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Maths complémentaires (option Tle) · Classe de Terminale

Équations différentielles

Résolution des équations y' = ay et y' = ay + b — modélisation en Terminale

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Équations différentielles » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths complémentaires (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?, Équation y' = ay : solution générale, Condition initiale et solution particulière de y' = ay, Équation y' = ay + b : solution générale. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths complémentaires (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Solution générale et vérification

/ 4 pts
  1. Donner la solution générale de l'équation différentielle $y' = -4y$.
  2. Vérifier que la fonction $g(x) = 3e^{-4x}$ est bien une solution de $y' = -4y$.
  3. La fonction nulle $y = 0$ est-elle solution ? Justifier.

Exercice 2 — Condition initiale

/ 5 pts
  1. Résoudre l'équation différentielle $y' = -3y + 12$ (solution générale).
  2. Déterminer la solution particulière vérifiant $y(0) = 8$.
  3. Calculer $y(2)$ en valeur exacte, puis valeur approchée à $10^{-2}$.
  4. Étudier le comportement de $y(x)$ quand $x \to +\infty$.

Exercice 3 — Modélisation — population

/ 5 pts
  1. Une population de micro-organismes évolue selon $P'(t) = 0{,}4 P(t)$ (en milliers, $t$ en heures) avec $P(0) = 1$.
  2. a) Exprimer $P(t)$.
  3. b) Calculer $P(5)$ (arrondir à 0,1).
  4. c) Déterminer au bout de combien d'heures la population atteint 10 milliers (arrondir à 0,1).

Exercice 4 — Étude d'une solution et représentation

/ 3 pts
  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2 - x)e^x$.
  2. a) Montrer que $f$ ne vérifie pas $f' = f$.
  3. b) Quelle équation différentielle de la forme $y' = ay + b$ la fonction $f$ vérifie-t-elle ? (Calculer $f'$ et exprimer $f'$ en fonction de $f$.)

Exercice 5 — Problème de refroidissement

/ 3 pts
  1. Une pièce initialement à 18°C se réchauffe selon $T'(t) = 0{,}2(22 - T(t))$ où $t$ est en minutes.
  2. a) Montrer que l'équation s'écrit $T' = -0{,}2 T + 4{,}4$.
  3. b) Donner la solution générale, puis la solution particulière avec $T(0) = 18$.
  4. c) Vers quelle température la pièce tend-elle ?
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Solution générale et vérification
Corrigé :
1. La solution générale de $y' = -4y$ est $y(x) = Ce^{-4x}$, $C \in \mathbb{R}$. (1 pt)
2. $g'(x) = -12e^{-4x}$ et $-4g(x) = -4 \times 3e^{-4x} = -12e^{-4x}$ ✓ Donc $g' = -4g$. (2 pts)
3. Oui : $y = 0$ correspond à $C = 0$. $y' = 0 = -4 \times 0$ ✓ (1 pt)

Exercice 2 — Condition initiale
Corrigé :
1. $a = -3$, $b = 12$ : $-b/a = 12/3 = 4$. Solution générale : $y = Ce^{-3x} + 4$. (1 pt)
2. $y(0) = C + 4 = 8 \Rightarrow C = 4$. Solution : $y(x) = 4e^{-3x} + 4$. (2 pts)
3. $y(2) = 4e^{-6} + 4 \approx 4 \times 0{,}00248 + 4 \approx 4{,}01$. (1 pt)
4. Comme $a = -3 < 0$, $e^{-3x} \to 0$ donc $y(x) \to 4$. La solution converge vers 4. (1 pt)

Exercice 3 — Modélisation — population
Corrigé :
a) $P(t) = e^{0{,}4t}$ (car $C = 1$). (1 pt)
b) $P(5) = e^2 \approx 7{,}4$ milliers. (1 pt)
c) $e^{0{,}4t} = 10 \Rightarrow 0{,}4t = \ln 10 \Rightarrow t = \frac{\ln 10}{0{,}4} \approx \frac{2{,}303}{0{,}4} \approx 5{,}8$ heures. (3 pts)

Exercice 4 — Étude d'une solution et représentation
Corrigé :
a) $f'(x) = -e^x + (2-x)e^x = (1-x)e^x$. Or $f(x) = (2-x)e^x \neq (1-x)e^x$ en général. Donc $f' \neq f$. (1 pt)
b) $f'(x) = (1-x)e^x$ et $f(x) = (2-x)e^x$. Alors $f'(x) = f(x) - e^x$. Or $e^x = f(x) - (1-x)e^x + (1-x)e^x$... On essaie autrement : $f'(x) = (1-x)e^x = f(x) + (-1)e^x$. Mais $e^x$ n'est pas un multiple simple de $f$. En réalité : $f' = f - e^x$ ce qui n'est pas une équation différentielle du programme (le second membre dépend de $x$). L'exercice illustre qu'une fonction quelconque ne satisfait pas forcément $y' = ay + b$. (2 pts)

Exercice 5 — Problème de refroidissement
Corrigé :
a) $T' = 0{,}2(22 - T) = 0{,}2 \times 22 - 0{,}2T = 4{,}4 - 0{,}2T = -0{,}2T + 4{,}4$. (1 pt)
b) $a = -0{,}2$, $-b/a = 4{,}4/0{,}2 = 22$. Sol. générale : $T = Ce^{-0{,}2t} + 22$. Cond. initiale : $C + 22 = 18 \Rightarrow C = -4$. Sol. particulière : $T(t) = -4e^{-0{,}2t} + 22$. (1 pt)
c) Quand $t \to +\infty$, $e^{-0{,}2t} \to 0$, donc $T \to 22$ °C. (1 pt)

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