Interactions fondamentales et introduction à la notion de champ

a) La charge de la règle est négative : elle a gagné des électrons, arrachés à la laine lors du frottement. Seuls les électrons se déplacent ; les protons restent liés aux noyaux.

b) La charge est quantifiée : $|q|=Ne$, donc $N=\frac{|q|}{e}=\frac{4,8\times {10}^{-9}}{1,60\times {10}^{-19}}$, soit $N=3,0\times {10}^{10}$ électrons.

c) Le système {règle + chiffon}, initialement neutre, n'échange pas de charge avec l'extérieur : sa charge totale reste nulle. Le chiffon porte donc $+4,8$ nC : il a perdu $3,0\times {10}^{10}$ électrons.

d) C'est l'influence électrostatique. Le papier est isolant : la règle négative repousse légèrement les nuages électroniques des molécules. Les charges positives des morceaux de papier se retrouvent un peu plus proches de la règle que les charges négatives. La force électrostatique diminuant avec la distance, l'attraction exercée sur les charges proches l'emporte sur la répulsion exercée sur les charges éloignées : les papiers, bien que neutres, sont attirés.

a) Les deux charges sont positives, donc de même signe : l'interaction est répulsive.

b) Loi de Coulomb, en unités SI : $F_{A/B}=k\frac{|q_A{q}_B|}{d^2}=9,0\times {10}^9\times \frac{12\times {10}^{-9}\times 7,5\times {10}^{-9}}{(0,18{)}^2}=\frac{8,1\times {10}^{-7}}{3,24\times {10}^{-2}}$, soit $F_{A/B}=2,5\times {10}^{-5}$ N.

c) ${\overrightarrow{F}}_{A/B}=k\frac{q_A{q}_B}{A{B}^2}{\overrightarrow{u}}_{AB}$ avec $q_A{q}_B>0$ : la force sur B a le sens de ${\overrightarrow{u}}_{AB}$, B est repoussé loin de A. D'après le principe des actions réciproques, ${\overrightarrow{F}}_{B/A}=-{\overrightarrow{F}}_{A/B}$ : même direction (droite AB), sens de B vers A prolongé au-delà de A (A est repoussé), même valeur $2,5\times {10}^{-5}$ N.

d) La distance est divisée par $\frac{18}{4,5}=4$ ; la force, inversement proportionnelle au carré de la distance, est multipliée par $4^2=16$ : $F^{\prime }=16\times 2,5\times {10}^{-5}$, soit $F^{\prime }=4,0\times {10}^{-4}$ N.

a) Loi de la gravitation universelle : $F_{S/V}=G\frac{M_S{M}_V}{d^2}$.

b) $F_{S/V}=6,67\times {10}^{-11}\times \frac{1,99\times {10}^{30}\times 4,87\times {10}^{24}}{(1,08\times {10}^{11}{)}^2}=\frac{6,46\times {10}^{44}}{1,166\times {10}^{22}}$, soit $F_{S/V}\approx 5,54\times {10}^{22}$ N.

c) Direction : la droite joignant les centres du Soleil et de Vénus. Sens : de Vénus vers le Soleil (attraction). Expression vectorielle : ${\overrightarrow{F}}_{S/V}=-G\frac{M_S{M}_V}{d^2}{\overrightarrow{u}}_{SV}$, le signe « − » indiquant que la force est opposée à ${\overrightarrow{u}}_{SV}$.

d) D'après le principe des actions réciproques, ${\overrightarrow{F}}_{V/S}=-{\overrightarrow{F}}_{S/V}$ : les deux forces ont la même valeur, $5,54\times {10}^{22}$ N. L'expression $G\frac{M_S{M}_V}{d^2}$ est d'ailleurs symétrique en $M_S$ et $M_V$. L'élève confond force et effet : c'est le mouvement de Vénus qui est bien plus affecté, car sa masse est beaucoup plus faible.

a) $E(M)=k\frac{|Q|}{O{M}^2}=9,0\times {10}^9\times \frac{6,5\times {10}^{-9}}{(0,35{)}^2}=\frac{58,5}{0,1225}$, soit $E(M)\approx 4,78\times {10}^2$ V·m⁻¹.

b) $\overrightarrow{E}(M)=k\frac{Q}{O{M}^2}{\overrightarrow{u}}_{OM}$. Comme $Q<0$, le coefficient de $\vec{u}_{OM}$ est négatif : $\overrightarrow{E}(M)$ est dirigé de M vers O, le long de la droite (OM).

c) $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}(M)$ avec $q>0$ : $\overrightarrow{F}$ a le même sens que $\overrightarrow{E}$, de M vers O. Valeur : $F=qE=2,8\times {10}^{-9}\times 4,78\times {10}^2$, soit $F\approx 1,34\times {10}^{-6}$ N. Cohérence : les charges $Q$ et $q$ sont de signes contraires, elles s'attirent.

d) $E=k\frac{|Q|}{r^2}$ donne $r=\sqrt{\frac{k|Q|}{E}}=\sqrt{\frac{58,5}{26}}=\sqrt{2,25}$, soit $r=1,5$ m.

