Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie

Description d'un fluide au repos

Masse volumique, pression, force pressante, loi de Mariotte, loi fondamentale de la statique des fluides (thème Mouvement et interactions)

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Description d'un fluide au repos » en première permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en spécialité physique-chimie. Ils suivent le programme officiel de première et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Description microscopique d'un fluide, Pression et force pressante, Loi de Mariotte. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité physique-chimie en première.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Autonomie d'un plongeur

Moyen

Un plongeur évolue à 34 m de profondeur en mer ( $ρ = 1, 026 \times 10^{3}$ kg·m⁻³). Pression à la surface : $p_{a t m} = 1, 013 \times 10^{5}$ Pa ; $g = 9, 81$ N·kg⁻¹. Sa bouteille de 15 L est gonflée à 230 bar ; il doit remonter avant que la pression dans la bouteille ne descende sous 50 bar (réserve de sécurité). Il consomme 20 L d'air par minute, volume mesuré à la pression où il respire, c'est-à-dire la pression de l'eau qui l'entoure. La vitre de son masque a une aire de 95 cm². La température de l'air est supposée constante.

1. Calculer la pression de l'eau à 34 m, en Pa puis en bar.
2. a) Calculer la valeur de la force pressante exercée par l'eau sur la vitre du masque.
2. b) En descendant, le plongeur souffle un peu d'air par le nez dans son masque. Expliquer pourquoi la vitre ne se brise pas et pourquoi ce geste est nécessaire.
3. Montrer que le volume d'air utilisable, mesuré à la pression $p$ , vaut $V = \frac{(p_{i} - p_{r}) V_{b}}{p}$ , où $p_{i}$ est la pression initiale de la bouteille, $p_{r}$ la pression de réserve et $V_{b}$ le volume de la bouteille.
4. Calculer ce volume à 34 m, puis la durée de plongée possible à cette profondeur.
5. Calculer la durée pendant laquelle la même bouteille alimenterait un nageur respirant en surface, puis conclure.

1. L'eau de mer est au repos et homogène. Loi fondamentale : $p = p_{a t m} + ρ g h = 1, 013 \times 10^{5} + 1, 026 \times 10^{3} \times 9, 81 \times 34 = 1, 013 \times 10^{5} + 3, 422 \times 10^{5} = 4, 435 \times 10^{5}$ Pa. $p \approx 4, 44 \times 10^{5}$ Pa ≈ 4,44 bar.

2. a) $S = 95 \times 10^{- 4}$ m². $F = p \times S = 4, 435 \times 10^{5} \times 95 \times 10^{- 4} = 4, 21 \times 10^{3}$ N. $F \approx 4, 21 \times 10^{3}$ N, perpendiculaire à la vitre, dirigée vers le visage.

2. b) L'air contenu dans le masque exerce sur la face intérieure de la vitre une force opposée. Si cet air est à la même pression que l'eau, la résultante est nulle et la vitre ne subit aucune contrainte. En descendant, la pression de l'eau augmente : sans apport d'air, l'air du masque resterait à une pression plus faible, la résultante pousserait la vitre contre le visage (« placage du masque »). En soufflant, le plongeur rétablit l'égalité des pressions.

3. À température constante, pour une quantité de gaz fixée, $p V$ est constant (loi de Mariotte). Tout l'air initial, amené à la pression $p$ , occuperait $\frac{p_{i} V_{b}}{p}$ ; l'air qui reste dans la bouteille à la fin (pression $p_{r}$ , volume $V_{b}$ ) occuperait $\frac{p_{r} V_{b}}{p}$ . L'air utilisé est la différence : $V = \frac{(p_{i} - p_{r}) V_{b}}{p}$ .

4. Les pressions peuvent rester en bar : $V = \frac{(230 - 50) \times 15}{4, 435} = \frac{2 700}{4, 435} = 609$ L. Durée : $Δ t = \frac{609}{20} = 30, 4$ min. Environ 30 minutes à 34 m.

