Interactions fondamentales et notion de champ

Une règle en plastique, frottée avec un chiffon de laine, acquiert la charge q = −4,8 nC. La règle et le chiffon étaient neutres au départ. Donnée : e = 1,60 × 10⁻¹⁹ C.

1. Pendant le frottement, la règle a des électrons.
   Sa charge est négative : la règle a gagné des électrons, arrachés à la laine. Seuls les électrons se déplacent ; les protons restent dans les noyaux.
2. Nombre d’électrons transférés : × 10¹⁰
   La charge est quantifiée : $N=\frac{|q|}{e}=\frac{4,8\times {10}^{-9}}{1,60\times {10}^{-19}}=3,0\times {10}^{10}$, soit 3,0 × 10¹⁰ électrons.
3. Charge du chiffon après le frottement : nC
   Le système {règle + chiffon}, neutre au départ, n’échange pas de charge avec l’extérieur : sa charge totale reste nulle. Le chiffon porte +4,8 nC : il a perdu les électrons gagnés par la règle.
4. Approchée de petits morceaux de papier neutres, la règle les attire : c’est l’ électrostatique.
   C’est l’influence électrostatique : la règle négative déforme les nuages électroniques du papier, isolant ; les charges positives se retrouvent un peu plus près de la règle, et l’attraction, plus proche, l’emporte sur la répulsion.

Deux petites sphères métalliques identiques, sur des supports isolants, portent les charges q_A = +6,4 nC et q_B = −2,4 nC. On les met en contact, puis on les sépare. Donnée : e = 1,60 × 10⁻¹⁹ C.

1. Charge totale du système {A + B} : nC
   La charge totale se conserve : $6,4+(-2,4)=$ +4,0 nC, avant comme après le contact.
2. Charge de la sphère A après la séparation : nC
   Deux sphères conductrices identiques se partagent la charge totale à parts égales : $\frac{4,0}{2}=$ +2,0 nC chacune.
3. Nombre d’électrons passés de B vers A pendant le contact : × 10¹⁰
   La charge de A passe de +6,4 nC à +2,0 nC : elle diminue de 4,4 nC, donc A a gagné des électrons, venus de B. $N=\frac{4,4\times {10}^{-9}}{1,60\times {10}^{-19}}=2,75\times {10}^{10}$, soit 2,75 × 10¹⁰ électrons.
4. Une fois séparées, les deux sphères se
   Elles portent toutes deux +2,0 nC : charges de même signe, elles se repoussent.

Un pendule électrostatique est formé d’une petite boule légère recouverte d’aluminium, neutre, suspendue à un fil isolant. On en approche une tige d’ébonite chargée négativement : la boule est attirée, touche la tige, puis s’en écarte vivement. Après l’expérience, la boule porte la charge −0,80 nC. Donnée : e = 1,60 × 10⁻¹⁹ C.

1. Avant le contact, la face de la boule tournée vers la tige porte des charges de signe
   La boule est conductrice : ses électrons libres, repoussés par la tige négative, partent vers la face éloignée. La face proche, qui en a perdu, est positive : c’est l’influence, qui explique l’attraction de la boule neutre.
2. Nombre d’électrons reçus par la boule au contact : × 10⁹
   Au contact, la tige cède des électrons à la boule : $N=\frac{0,80\times {10}^{-9}}{1,60\times {10}^{-19}}=5,0\times {10}^9$, soit 5,0 × 10⁹ électrons.
3. Après le contact, la boule est repoussée, car elle porte une charge de même que la tige.
   Boule et tige sont toutes deux négatives : charges de même signe, elles se repoussent. C’est cette répulsion, et non l’attraction du début, qui prouve que la boule est chargée.
4. On approche ensuite de la boule une baguette de verre chargée positivement : la boule est
   La boule est négative et la baguette positive : charges de signes contraires, la boule est attirée.

Deux petites billes électrisées A et B, assimilées à des charges ponctuelles q_A = +12 nC et q_B = +7,5 nC, ont leurs centres distants de d = 18 cm. Donnée : k = 9,0 × 10⁹ N·m²·C⁻².

