a) $u_1 = \sqrt{2}-1 \approx 0{,}41$ ; $u_4 = \sqrt{20}-4 \approx 0{,}47$.
b) $u_n = (\sqrt{n^2+n}-n) \cdot \dfrac{\sqrt{n^2+n}+n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \dfrac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} = \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$.
c) On divise numérateur et dénominateur par $n$ ($n>0$) :
$u_n = \dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}+1} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \dfrac{1}{\sqrt{1}+1} = \dfrac{1}{2}$.
Donc $\lim_{n\to+\infty} u_n = \dfrac{1}{2}$.

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