5. En surface, $p = 1, 013$ bar : $V^{'} = \frac{2 700}{1, 013} = 2, 67 \times 10^{3}$ L, soit $Δ t^{'} = \frac{2 665}{20} \approx 133$ min. Le rapport des durées vaut $\frac{133}{30, 4} \approx 4, 4$ , égal au rapport des pressions $\frac{4, 435}{1, 013}$ . À 34 m, chaque inspiration prélève 4,4 fois plus d'air dans la bouteille : l'autonomie diminue fortement avec la profondeur.

Problème 2 — Les parois d'un aquarium

Moyen

Un aquarium a un fond rectangulaire de 0,80 m sur 0,35 m ; il est rempli d'eau ( $ρ = 1, 00 \times 10^{3}$ kg·m⁻³) sur une hauteur $H = 0, 42$ m. La pression de l'air dans la pièce vaut $1, 008 \times 10^{5}$ Pa ; $g = 9, 81$ N·kg⁻¹. On admet que la force pressante exercée par l'eau sur une paroi verticale rectangulaire est égale à celle qu'exercerait une pression uniforme égale à la pression à mi-hauteur de l'eau.

1. Calculer la surpression due à l'eau au fond de l'aquarium, puis la pression totale au fond.
2. a) Calculer la valeur de la force pressante exercée par l'eau seule (surpression) sur le fond.
2. b) Montrer que cette force est égale au poids de l'eau contenue dans l'aquarium.
3. Calculer la valeur de la force exercée par l'eau seule sur la grande paroi vitrée (0,80 m × 0,42 m), puis sur une petite paroi (0,35 m × 0,42 m).
4. Justifier que l'on peut ignorer la pression atmosphérique pour étudier la solidité des vitres.
5. Un second récipient, évasé vers le haut, a le même fond et la même hauteur d'eau mais contient deux fois plus d'eau. Comparer les pressions et les forces sur les deux fonds, et expliquer ce résultat surprenant.

1. Loi fondamentale entre la surface libre et le fond : surpression $ρ g H = 1, 00 \times 10^{3} \times 9, 81 \times 0, 42 = 4, 12 \times 10^{3}$ Pa. Pression totale : $p = 1, 008 \times 10^{5} + 4, 12 \times 10^{3} = 1, 049 \times 10^{5}$ Pa. Surpression ≈ 4,12 × 10³ Pa ; $p \approx 1, 049 \times 10^{5}$ Pa.

2. a) $S = 0, 80 \times 0, 35 = 0, 28$ m². $F = 4, 12 \times 10^{3} \times 0, 28 = 1, 15 \times 10^{3}$ N. $F \approx 1, 15 \times 10^{3}$ N.

2. b) $F = ρ g H \times S = ρ g (S H)$ . Or $S H = V$ , volume de l'eau, et $ρ V = m$ , sa masse : $F = m g = P$ . Numériquement : $m = 1, 00 \times 10^{3} \times 0, 28 \times 0, 42 = 117, 6$ kg et $P = 117, 6 \times 9, 81 = 1, 15 \times 10^{3}$ N. La force sur le fond est bien égale au poids de l'eau (récipient à parois verticales).

3. Surpression à mi-hauteur : $\frac{ρ g H}{2} = 2, 06 \times 10^{3}$ Pa. Grande paroi : $S_{1} = 0, 80 \times 0, 42 = 0, 336$ m², $F_{1} = 2, 06 \times 10^{3} \times 0, 336 = 692$ N. Petite paroi : $S_{2} = 0, 35 \times 0, 42 = 0, 147$ m², $F_{2} = 2, 06 \times 10^{3} \times 0, 147 = 303$ N. $F_{1} \approx 692$ N ; $F_{2} \approx 303$ N.

4. L'air de la pièce agit sur les deux faces de chaque vitre (côté eau, à travers la surface libre ; côté extérieur, directement) : ses deux contributions se compensent. Seule la surpression due à l'eau crée une force résultante sur la vitre.

5. La pression au fond ne dépend que de la hauteur d'eau : $p = p_{a t m} + ρ g H$ , identique dans les deux récipients. Même pression, même aire : même force sur les deux fonds, alors que le second contient deux fois plus d'eau. Dans le récipient évasé, les parois inclinées supportent une partie du poids de l'eau : la force sur le fond n'est plus égale au poids total du liquide (paradoxe hydrostatique).

