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Mathématiques · Classe de 2ⁿᵈᵉ

Ensembles de nombres et intervalles

Naturels, entiers, rationnels, irrationnels, réels et intervalles : les fondations du calcul en seconde générale

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Ensembles de nombres et intervalles » en seconde permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de seconde et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Les ensembles de nombres : ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, Les nombres irrationnels, Inclusions et appartenance : symboles ∈ et ⊂, La droite numérique et représentation des réels. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde en mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 55 min · Noté sur 20
55:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Appartenance et classification

/ 4 pts
  1. Classer chacun des nombres suivants dans le plus petit ensemble possible parmi ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ∖ ℚ (en justifiant brièvement) : −6 ; 0,4 ; √11 ; 5/2 ; 0 ; √25.
  2. Recopier et compléter avec ∈ ou ∉ :   a) 0 ___ ℕ   b) −3 ___ ℕ   c) 3/7 ___ ℤ   d) π ___ ℚ

Exercice 2 — Intervalles et notation

/ 4 pts
  1. Écrire en notation d'intervalle l'ensemble des réels x vérifiant :   a) −4 ≤ x < 2   b) x ≤ 7   c) x > −1   d) 0 ≤ x ≤ 3.
  2. Représenter sur une droite numérique (à dessiner) l'intervalle ]−2 ; 3] en indiquant clairement les bornes (ouvertes ou fermées).

Exercice 3 — Intersection et réunion d'intervalles

/ 5 pts
  1. Soit A = [−2 ; 5] et B = ]1 ; 8[. Calculer A ∩ B et A ∪ B.
  2. Soit C = ]−∞ ; 3[ et D = [5 ; +∞[. Calculer C ∩ D et C ∪ D.
  3. Vrai ou Faux (justifier) : si E ⊂ F, alors E ∩ F = E.

Exercice 4 — Valeur absolue et résolution d'inéquations

/ 4 pts
  1. Résoudre |x − 4| ≤ 3 et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
  2. Résoudre |2x + 3| > 5 et donner l'ensemble solution.
  3. Calculer la distance entre les réels −5 et 2 sur la droite numérique.

Exercice 5 — Raisonnement et synthèse

/ 3 pts
  1. Résoudre l'inéquation double : −1 < 2x − 3 ≤ 7 et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
  2. Expliquer, sans calcul, pourquoi √2 ∉ ℚ (argument de la décimale ou rappel du raisonnement par l'absurde).
  3. Donner un exemple de nombre appartenant à ℝ mais n'appartenant ni à ℚ ni à ℤ.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Appartenance et classification
Corrigé :
Q1 — Classification :
• −6 ∈ ℤ (entier négatif, pas dans ℕ)
• 0,4 = 2/5 ∈ ℚ (fraction, pas entier)
• √11 ∈ ℝ ∖ ℚ (11 n'est pas un carré parfait, donc irrationnel)
• 5/2 ∈ ℚ (fraction d'entiers, pas entier)
• 0 ∈ ℕ (entier naturel par convention)
• √25 = 5 ∈ ℕ (carré parfait)
Q2 — Appartenance :
a) 0 ∈ ℕ   b) −3 ∉ ℕ   c) 3/7 ∉ ℤ   d) π ∉ ℚ

Exercice 2 — Intervalles et notation
Corrigé :
Q1 — Intervalles :
a) [−4 ; 2[   b) ]−∞ ; 7]   c) ]−1 ; +∞[   d) [0 ; 3]
Q2 — Droite numérique : On représente ]−2 ; 3] avec un rond vide en −2 (exclu) et un rond plein en 3 (inclus), et le segment entre les deux en gras.

Exercice 3 — Intersection et réunion d'intervalles
Corrigé :
Q1 : A = [−2 ; 5], B = ]1 ; 8[
• A ∩ B : borne gauche max(−2, 1) = 1 (B ouvert en 1) → ]1 ; min(5, 8)[ = ]1 ; 5]
• A ∪ B : les intervalles se chevauchent → [−2 ; 8[
Q2 : C = ]−∞ ; 3[, D = [5 ; +∞[
• C ∩ D = ∅ (pas de chevauchement : C finit avant 3, D commence à 5)
• C ∪ D = ]−∞ ; 3[ ∪ [5 ; +∞[ (deux intervalles disjoints)
Q3 : Vrai. Si E ⊂ F, tout élément de E est dans F, donc E ∩ F = E (l'intersection « conserve » E entier).

Exercice 4 — Valeur absolue et résolution d'inéquations
Corrigé :
Q1 : |x − 4| ≤ 3 ⟺ −3 ≤ x − 4 ≤ 3 ⟺ 1 ≤ x ≤ 7. Ensemble solution : [1 ; 7]
Q2 : |2x + 3| > 5 ⟺ 2x + 3 < −5 ou 2x + 3 > 5
• 2x + 3 < −5 ⟺ 2x < −8 ⟺ x < −4
• 2x + 3 > 5 ⟺ 2x > 2 ⟺ x > 1
Ensemble solution : ]−∞ ; −4[ ∪ ]1 ; +∞[
Q3 : Distance = |2 − (−5)| = |7| = 7

Exercice 5 — Raisonnement et synthèse
Corrigé :
Q1 : −1 < 2x − 3 ≤ 7 ⟺ 2 < 2x ≤ 10 ⟺ 1 < x ≤ 5. Ensemble solution : ]1 ; 5]
Q2 : La décimale de √2 = 1,41421356… est infinie et sans motif périodique. Or tout rationnel a une décimale finie ou périodique. Donc √2 ∉ ℚ. (Alternativement : si √2 = p/q irréductible, alors p² = 2q², donc p² est pair, donc p est pair, puis q est pair, contradiction avec l'irréductibilité.)
Q3 : Exemples valides : √3, √5, π, 1 + √2 (tout nombre irrationnel convient).

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