Ressources · 2ⁿᵈᵉ · Physique-Chimie (2nde)

Signaux et capteurs : circuit électrique, loi d'Ohm et capteurs

Loi des nœuds, loi des mailles, loi d'Ohm, caractéristique d'un dipôle et capteurs électriques (thème Ondes et signaux)

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Signaux et capteurs : circuit électrique, loi d'Ohm et capteurs » en seconde permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en physique-chimie (2nde). Ils suivent le programme officiel de seconde et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Circuits en série et en dérivation : tension, intensité, mesures, Loi des nœuds et loi des mailles, Caractéristique d'un dipôle et loi d'Ohm. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en physique-chimie (2nde) en seconde.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Éclairage d'une maquette de maison

Moyen

Pour éclairer une maquette, on utilise un générateur qui maintient une tension constante $U_{P N} = 13, 8$ V. La lampe L1 (entrée) est placée en série avec un ensemble de deux lampes L2 (salon) et L3 (cuisine) montées en dérivation. On mesure : tension aux bornes de L1 : $U_{1}$ = 5,9 V ; intensité dans la branche principale : I = 0,84 A ; intensité dans L2 : $I_{2}$ = 0,47 A. Dans tout le problème, on modélise chaque lampe par un conducteur ohmique de résistance constante.

1. Déterminer les tensions $U_{2}$ et $U_{3}$ aux bornes des lampes L2 et L3, en citant les lois utilisées.
2. Calculer l'intensité $I_{3}$ du courant qui traverse L3.
3. Montrer que la résistance de L1 vaut environ 7,02 Ω, puis calculer celles de L2 et de L3.
4. a) La lampe L3 grille : sa branche est ouverte. Calculer la nouvelle intensité I' du courant dans le circuit.
4. b) Un élève affirme : « L2 est en dérivation, donc l'intensité qui la traverse ne change pas quand L3 grille. » Expliquer son erreur et indiquer comment évoluent les éclats de L1 et de L2.
5. Calculer les nouvelles tensions aux bornes de L1 et de L2 et vérifier qu'elles respectent la loi des mailles.

1. L2 et L3 sont en dérivation (branchées entre les deux mêmes nœuds) : elles ont la même tension, $U_{2} = U_{3}$ . Loi des mailles sur la maille (générateur, L1, L2) : $U_{P N} = U_{1} + U_{2}$ , d'où $U_{2} = 13, 8 - 5, 9 = 7, 9$ V. Donc $U_{2} = U_{3} = 7, 9$ V.

2. Le courant I qui traverse L1 se partage au nœud entre L2 et L3. Loi des nœuds : $I = I_{2} + I_{3}$ , d'où $I_{3} = 0, 84 - 0, 47$ , soit $I_{3} = 0, 37$ A.

3. L1 est dans la branche principale, traversée par I = 0,84 A. Modèle ohmique : $R_{1} = \frac{U_{1}}{I} = \frac{5, 9}{0, 84} \approx 7, 02$ Ω, ce qu'il fallait montrer. De même : $R_{2} = \frac{7, 9}{0, 47} \approx 16, 8$ Ω et $R_{3} = \frac{7, 9}{0, 37} \approx 21, 4$ Ω. R1 ≈ 7,02 Ω ; R2 ≈ 16,8 Ω ; R3 ≈ 21,4 Ω.

4. a) L3 grillée, il ne reste qu'une maille : L1 et L2 sont en série, parcourues par la même intensité I'. Loi des mailles et loi d'Ohm : $U_{P N} = R_{1} I^{'} + R_{2} I^{'} = (R_{1} + R_{2}) I^{'}$ , donc $I^{'} = \frac{U_{P N}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{13, 8}{7, 02 + 16, 8} \approx 0, 579$ A, soit I' ≈ 0,579 A.