1. L’interaction entre A et B est
   Les deux charges sont positives, donc de même signe : l’interaction est répulsive.
2. Valeur de la force exercée par A sur B : × 10⁻⁵ N
   $F=9,0\times {10}^9\times \frac{12\times {10}^{-9}\times 7,5\times {10}^{-9}}{0,{18}^2}=\frac{8,1\times {10}^{-7}}{3,24\times {10}^{-2}}=2,5\times {10}^{-5}$ N, soit 2,5 × 10⁻⁵ N.
3. Dans ${\overrightarrow{F}}_{A/B}=k\frac{q_A{q}_B}{A{B}^2}{\overrightarrow{u}}_{AB}$, le coefficient de ${\overrightarrow{u}}_{AB}$ est
   $q_A{q}_B>0$ : le coefficient est positif, ${\overrightarrow{F}}_{A/B}$ a le sens de ${\overrightarrow{u}}_{AB}$, B est repoussé loin de A. Et ${\overrightarrow{F}}_{B/A}=-{\overrightarrow{F}}_{A/B}$.
4. On rapproche les billes jusqu’à 4,5 cm : la force est multipliée par
   La distance est divisée par $\frac{18}{4,5}=4$ ; la force, inversement proportionnelle au carré de la distance, est multipliée par $4^2=$ 16.
5. Nouvelle valeur de la force : × 10⁻⁴ N
   $F\prime =16\times 2,5\times {10}^{-5}=4,0\times {10}^{-4}$ N, soit 4,0 × 10⁻⁴ N.

Deux gouttelettes chargées, assimilées à des charges ponctuelles q_A = −1,6 nC et q_B = +2,4 nC, exercent l’une sur l’autre des forces de valeur F = 3,0 × 10⁻⁵ N. Donnée : k = 9,0 × 10⁹ N·m²·C⁻².

1. Distance entre les gouttelettes : cm
   $F=k\frac{|q_A{q}_B|}{d^2}$ donne $d=\sqrt{\frac{k|q_A{q}_B|}{F}}=\sqrt{\frac{9,0\times {10}^9\times 1,6\times {10}^{-9}\times 2,4\times {10}^{-9}}{3,0\times {10}^{-5}}}=\sqrt{1,152\times {10}^{-3}}\approx 0,034$ m, soit 3,4 cm.
2. La force ${\overrightarrow{F}}_{A/B}$ est de sens à celui de ${\overrightarrow{u}}_{AB}$.
   $q_A{q}_B<0$ : le coefficient de ${\overrightarrow{u}}_{AB}$ est négatif, ${\overrightarrow{F}}_{A/B}$ est de sens opposé à ${\overrightarrow{u}}_{AB}$ : B est attiré vers A.
3. On triple la charge de B sans changer la distance : la force vaut alors × 10⁻⁵ N
   La force est proportionnelle à chacune des charges : $3\times 3,0\times {10}^{-5}=9,0\times {10}^{-5}$ N, soit 9,0 × 10⁻⁵ N.

Trois charges ponctuelles sont alignées sur un axe : A (q_A = +2,0 nC) en x = 0, C (q_C = −1,0 nC) en x = 4,0 cm et B (q_B = +8,0 nC) en x = 10,0 cm. On étudie la force totale exercée sur C, somme vectorielle des forces exercées par A et par B. Donnée : k = 9,0 × 10⁹ N·m²·C⁻².

1. Valeur de la force exercée par A sur C : × 10⁻⁵ N
   $AC=4,0$ cm : $F_{A/C}=9,0\times {10}^9\times \frac{2,0\times {10}^{-9}\times 1,0\times {10}^{-9}}{0,{040}^2}=1,125\times {10}^{-5}$ N ≈ 1,1 × 10⁻⁵ N, dirigée vers A (attraction).
2. Valeur de la force exercée par B sur C : × 10⁻⁵ N
   $BC=6,0$ cm : $F_{B/C}=9,0\times {10}^9\times \frac{8,0\times {10}^{-9}\times 1,0\times {10}^{-9}}{0,{060}^2}=2,0\times {10}^{-5}$ N, dirigée vers B (attraction).
3. Valeur de la force totale exercée sur C : × 10⁻⁶ N
   Les deux forces sont colinéaires et de sens contraires : $F=2,0\times {10}^{-5}-1,125\times {10}^{-5}=8,75\times {10}^{-6}$ N ≈ 8,8 × 10⁻⁶ N.
4. La force totale sur C est dirigée vers la charge
   La force exercée par B est la plus grande : la force totale est dirigée vers B, bien que B soit plus loin que A, car sa charge est quatre fois plus grande.

