Calcul intégral

Exercice 1 — Calcul d'intégrales classiques
Corrigé :
1. $\displaystyle\int_1^2\left(x^2+\frac{1}{x}\right)dx = \left[\frac{x^3}{3}+\ln x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3}+\ln 2\right)-\frac{1}{3} = \frac{7}{3}+\ln 2$.
2. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\sin x + \cos x)\,dx = [-\cos x + \sin x]_0^{\pi/2} = (0+1)-(-1+0) = 2$.
3. $\displaystyle\int_0^{\ln 3} e^x\,dx = [e^x]_0^{\ln 3} = 3 - 1 = 2$.

Exercice 2 — Théorème fondamental de l'analyse
Corrigé :
1. Par le théorème fondamental : $F'(x) = x^2 - 3x + 1$. Et $F(2) = \int_2^2 \ldots = 0$.
2. On pose $u = x^3$, donc $G = \int_0^u \cos t\,dt$. Règle de la chaîne : $G'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2$.

Exercice 3 — Calcul d'aire entre deux courbes
Corrigé :
1. $x^2-2x = x \Leftrightarrow x^2-3x=0 \Leftrightarrow x(x-3)=0$. Points : $x=0$ et $x=3$.
2. Sur $[0,3]$ : $g(x)-f(x)=x-(x^2-2x)=3x-x^2=x(3-x) \geq 0$. Donc $g \geq f$ sur $[0,3]$.
3. $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^3 (3x-x^2)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{2}-9 = \frac{9}{2}$ u.a.

Exercice 4 — Valeur moyenne
Corrigé :
1. $\mu = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^2 e^x\,dx = \dfrac{1}{2}[e^x]_0^2 = \dfrac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19$.
2. Géométriquement, $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $[0,2]$ dont l'aire est égale à celle sous la courbe de $e^x$ de 0 à 2.

Exercice 5 — Problème de synthèse — Linéarité
Corrigé : Par linéarité : $\displaystyle\int_0^1(4f-2g+5)\,dx = 4\int_0^1 f\,dx - 2\int_0^1 g\,dx + 5\int_0^1 1\,dx = 4 \times 3 - 2 \times 1 + 5 \times 1 = 12 - 2 + 5 = 15$.