4. b) L2 n'est pas branchée directement aux bornes du générateur : elle est en série avec L1. Sa tension n'est pas imposée par le générateur seul, elle résulte du partage de $U_{P N}$ entre L1 et le groupement (L2, L3). Quand L3 grille, ce partage change. L'intensité dans L2 passe de 0,47 A à 0,579 A : L2 brille davantage. Celle dans L1 passe de 0,84 A à 0,579 A : L1 brille moins. Le raisonnement de l'élève ne vaut que pour des branches branchées directement aux bornes d'un générateur de tension constante.

5. Avec les valeurs non arrondies : $U_{1}^{'} = R_{1} I^{'} \approx 4, 07$ V et $U_{2}^{'} = R_{2} I^{'} \approx 9, 73$ V. Somme : 4,07 + 9,73 = 13,80 V = $U_{P N}$ : la loi des mailles est vérifiée. La tension aux bornes de L2 est passée de 7,9 V à 9,73 V, ce qui confirme 4. b).

Problème 2 — Identifier un dipôle avec Python

Moyen

Pour identifier un dipôle D, on mesure l'intensité I du courant qui le traverse pour différentes tensions U appliquées.

U (V)	0	1,00	2,00	3,00	4,00	5,00
I (mA)	0	2,57	5,12	7,70	10,24	12,83

On traite les mesures avec le programme suivant :

import numpy as np
U = np.array([0, 1.00, 2.00, 3.00, 4.00, 5.00])              # tensions en V
I = np.array([0, 2.57, 5.12, 7.70, 10.24, 12.83]) * 1e-3  # intensités en A
a, b = np.polyfit(I, U, 1)
print(round(a, 1), round(b, 3))

Le programme affiche : 390.0 0.0

1. Citer le matériel de mesure nécessaire et préciser comment chaque appareil est branché.
2. Quelle relation entre U et I le programme ajuste-t-il ? Que représentent a et b ?
3. Interpréter l'affichage : montrer que D a un comportement ohmique et donner sa résistance.
4. Un élève oublie le facteur * 1e-3 dans la ligne qui définit I. Qu'afficherait le programme pour a ? Expliquer pourquoi ce résultat est trompeur.
5. Prévoir l'intensité du courant lorsque la tension vaut 5,85 V, puis indiquer une limite de cette prévision.

1. Un générateur de tension réglable, un ampèremètre en série avec D (courant entrant par A ou mA, sortant par COM) pour mesurer I, un voltmètre en dérivation aux bornes de D (bornes V et COM) pour mesurer U. On fait varier la tension du générateur et on relève chaque couple (I ; U).

2. np.polyfit(I, U, 1) cherche le polynôme de degré 1 le plus proche des points : le modèle est $U = a \times I + b$ , fonction affine de I. a est le coefficient directeur de la droite (en V/A, c'est-à-dire en Ω) et b son ordonnée à l'origine (en V).

3. b ≈ 0 V : la droite modèle passe par l'origine. U est donc proportionnelle à I : D a un comportement ohmique, et la loi d'Ohm $U = R \times I$ identifie R au coefficient directeur : R ≈ 390 Ω. Vérification sur une mesure : $\frac{5, 00}{0, 01283} \approx 390$ Ω.

4. Sans le facteur 1e-3, les intensités sont en mA : le coefficient directeur vaut 0,390 V/mA et round(a, 1) affiche 0.4. Le calcul n'est pas faux, mais l'unité a changé : 0,390 V/mA = 0,390 kΩ = 390 Ω. Affiché sans unité, 0.4 laisserait croire à une résistance de 0,4 Ω, mille fois trop faible ; il faut travailler en unités SI (V, A, Ω) ou préciser l'unité.

5. Loi d'Ohm : $I = \frac{U}{R} = \frac{5, 85}{390} = 0, 0150$ A, soit I = 15,0 mA. Limite : 5,85 V dépasse la plus grande tension mesurée (5,00 V). La prévision suppose que le comportement reste ohmique hors du domaine exploré, ce qu'il faudrait vérifier par une mesure.

