La trigonométrie dans le triangle rectangle

Exercice 1 — Reconnaître les côtés et écrire les rapports
Corrigé : Pour $\widehat{E}$ : adjacent $=DE=9$, opposé $=DF=12$, hypoténuse $=EF=15$. Donc $\cos(\widehat{E})=\dfrac{9}{15}=0{,}6$, $\sin(\widehat{E})=\dfrac{12}{15}=0{,}8$ et $\tan(\widehat{E})=\dfrac{12}{9}\approx 1{,}33$. Vérification : $0{,}6^2+0{,}8^2=1$.

Exercice 2 — Calculer une longueur
Corrigé : Adjacent + hypoténuse → cosinus : $GH=14\times\cos(38°)\approx 14\times 0{,}788\approx 11{,}0$ cm. Opposé + hypoténuse → sinus : $GI=14\times\sin(38°)\approx 14\times 0{,}616\approx 8{,}6$ cm.

Exercice 3 — Calculer un angle
Corrigé : Opposé + adjacent → tangente : $\tan(\widehat{B})=\dfrac{7}{10}=0{,}7$, donc $\widehat{B}=\tan^{-1}(0{,}7)\approx 35°$. Les deux angles aigus sont complémentaires, donc le second mesure $90°-35°=55°$.

Exercice 4 — Problème : hauteur d'une tour
Corrigé : La hauteur est le côté opposé à l'angle de $52°$ et la distance au sol ($45$ m) est le côté adjacent. On utilise la tangente : $\tan(52°)=\dfrac{h}{45}$, donc $h=45\times\tan(52°)\approx 45\times 1{,}280\approx 57{,}6$ m. La tour mesure environ $57{,}6$ m.

Exercice 5 — Problème : skier sur une piste
Corrigé : On connaît l'opposé (dénivelé $200$ m) et l'hypoténuse ($800$ m) : on utilise le sinus. $\sin(\theta)=\dfrac{200}{800}=0{,}25$, donc $\theta=\sin^{-1}(0{,}25)\approx 14{,}5°\approx 15°$ (on accepte $14°$). La piste est inclinée d'environ $15°$.