a) Le champ d'un condensateur plan est uniforme : $E=\frac{U_{AB}}{d}=\frac{750}{2,5\times {10}^{-2}}$, soit $E=3,0\times {10}^4$ V·m⁻¹.

b) Direction : perpendiculaire aux armatures. Sens : de l'armature positive A vers l'armature négative B. Loin des bords, le champ est uniforme : les lignes de champ sont des droites parallèles, équidistantes, perpendiculaires aux armatures, orientées de A vers B.

c) L'ion porte $q=2e=3,20\times {10}^{-19}$ C $>0$ : $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$ a le sens de $\overrightarrow{E}$, de A vers B, perpendiculaire aux armatures. Valeur : $F=2eE=3,20\times {10}^{-19}\times 3,0\times {10}^4$, soit $F=9,6\times {10}^{-15}$ N, la même en tout point entre les armatures.

d) À tension fixée, $E=\frac{U}{d}$ est inversement proportionnel à $d$ : doubler l'écartement divise le champ par 2. $E^{\prime }=\frac{750}{5,0\times {10}^{-2}}$, soit $E^{\prime }=1,5\times {10}^4$ V·m⁻¹. L'élève a sans doute confondu avec la tension, qui, elle, multiplie le champ quand elle augmente.

a) Rotation négligée, le champ de pesanteur s'identifie au champ de gravitation : $g_L=G\frac{M_L}{R_L^2}=\frac{6,67\times {10}^{-11}\times 7,35\times {10}^{22}}{(1,74\times {10}^6{)}^2}=\frac{4,90\times {10}^{12}}{3,03\times {10}^{12}}$, soit $g_L\approx 1,62$ N·kg⁻¹.

b) $P_L=m{g}_L=142\times 1,62$, soit $P_L\approx 230$ N.

c) Sur Terre : $P_T=m{g}_T=142\times 9,81\approx 1,39\times {10}^3$ N. $\frac{P_T}{P_L}=\frac{g_T}{g_L}=\frac{9,81}{1,62}\approx 6,1$ : le poids est bien environ six fois plus faible sur la Lune. La masse, qui mesure la quantité de matière, ne change pas : 142 kg partout.

d) On cherche $h$ tel que $G\frac{M_L}{(R_L+h{)}^2}=\frac{1}{2}G\frac{M_L}{R_L^2}$, soit $(R_L+h{)}^2=2R_L^2$, donc $R_L+h=\sqrt{2}{R}_L$ et $h=(\sqrt{2}-1)R_L=0,414\times 1,74\times {10}^6$ : $h\approx 7,21\times {10}^5$ m, soit environ 721 km.

a) $F_e=k\frac{e^2}{d^2}=9,0\times {10}^9\times \frac{(1,60\times {10}^{-19}{)}^2}{(2,4\times {10}^{-15}{)}^2}=\frac{2,30\times {10}^{-28}}{5,76\times {10}^{-30}}$, soit $F_e\approx 40$ N : une force considérable à l'échelle d'une particule.

b) $F_g=G\frac{m_p^2}{d^2}=6,67\times {10}^{-11}\times \frac{(1,67\times {10}^{-27}{)}^2}{(2,4\times {10}^{-15}{)}^2}=\frac{1,86\times {10}^{-64}}{5,76\times {10}^{-30}}$, soit $F_g\approx 3,2\times {10}^{-35}$ N.

c) $\frac{F_e}{F_g}=\frac{40}{3,2\times {10}^{-35}}\approx 1,2\times {10}^{36}$ : la force électrostatique est bien de l'ordre de ${10}^{36}$ fois plus intense ; la gravitation est négligeable dans le noyau.

d) La répulsion électrostatique devrait disloquer le noyau : sa cohésion est assurée par l'interaction forte. Elle s'exerce entre nucléons (protons et neutrons), elle est attractive et plus intense que l'interaction électrostatique à ces distances, mais sa portée est très courte, de l'ordre de ${10}^{-15}$ m : elle ne joue aucun rôle au-delà du noyau.

a) Les deux charges sont positives : chacune crée un champ qui « fuit » la charge. Hors de la droite (AB), les deux champs ne sont pas colinéaires et leur somme ne peut être nulle. Sur la droite, au-delà de A ou au-delà de B, les deux champs sont dirigés dans le même sens : ils s'ajoutent. Seulement entre A et B, ${\overrightarrow{E}}_A$ (de A vers B) et ${\overrightarrow{E}}_B$ (de B vers A) sont de sens contraires et peuvent se compenser.

b) Posons $AM=x$, donc $BM=AB-x$. Le champ total est nul si $E_A=E_B$ : $k\frac{q_A}{x^2}=k\frac{q_B}{(AB-x{)}^2}$, d'où $\frac{(AB-x{)}^2}{x^2}=\frac{q_B}{q_A}=\frac{9,0}{4,0}$. Les longueurs étant positives : $\frac{AB-x}{x}=\frac{3}{2}$, soit $2(AB-x)=3x$, donc $x=\frac{2AB}{5}=\frac{2\times 25}{5}$ : $AM=10$ cm. Le point est plus proche de la charge la plus faible, ce qui est cohérent.