Problème 3 — Réaliser un thermomètre électronique

Difficile

Pour réaliser un thermomètre, on étalonne une thermistance plongée dans un bain d'eau dont on mesure la température θ avec un thermomètre de référence. La thermistance est soumise à une tension constante U = 3,00 V et l'on mesure l'intensité I du courant qui la traverse.

θ (°C)	5	20	35	50	65
I (mA)	0,111	0,221	0,417	0,750	1,30

1. Calculer la résistance R de la thermistance, en kΩ, pour chaque température.
2. Décrire l'évolution de R avec θ. De quel type de thermistance s'agit-il ? R est-elle une fonction affine de θ ? Justifier.
3. a) Un matin, le thermomètre mesure I = 0,305 mA. Calculer R, puis estimer θ en assimilant la courbe d'étalonnage à un segment entre les deux points de mesure qui encadrent cette valeur.
3. b) La courbe d'étalonnage réelle est située sous le segment qui joint deux points de mesure consécutifs. Expliquer pourquoi la température réelle est un peu inférieure à l'estimation de la question 3. a).
4. Justifier que ce thermomètre est plus précis vers 10 °C que vers 60 °C, en comparant les variations de R sur les intervalles de 5 à 20 °C et de 50 à 65 °C.
5. Proposer une amélioration du protocole d'étalonnage qui réduirait l'écart mis en évidence à la question 3. b).

1. À température fixée, la thermistance se comporte comme un conducteur ohmique : $R = \frac{U}{I}$ , avec I en A. À 5 °C : $R = \frac{3, 00}{0, 111 \times 10^{- 3}} \approx 2, 70 \times 10^{4}$ Ω = 27,0 kΩ. De même, pour 5, 20, 35, 50 et 65 °C : R = 27,0 kΩ ; 13,6 kΩ ; 7,19 kΩ ; 4,00 kΩ ; 2,31 kΩ.

2. R diminue quand θ augmente : c'est une thermistance CTN. Sur chaque intervalle de 15 °C, R diminue de 13,4 kΩ, puis 6,41 kΩ, puis 3,19 kΩ, puis 1,69 kΩ. Pour une fonction affine, ces variations seraient égales : R n'est pas une fonction affine de θ. La courbe d'étalonnage est décroissante et de moins en moins pentue.

3. a) $R = \frac{3, 00}{0, 305 \times 10^{- 3}} \approx 9, 84 \times 10^{3}$ Ω = 9,84 kΩ, compris entre 13,6 kΩ (20 °C) et 7,19 kΩ (35 °C). Sur ce segment, R baisse de 13,6 − 7,19 = 6,41 kΩ pour 15 °C ; il faut une baisse de 13,6 − 9,84 = 3,76 kΩ. D'où $θ \approx 20 + 15 \times \frac{3, 76}{6, 41} \approx 28, 8$ °C, soit θ ≈ 28,8 °C.

3. b) Entre 20 °C et 35 °C, la courbe réelle est sous le segment : à θ = 28,8 °C, la résistance réelle est donc inférieure à 9,84 kΩ. Comme R diminue quand θ augmente, la valeur 9,84 kΩ est atteinte pour une température plus basse. La température réelle est un peu inférieure à 28,8 °C : l'interpolation par un segment la surestime ici.

4. Entre 5 et 20 °C, R varie de 13,4 kΩ, soit environ 0,89 kΩ par degré ; entre 50 et 65 °C, de 1,69 kΩ, soit environ 0,11 kΩ par degré. Une même incertitude sur R, par exemple 0,1 kΩ, correspond donc à environ 0,1 °C vers 10 °C mais à près de 1 °C vers 60 °C. Le thermomètre est plus précis aux basses températures, là où R varie le plus pour un degré.