Vénus et le Soleil sont assimilés à des corps à répartition sphérique de masse. Données : G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² ; masse du Soleil M_S = 1,99 × 10³⁰ kg ; masse de Vénus M_V = 4,87 × 10²⁴ kg ; distance entre leurs centres d = 1,08 × 10¹¹ m.

1. Valeur de la force exercée par le Soleil sur Vénus : × 10²² N
   $F=G\frac{M_S{M}_V}{d^2}=6,67\times {10}^{-11}\times \frac{1,99\times {10}^{30}\times 4,87\times {10}^{24}}{(1,08\times {10}^{11}{)}^2}\approx 5,54\times {10}^{22}$ N.
2. Cette force est dirigée de Vénus vers le
   La gravitation est toujours attractive : la force exercée sur Vénus est dirigée de Vénus vers le Soleil, le long de la droite qui joint leurs centres.
3. Dans ${\overrightarrow{F}}_{S/V}=-G\frac{M_S{M}_V}{d^2}{\overrightarrow{u}}_{SV}$, le signe « − » traduit une
   ${\overrightarrow{u}}_{SV}$ est orienté du Soleil vers Vénus ; la force sur Vénus est de sens opposé : le « − » traduit une attraction.
4. Un élève affirme que Vénus, bien moins massive, attire le Soleil avec une force bien plus faible. En réalité, les deux forces ont la même
   Principe des actions réciproques : ${\overrightarrow{F}}_{V/S}=-{\overrightarrow{F}}_{S/V}$, même valeur. L’expression $G\frac{M_S{M}_V}{d^2}$ est d’ailleurs symétrique. C’est le mouvement de Vénus, bien moins massive, qui est le plus affecté.

Dans un noyau d’hélium, deux protons sont distants de d = 2,4 × 10⁻¹⁵ m. Données : k = 9,0 × 10⁹ N·m²·C⁻² ; G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² ; e = 1,60 × 10⁻¹⁹ C ; m_p = 1,67 × 10⁻²⁷ kg.

1. Valeur de la force électrostatique entre les deux protons : N
   $F_e=k\frac{e^2}{d^2}=9,0\times {10}^9\times \frac{(1,60\times {10}^{-19}{)}^2}{(2,4\times {10}^{-15}{)}^2}=40$ N : une force énorme pour deux particules.
2. Valeur de la force de gravitation entre eux : × 10⁻³⁵ N
   $F_g=G\frac{m_p^2}{d^2}=6,67\times {10}^{-11}\times \frac{(1,67\times {10}^{-27}{)}^2}{(2,4\times {10}^{-15}{)}^2}\approx 3,2\times {10}^{-35}$ N.
3. Rapport $\frac{F_e}{F_g}$ : × 10³⁶
   $\frac{40}{3,23\times {10}^{-35}}\approx 1,2\times {10}^{36}$ : dans le noyau, la gravitation est totalement négligeable.
4. Les protons se repoussent, et pourtant le noyau est stable : sa cohésion est assurée par l’interaction
   L’interaction forte s’exerce entre nucléons, à très courte portée (de l’ordre de 10⁻¹⁵ m) ; à ces distances, elle est plus intense que la répulsion électrostatique.

Deux grains de poussière identiques, de masse m = 1,0 × 10⁻⁹ kg, portent chacun un électron en excès. On compare la répulsion électrostatique et l’attraction gravitationnelle entre eux. Données : k = 9,0 × 10⁹ N·m²·C⁻² ; G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² ; e = 1,60 × 10⁻¹⁹ C.

1. Rapport $\frac{F_e}{F_g}$ :
   $\frac{F_e}{F_g}=\frac{k{e}^2}{G{m}^2}=\frac{9,0\times {10}^9\times (1,60\times {10}^{-19}{)}^2}{6,67\times {10}^{-11}\times (1,0\times {10}^{-9}{)}^2}\approx 3,5$ : la distance s’est simplifiée.
2. Si la distance entre les grains double, ce rapport est multiplié par
   Les deux forces sont divisées par 4 : leur rapport est multiplié par 1, il ne change pas.
3. Masse de chaque grain pour laquelle les deux forces seraient égales : × 10⁻⁹ kg
   $k{e}^2=G{m}^2$ donne $m=e\sqrt{\frac{k}{G}}=1,60\times {10}^{-19}\times \sqrt{\frac{9,0\times {10}^9}{6,67\times {10}^{-11}}}\approx 1,9\times {10}^{-9}$ kg.
4. Pour des grains de 1,0 × 10⁻⁶ kg portant chacun un électron en excès, l’interaction qui domine est l’interaction
   Le rapport devient $\frac{2,304\times {10}^{-28}}{6,67\times {10}^{-11}\times (1,0\times {10}^{-6}{)}^2}\approx 3,5\times {10}^{-6}$ : l’attraction gravitationnelle l’emporte. Plus les corps sont massifs pour une même charge, plus la gravitation domine.

