Interactions fondamentales et notion de champ

Charge électrique. La charge d’un corps, notée $q$, s’exprime en coulombs (C). Elle est positive, négative ou nulle. Un proton porte la charge $+e$, un électron la charge $-e$, un neutron n’est pas chargé ; $e=1,60\times {10}^{-19}$ C est la charge élémentaire.

Quantification. Un corps électrisé a gagné ou perdu un nombre entier $N$ d’électrons : sa charge est un multiple entier de $e$, $q=\pm Ne$, d’où $N={\displaystyle \frac{|q|}{e}}$. Un corps neutre contient autant de protons que d’électrons.

Conservation. La charge totale d’un système isolé reste constante : les charges ne se créent pas, elles se déplacent.

Électrisation. Par frottement, des électrons passent d’un corps à l’autre : celui qui en gagne devient négatif, celui qui en perd devient positif, avec une charge opposée. Par contact, un corps chargé partage sa charge avec un conducteur qu’il touche : celui-ci prend une charge de même signe. Deux sphères conductrices identiques mises en contact se partagent la charge totale à parts égales. Seuls les électrons se déplacent : les protons restent dans les noyaux.

Interaction électrostatique. Deux corps chargés de même signe se repoussent ; de signes contraires, ils s’attirent. L’interaction s’exerce à distance, sans contact.

Influence électrostatique. Un corps chargé approché d’un corps neutre y sépare les charges : dans un conducteur, les électrons libres se déplacent ; dans un isolant, les nuages électroniques des molécules se déforment légèrement. Les charges de signe opposé à celui du corps chargé se retrouvent plus près de lui : l’attraction, plus proche, l’emporte sur la répulsion, et le corps neutre est attiré, tout en restant globalement neutre.

Illustrer l’interaction : le pendule électrostatique. Une petite boule légère et conductrice, suspendue à un fil isolant, est d’abord attirée par une tige chargée (influence) ; au contact, elle prend une charge de même signe que la tige, puis elle est repoussée.

Loi de Coulomb (1785). Deux corps ponctuels A et B, de charges $q_A$ et $q_B$, distants de $d$, exercent l’un sur l’autre des forces portées par la droite (AB), de même valeur :

avec $k=9,0\times {10}^9$ N·m²·C⁻² (plus précisément $8,99\times {10}^9$), les charges en C, $d$ en m et $F$ en N. Les forces sont répulsives si les charges sont de même signe, attractives sinon. La loi vaut aussi pour des sphères dont la charge est répartie uniformément, $d$ étant alors la distance entre leurs centres.

Écriture vectorielle. Soit ${\overrightarrow{u}}_{AB}$ le vecteur unitaire (de norme 1) orienté de A vers B. La force exercée par A sur B s’écrit :

Les charges y figurent avec leur signe. Si $q_A{q}_B>0$, ${\overrightarrow{F}}_{A/B}$ a le sens de ${\overrightarrow{u}}_{AB}$ : B est repoussé loin de A. Si $q_A{q}_B<0$, elle est de sens opposé : B est attiré vers A. D’après le principe des actions réciproques, ${\overrightarrow{F}}_{B/A}=-{\overrightarrow{F}}_{A/B}$.

Proportionnalités. $F$ est proportionnelle à chacune des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance : si $d$ est multipliée par 2, $F$ est divisée par $2^2=4$ ; si $d$ est divisée par 3, $F$ est multipliée par $3^2=9$.

Deux lois de même forme.

Analogies et différence. Les deux forces sont proportionnelles au produit des grandeurs qui les créent, inversement proportionnelles au carré de la distance, de portée infinie, et obéissent au principe des actions réciproques. La différence : il existe deux signes de charge, donc l’interaction électrostatique peut être répulsive, alors qu’il n’existe pas de masse négative.

Intensités comparées. Pour deux particules, le rapport ${\displaystyle \frac{F_e}{F_g}}$ ne dépend pas de la distance, puisque les deux forces varient en ${\displaystyle \frac{1}{d^2}}$. À l’échelle des particules, l’interaction électrostatique écrase la gravitation.

Pourquoi la gravitation gouverne les astres. La matière contient presque exactement autant de charges positives que négatives : entre deux astres, les attractions et les répulsions électrostatiques se compensent. La gravitation, toujours attractive, ne se compense jamais : ses effets s’additionnent et deviennent dominants pour des masses énormes.

Les quatre interactions fondamentales.

• gravitationnelle : entre les masses, portée infinie ; elle gouverne le mouvement des astres et les marées ;
• électromagnétique (dont l’électrostatique) : entre les charges, portée infinie ; elle assure la cohésion des atomes, des molécules et des solides ;
• forte : entre les nucléons, portée de l’ordre de ${10}^{-15}$ m ; plus intense que la répulsion électrique entre protons à cette distance, elle assure la cohésion du noyau ;
• faible : portée encore plus courte, de l’ordre de ${10}^{-17}$ m ; elle est responsable de la radioactivité β.