5. Multiplier les points d'étalonnage dans la zone d'utilisation, par exemple tous les 2 °C entre 15 et 35 °C : les segments sont alors plus courts et plus proches de la courbe réelle. On peut aussi tracer une courbe lissée passant par tous les points et lire directement sur elle. Plus les points d'étalonnage sont rapprochés, plus l'estimation est fiable.

Problème 4 — Allumage automatique d'un lampadaire

Difficile

Un lampadaire doit s'allumer automatiquement à la tombée de la nuit. Son capteur est une photorésistance (LDR) montée en série avec un conducteur ohmique de résistance R = 12 kΩ ; l'ensemble est alimenté sous $U_{0} = 3, 3$ V par une carte à microcontrôleur, qui mesure la tension $U_{R}$ aux bornes de R. Courbe d'étalonnage de la LDR (E : éclairement reçu) :

E (lux)	10	50	100	200	500	1 000
R_LDR (kΩ)	95	28	16	9,1	4,3	2,5

1. Comment évolue la résistance de la LDR quand l'éclairement augmente ? Est-elle inversement proportionnelle à E ? Justifier.
2. Montrer que $U_{R} = U_{0} \times \frac{R}{R + R_{L D R}}$ .
3. Le microcontrôleur mesure $U_{R}$ = 1,21 V. Calculer $R_{L D R}$ , puis estimer l'éclairement en assimilant la courbe d'étalonnage à un segment entre les deux points qui encadrent la valeur trouvée.
4. Le lampadaire doit s'allumer dès que l'éclairement devient inférieur à 50 lux. Calculer la tension seuil $U_{s}$ correspondante et justifier le sens de l'inégalité qui commande l'allumage.
5. Écrire en Python une instruction conditionnelle qui affiche « allumer » ou « éteindre » à partir de la variable u contenant la tension mesurée, en volts.

1. $R_{L D R}$ diminue quand E augmente (95 kΩ à 10 lux, 2,5 kΩ à 1 000 lux). Si elle était inversement proportionnelle à E, le produit $R_{L D R} \times E$ serait constant ; or 95 × 10 = 950, 28 × 50 = 1 400 et 2,5 × 1 000 = 2 500 (en kΩ·lux). Elle n'est pas inversement proportionnelle à E : il faut passer par la courbe d'étalonnage.

2. R et la LDR sont en série : même intensité I. Loi des mailles : $U_{0} = U_{R} + U_{L D R}$ . Loi d'Ohm : $U_{R} = R I$ et $U_{L D R} = R_{L D R} I$ . Donc $U_{0} = (R + R_{L D R}) I$ , soit $I = \frac{U_{0}}{R + R_{L D R}}$ , et $U_{R} = R I = U_{0} \times \frac{R}{R + R_{L D R}}$ , ce qu'il fallait montrer.

3. On isole $R_{L D R}$ : $R + R_{L D R} = \frac{U_{0} R}{U_{R}}$ , d'où $R_{L D R} = R (\frac{U_{0}}{U_{R}} - 1) = 12 \times (\frac{3, 3}{1, 21} - 1) \approx 20, 7$ kΩ. Cette valeur est comprise entre 28 kΩ (50 lux) et 16 kΩ (100 lux). Segment : $E \approx 50 + 50 \times \frac{28 - 20, 7}{28 - 16} \approx 80$ lux, soit E ≈ 80 lux.

4. À 50 lux, $R_{L D R}$ = 28 kΩ, donc $U_{s} = 3, 3 \times \frac{12}{12 + 28} = 0, 99$ V, soit $U_{s}$ = 0,99 V. Quand l'éclairement diminue, $R_{L D R}$ augmente, donc $R + R_{L D R}$ augmente et $U_{R}$ diminue. L'éclairement est inférieur à 50 lux exactement lorsque $U_{R}$ < 0,99 V : c'est la condition d'allumage.

5. Une écriture possible :

if u < 0.99:
    print("allumer")
else:
    print("éteindre")

Le seuil s'écrit 0.99, avec un point décimal comme l'exige Python, et le sens « < » découle de la question 4.

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