En un point M, une charge q₁ = +1,5 nC subit une force verticale, orientée vers le haut, de valeur 6,0 × 10⁻⁶ N.

1. Valeur du champ électrostatique en M : × 10³ V·m⁻¹
   $E=\frac{F}{|q_1|}=\frac{6,0\times {10}^{-6}}{1,5\times {10}^{-9}}=4,0\times {10}^3$ V·m⁻¹.
2. Le champ en M est vertical, orienté vers le
   $q_1>0$ : $\overrightarrow{E}$ a le sens de la force, vers le haut.
3. On remplace q₁ par q₂ = −3,0 nC. Valeur de la force subie par q₂ : × 10⁻⁵ N
   Le champ en M ne dépend pas de la charge qu’on y place : $F=|q_2|E=3,0\times {10}^{-9}\times 4,0\times {10}^3=1,2\times {10}^{-5}$ N.
4. Cette force est orientée vers le
   $q_2<0$ : $\overrightarrow{F}=q_2\overrightarrow{E}$ est de sens opposé au champ, vers le bas.

Une charge ponctuelle Q = −6,5 nC est fixée en un point O. On étudie le champ électrostatique au point M tel que OM = 35 cm. Donnée : k = 9,0 × 10⁹ N·m²·C⁻².

1. Valeur du champ en M : × 10² V·m⁻¹
   $E=k\frac{|Q|}{O{M}^2}=9,0\times {10}^9\times \frac{6,5\times {10}^{-9}}{0,{35}^2}=\frac{58,5}{0,1225}\approx 4,78\times {10}^2$ V·m⁻¹.
2. Le champ en M est dirigé vers le point
   $\overrightarrow{E}(M)=k\frac{Q}{O{M}^2}{\overrightarrow{u}}_{OM}$ avec $Q<0$ : le champ est opposé à ${\overrightarrow{u}}_{OM}$, dirigé de M vers O.
3. Valeur de la force subie par une charge q = +2,8 nC placée en M : × 10⁻⁶ N
   $F=qE=2,8\times {10}^{-9}\times 4,78\times {10}^2\approx 1,34\times {10}^{-6}$ N, dirigée vers O, comme le champ : $Q$ et $q$, de signes contraires, s’attirent.
4. Distance à O où le champ vaut 26 V·m⁻¹ : m
   $r=\sqrt{\frac{k|Q|}{E}}=\sqrt{\frac{58,5}{26}}=\sqrt{2,25}=1,5$ m.

Deux charges ponctuelles q_A = +4,0 nC et q_B = +9,0 nC sont fixées en A et B, avec AB = 25 cm. Le champ total est la somme vectorielle des champs créés par chacune. Données : k = 9,0 × 10⁹ N·m²·C⁻² ; e = 1,60 × 10⁻¹⁹ C.

1. Le champ total s’annule en un point M du segment [AB] tel que AM = cm
   Entre A et B, les deux champs sont de sens contraires. Avec $AM=x$ : $k\frac{q_A}{x^2}=k\frac{q_B}{(AB-x{)}^2}$, soit $\frac{AB-x}{x}=\sqrt{\frac{9,0}{4,0}}=\frac{3}{2}$, d’où $x=\frac{2\times 25}{5}=10$ cm, plus près de la charge la plus faible.
2. Valeur du champ total au milieu I de [AB] : × 10³ V·m⁻¹
   $AI=BI=0,125$ m : $E_A=\frac{9,0\times {10}^9\times 4,0\times {10}^{-9}}{0,{125}^2}=2304$ V·m⁻¹ (de A vers B) et $E_B=\frac{9,0\times {10}^9\times 9,0\times {10}^{-9}}{0,{125}^2}=5184$ V·m⁻¹ (de B vers A). $E=5184-2304=2880$ V·m⁻¹.
3. En I, le champ total est dirigé vers le point
   Le champ de B, le plus intense, l’emporte : le champ total est dirigé de B vers A.
4. Valeur de la force subie par un électron placé en I : × 10⁻¹⁶ N
   $F=eE=1,60\times {10}^{-19}\times 2880\approx 4,6\times {10}^{-16}$ N, dirigée de A vers B, à l’opposé du champ : l’électron est davantage attiré par B.