Notion de champ. Un champ associe une grandeur à chaque point d’une région de l’espace. Il est scalaire si cette grandeur est un nombre (la température dans une pièce, la pression dans l’atmosphère) et vectoriel si c’est un vecteur (la vitesse du vent, le champ électrostatique, le champ de gravitation, le champ magnétique qu’une aiguille aimantée permet de repérer).

Champ électrostatique. Un corps chargé, la source, modifie les propriétés de l’espace qui l’entoure. Une charge $q$ placée en un point M y subit une force $\overrightarrow{F}$ ; le champ électrostatique en M est :

$E$ s’exprime en V·m⁻¹ (unité équivalente : N·C⁻¹). Le champ ne dépend que de la source et du point M, pas de la charge $q$ qu’on y place. Si $q>0$, $\overrightarrow{F}$ a le sens de $\overrightarrow{E}$ ; si $q<0$, le sens opposé ; dans les deux cas, $F=|q|E$.

Champ créé par une charge ponctuelle. Une charge $Q$ placée en O crée en tout point M :

où ${\overrightarrow{u}}_{OM}$ est le vecteur unitaire orienté de O vers M. Le champ est porté par la droite (OM) ; il s’éloigne de O si $Q>0$, il est dirigé vers O si $Q<0$. En y plaçant une charge $q$, on retrouve la loi de Coulomb : $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}(M)=k{\displaystyle \frac{Qq}{O{M}^2}}{\overrightarrow{u}}_{OM}$.

Plusieurs sources. Le champ créé par plusieurs charges est la somme vectorielle des champs créés par chacune.

Représentation. On représente $\overrightarrow{E}(M)$ par une flèche d’origine M, de la direction et du sens du champ, de longueur proportionnelle à $E$ selon une échelle choisie.

Ligne de champ. C’est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ, orientée dans le sens du champ. Caractériser localement une ligne de champ en un point M, c’est en déduire le champ en M : sa direction est la tangente à la ligne en M, son sens celui de la ligne. Là où les lignes sont serrées, le champ est intense ; là où elles s’écartent, il est faible.

Lignes de champ électrostatique. Elles partent des charges positives et aboutissent aux charges négatives (ou s’éloignent à l’infini). Deux lignes ne se coupent jamais en un point où le champ n’est pas nul : en ce point, le champ n’a qu’une direction. Autour d’une charge ponctuelle, les lignes sont des droites issues de la charge, orientées vers l’extérieur si $Q>0$, vers la charge si $Q<0$.

Carte de champ. C’est l’ensemble des lignes de champ (ou de vecteurs champ) tracées dans une région. Pour cartographier un champ électrostatique, on peut saupoudrer des grains fins et isolants, de la semoule par exemple, sur une huile isolante dans laquelle plongent deux électrodes reliées à une haute tension : les grains s’alignent selon la direction du champ et dessinent les lignes.

Champ uniforme. Un champ est uniforme dans une région s’il a la même direction, le même sens et la même valeur en tout point : ses lignes sont des droites parallèles et équidistantes.

Le condensateur plan. Deux plaques conductrices planes et parallèles, les armatures, distantes de $d$, sont reliées à un générateur qui impose entre elles une tension $U$ : elles portent des charges opposées. Loin des bords, le champ entre les armatures est uniforme, perpendiculaire aux armatures, orienté de l’armature positive vers l’armature négative. Sa valeur est donnée par $E={\displaystyle \frac{U}{d}}$ (relation fournie dans les énoncés, étudiée en terminale). Près des bords, les lignes s’incurvent : le champ n’y est plus uniforme.

Champ de gravitation. Une masse $m$ placée en un point M y subit une force de gravitation $\overrightarrow{F}$ ; le champ de gravitation en M est $\overrightarrow{𝒢}(M)={\displaystyle \frac{\overrightarrow{F}}{m}}$, soit $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{𝒢}(M)$. Il s’exprime en N·kg⁻¹.

Champ créé par un astre. Un astre à répartition sphérique de masse, de masse $M$ et de centre O, crée en un point M extérieur :

Le champ est toujours dirigé vers le centre de l’astre : les lignes de champ sont des droites qui convergent vers O, plus serrées près de l’astre.

Champ de pesanteur. Le poids d’un objet, $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$, s’identifie à la force de gravitation exercée par la Terre si l’on néglige la rotation de la Terre : $\overrightarrow{g}\approx \overrightarrow{𝒢}$. Les deux champs ne diffèrent que de quelques millièmes de leur valeur, à cause de la rotation de la Terre. À la surface de la Terre ($M_T=5,97\times {10}^{24}$ kg, $R_T=6,37\times {10}^6$ m) : $g_0=G{\displaystyle \frac{M_T}{R_T^2}}\approx 9,81$ N·kg⁻¹.

Variation avec l’altitude. À l’altitude $h$, la distance au centre est $R_T+h$ :

Champ de pesanteur localement uniforme. À l’échelle d’une salle, d’un stade ou d’une ville, les lignes de champ sont quasiment parallèles et $g$ quasiment constant : le champ de pesanteur y est uniforme, vertical et orienté vers le bas.