c) $AI=BI=0,125$ m. $E_A=9,0\times {10}^9\times \frac{4,0\times {10}^{-9}}{(0,125{)}^2}=2,30\times {10}^3$ V·m⁻¹, dirigé de A vers B ; $E_B=9,0\times {10}^9\times \frac{9,0\times {10}^{-9}}{(0,125{)}^2}=5,18\times {10}^3$ V·m⁻¹, dirigé de B vers A. Les deux vecteurs sont colinéaires et de sens contraires : $E=E_B-E_A=5184-2304$, soit $E(I)\approx 2,88\times {10}^3$ V·m⁻¹, dirigé de B vers A.

d) $\overrightarrow{F}=-e\overrightarrow{E}(I)$ : la force est de sens opposé au champ, donc dirigée de A vers B, de valeur $F=eE=1,60\times {10}^{-19}\times 2,88\times {10}^3$, soit $F\approx 4,6\times {10}^{-16}$ N. L'électron est davantage attiré par B, la charge positive la plus grande.

a) Rotation négligée, $g$ s'identifie au champ de gravitation, de valeur $G\frac{M_T}{r^2}$ où $r$ est la distance au centre de la Terre. Au sol, $r=R_T$ : $g_0=G\frac{M_T}{R_T^2}$. À l'altitude $h$, $r=R_T+h$ : $g(h)=G\frac{M_T}{(R_T+h{)}^2}$. En faisant le quotient, $G$ et $M_T$ se simplifient : $\frac{g(h)}{g_0}=\frac{R_T^2}{(R_T+h{)}^2}$, donc $g(h)=g_0{\left(\frac{R_T}{R_T+h}\right)}^2$.

b) $R_T+h_1=6,37\times {10}^6+1,50\times {10}^6=7,87\times {10}^6$ m. $g(h_1)=9,81\times {\left(\frac{6,37}{7,87}\right)}^2=9,81\times 0,655$, soit $g(h_1)\approx 6,43$ N·kg⁻¹.

c) ${\left(\frac{R_T}{R_T+h}\right)}^2=\frac{g}{g_0}$ donne $R_T+h=R_T\sqrt{\frac{g_0}{g}}=6,37\times {10}^6\times \sqrt{\frac{9,81}{3,70}}=6,37\times {10}^6\times 1,628\approx 1,037\times {10}^7$ m. D'où $h\approx 1,037\times {10}^7-6,37\times {10}^6$, soit $h\approx 4,00\times {10}^6$ m, environ 4 000 km.

d) $R_T+h_2=9,37\times {10}^6$ m : $g(h_2)=9,81\times {\left(\frac{6,37}{9,37}\right)}^2$, soit $g(h_2)\approx 4,53$ N·kg⁻¹, et non $\frac{6,43}{4}\approx 1,61$ N·kg⁻¹. L'erreur : $g$ est inversement proportionnel au carré de la distance au centre de la Terre, pas de l'altitude. Quand $h$ double, $R_T+h$ passe seulement de $7,87\times {10}^6$ m à $9,37\times {10}^6$ m.

a) Entre les armatures d'un condensateur plan, le champ est uniforme : $E=\frac{U}{d}=\frac{4,6\times {10}^3}{6,0\times {10}^{-2}}$, soit $E\approx 7,67\times {10}^4$ V·m⁻¹. Les armatures étant verticales, $\overrightarrow{E}$ est horizontal, orienté de l'armature positive vers l'armature négative.

b) $F=qE=24\times {10}^{-9}\times 7,67\times {10}^4$, soit $F\approx 1,84\times {10}^{-3}$ N, horizontale, dans le sens de $\overrightarrow{E}$ car $q>0$.

c) La boule est soumise à son poids $\overrightarrow{P}$ (vertical, vers le bas, $P=mg$), à la force électrostatique $\overrightarrow{F}$ (horizontale) et à la tension $\overrightarrow{T}$ du fil (dirigée le long du fil). À l'équilibre, $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}=\overrightarrow{0}$. En projetant : verticalement $T\cos \alpha =mg$ ; horizontalement $T\sin \alpha =qE$. En divisant membre à membre : $\tan \alpha =\frac{qE}{mg}$. Avec $mg=0,85\times {10}^{-3}\times 9,81=8,34\times {10}^{-3}$ N : $\tan \alpha =\frac{1,84\times {10}^{-3}}{8,34\times {10}^{-3}}\approx 0,221$, d'où $\alpha \approx 12,4$°.

d) Doubler $U$ double $E$, donc $F$, donc $\tan \alpha$ : $\tan {\alpha }^{\prime }=0,441$, d'où ${\alpha }^{\prime }\approx 23,8$°, et non $24,9$°. L'angle ne double pas : c'est sa tangente qui est proportionnelle à la tension, et la fonction tangente n'est pas linéaire (l'écart grandit avec l'angle).