Deux armatures planes et parallèles A et B, distantes de d = 2,5 cm, sont reliées à un générateur qui impose U = 750 V ; A est l’armature positive. On admet E = U/d. Donnée : e = 1,60 × 10⁻¹⁹ C.

1. Valeur du champ électrostatique entre A et B : × 10⁴ V·m⁻¹
   $E=\frac{U}{d}=\frac{750}{2,5\times {10}^{-2}}=3,0\times {10}^4$ V·m⁻¹, la même en tout point loin des bords.
2. Le champ est perpendiculaire aux armatures, orienté de l’armature vers l’autre.
   Le champ va de l’armature positive vers l’armature négative : de A vers B. Les lignes de champ sont des droites parallèles et équidistantes.
3. Valeur de la force subie par un ion calcium Ca²⁺ entre les armatures : × 10⁻¹⁵ N
   $q=2e=3,20\times {10}^{-19}$ C : $F=qE=3,20\times {10}^{-19}\times 3,0\times {10}^4=9,6\times {10}^{-15}$ N, de A vers B.
4. On écarte les armatures jusqu’à 5,0 cm sans changer la tension : le champ vaut × 10⁴ V·m⁻¹
   À tension fixée, $E$ est inversement proportionnel à $d$ : $E\prime =\frac{750}{5,0\times {10}^{-2}}=1,5\times {10}^4$ V·m⁻¹, deux fois plus faible.

La carte ci-dessous représente les lignes de champ électrostatique créées par deux charges ponctuelles placées en A et en B. Données : e = 1,60 × 10⁻¹⁹ C ; en M, milieu de [AB], le champ vaut 3,0 × 10³ V·m⁻¹.

1. Signe de la charge placée en A :
   Les lignes de champ partent de A : la charge en A est positive.
2. Signe de la charge placée en B :
   Des lignes aboutissent en B : la charge en B est négative.
3. Des deux points P et R, celui où le champ est le plus intense est
   Les lignes sont bien plus serrées autour de P, près de A, qu’autour de R : le champ y est plus intense.
4. Valeur de la force subie par un électron placé en M : × 10⁻¹⁶ N
   $F=eE=1,60\times {10}^{-19}\times 3,0\times {10}^3=4,8\times {10}^{-16}$ N.
5. Cette force est dirigée vers le point
   En M, la ligne de champ va de A vers B : le champ est dirigé vers B. L’électron, négatif, subit une force de sens opposé, vers A.

Une petite boule conductrice de masse m = 0,85 g, portant la charge q = +24 nC, est suspendue à un fil isolant entre deux armatures verticales distantes de d = 6,0 cm, soumises à la tension U = 4,6 kV. On admet E = U/d. À l’équilibre, le fil fait avec la verticale un angle α tel que tan α = qE/(mg). Donnée : g = 9,81 N·kg⁻¹.

1. Valeur du champ dans lequel se trouve la boule : × 10⁴ V·m⁻¹
   $E=\frac{U}{d}=\frac{4,6\times {10}^3}{6,0\times {10}^{-2}}\approx 7,67\times {10}^4$ V·m⁻¹, horizontal puisque les armatures sont verticales.
2. Valeur de la force électrostatique subie par la boule : × 10⁻³ N
   $F=qE=24\times {10}^{-9}\times 7,67\times {10}^4\approx 1,84\times {10}^{-3}$ N, horizontale, dans le sens du champ car $q>0$.
3. Angle α à l’équilibre : °
   $mg=0,85\times {10}^{-3}\times 9,81\approx 8,34\times {10}^{-3}$ N ; $\tan \alpha =\frac{1,84\times {10}^{-3}}{8,34\times {10}^{-3}}\approx 0,221$, d’où $\alpha \approx 12,4$°.
4. Un élève affirme qu’en doublant la tension, l’angle double. L’angle vaut en réalité °
   Doubler $U$ double $E$, donc $F$ et $\tan \alpha$ : $\tan \alpha \prime \approx 0,441$, d’où $\alpha \prime \approx 23,8$°, et non 24,9° : c’est la tangente qui est proportionnelle à la tension, pas l’angle.

La Lune est assimilée à un corps à répartition sphérique de masse ; on néglige sa rotation. Données : G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² ; M_L = 7,35 × 10²² kg ; R_L = 1,74 × 10⁶ m.

1. Intensité du champ de pesanteur à la surface de la Lune : N·kg⁻¹
   Rotation négligée, $g_L=G\frac{M_L}{R_L^2}=6,67\times {10}^{-11}\times \frac{7,35\times {10}^{22}}{(1,74\times {10}^6{)}^2}\approx 1,62$ N·kg⁻¹.
2. Poids sur la Lune d’un astronaute équipé de masse 142 kg : N
   $P=m{g}_L=142\times 1,62\approx 230$ N.
3. Le poids de cet astronaute sur Terre (g = 9,81 N·kg⁻¹) est fois plus grand que sur la Lune.
   $\frac{P_T}{P_L}=\frac{g_T}{g_L}=\frac{9,81}{1,62}\approx 6,1$ : environ six fois plus. La masse, elle, ne dépend pas du lieu : 142 kg partout.
4. Altitude au-dessus du sol lunaire où le champ de gravitation lunaire vaut la moitié de $g_L$ : km
   $\frac{R_L^2}{(R_L+h{)}^2}=\frac{1}{2}$ donne $R_L+h=\sqrt{2}{R}_L$, donc $h=(\sqrt{2}-1)\times 1,74\times {10}^6\approx 7,21\times {10}^5$ m, soit 721 km.

On assimile la Terre à une sphère de rayon R_T = 6 370 km et on néglige sa rotation ; au niveau de la mer, g₀ = 9,81 N·kg⁻¹. Le sommet de l’Everest est à 8 849 m d’altitude.

1. Intensité du champ de pesanteur au sommet de l’Everest : N·kg⁻¹
   $r=6370+8,849=6378,849$ km : $g=9,81\times {\left(\frac{6370}{6378,849}\right)}^2\approx 9,78$ N·kg⁻¹.
2. Diminution relative de g entre le niveau de la mer et le sommet : %
   $1-{\left(\frac{6370}{6378,849}\right)}^2\approx 0,0028$, soit 0,28 % seulement.
3. Altitude à laquelle g a diminué de 1 % : km
   ${\left(\frac{R_T}{R_T+h}\right)}^2=0,99$ donne $h=R_T(\frac{1}{\sqrt{0,99}}-1)=6370\times 0,00504\approx 32$ km.
4. À l’échelle d’une montagne, le champ de pesanteur peut donc être considéré comme
   Sa valeur varie de moins de 0,3 % et sa direction reste verticale : le champ de pesanteur y est quasiment uniforme.

La Terre est assimilée à une sphère de rayon R_T = 6,37 × 10⁶ m à répartition sphérique de masse ; on néglige sa rotation. Au sol, g₀ = 9,81 N·kg⁻¹. À l’altitude h, g(h) = g₀ × (R_T ÷ (R_T + h))².

1. g à l’altitude 1 500 km : N·kg⁻¹
   $R_T+h=7,87\times {10}^6$ m : $g=9,81\times {\left(\frac{6,37}{7,87}\right)}^2\approx 6,43$ N·kg⁻¹.
2. Une sonde mesure g = 3,70 N·kg⁻¹. Son altitude est × 10³ km
   $R_T+h=R_T\sqrt{\frac{g_0}{g}}=6,37\times {10}^6\times \sqrt{\frac{9,81}{3,70}}\approx 1,037\times {10}^7$ m, d’où $h\approx 4,00\times {10}^6$ m, soit 4,00 × 10³ km.
3. g à l’altitude 3 000 km : N·kg⁻¹
   $R_T+h=9,37\times {10}^6$ m : $g=9,81\times {\left(\frac{6,37}{9,37}\right)}^2\approx 4,53$ N·kg⁻¹.
4. Un élève affirme qu’en doublant l’altitude, de 1 500 km à 3 000 km, g est divisé par 4. Il est en réalité divisé par
   $\frac{6,43}{4,53}\approx 1,42$, et non 4 : $g$ est inversement proportionnel au carré de la distance au centre, qui ne passe que de 7,87 × 10⁶ m à 9,37 × 10⁶ m.