Problème 3 — Tester deux lois avec un capteur de pression

Difficile

Partie A. Un capteur de pression relié à un microcontrôleur est plongé dans un liquide inconnu au repos, à différentes profondeurs $h$ sous la surface libre ; $g = 9, 81$ N·kg⁻¹.

$h$ (cm)	0,0	5,0	10,0	15,0	20,0	25,0
$p$ (hPa)	1 009,0	1 014,6	1 020,2	1 025,7	1 031,3	1 036,9

Masses volumiques de quelques liquides (kg·m⁻³) : eau 1,000 × 10³ ; solution sucrée à 32 % 1,137 × 10³ ; eau salée saturée 1,20 × 10³ ; glycérol 1,26 × 10³.
Partie B. Le même capteur est relié à une seringue contenant de l'air ; on déplace lentement le piston.

$V$ (mL)	20,0	25,0	30,0	40,0	50,0
$p$ (hPa)	1 520	1 213	1 012	760	606

1. Montrer que la loi fondamentale de la statique des fluides prévoit $p = p_{0} + ρ g h$ , où $p_{0}$ est la pression à la surface libre.
2. Vérifier, à l'aide du tableau A, que la pression est une fonction affine de la profondeur.
3. En déduire la masse volumique du liquide.
4. Identifier le liquide et calculer l'écart relatif avec la valeur tabulée.
5. À l'aide du tableau B, calculer le produit $p V$ pour chaque mesure. Les mesures sont-elles compatibles avec la loi de Mariotte ?
6. Justifier que le graphique représentant $p$ en fonction de $\frac{1}{V}$ doit être une droite passant par l'origine, et donner la valeur de son coefficient directeur en Pa·m³.
7. Expliquer pourquoi il faut déplacer le piston lentement.

1. Soit S un point de la surface libre ( $p_{S} = p_{0}$ ) et M un point du liquide à la profondeur $h$ : avec un axe vertical vers le haut, $z_{S} - z_{M} = h$ . Loi fondamentale : $p_{M} - p_{S} = ρ g (z_{S} - z_{M}) = ρ g h$ , donc $p = p_{0} + ρ g h$ : la pression est une fonction affine de $h$ , d'ordonnée à l'origine $p_{0}$ et de coefficient directeur $ρ g$ .

2. Accroissements de $p$ pour chaque pas de 5,0 cm : 5,6 ; 5,6 ; 5,5 ; 5,6 ; 5,6 hPa. Ils sont constants aux incertitudes de mesure près : $p$ est bien une fonction affine de $h$ , conformément à la loi fondamentale.

3. Coefficient directeur (points extrêmes) : $\frac{1 036, 9 - 1 009, 0}{25, 0} = 1, 116$ hPa·cm⁻¹ $= \frac{111, 6 Pa}{0, 01 m} = 1, 116 \times 10^{4}$ Pa·m⁻¹. Or ce coefficient vaut $ρ g$ : $ρ = \frac{1, 116 \times 10^{4}}{9, 81} = 1, 138 \times 10^{3}$ kg·m⁻³. $ρ \approx 1, 14 \times 10^{3}$ kg·m⁻³.

4. La valeur la plus proche est celle de la solution sucrée à 32 %. Écart relatif : $\frac{| 1 138 - 1 137 |}{1 137} \approx 0, 1 %$ , très faible : l'identification est fiable (l'eau salée saturée donnerait un écart de 5 %).

5. Produits $p V$ (hPa·mL) : $1 520 \times 20, 0 = 30 400$ ; $1 213 \times 25, 0 = 30 325$ ; $1 012 \times 30, 0 = 30 360$ ; $760 \times 40, 0 = 30 400$ ; $606 \times 50, 0 = 30 300$ . Ils valent tous $3, 04 \times 10^{4}$ hPa·mL à 0,2 % près. Le produit $p V$ est constant : les mesures sont compatibles avec la loi de Mariotte.

6. $p V = k$ équivaut à $p = k \times \frac{1}{V}$ : $p$ est proportionnelle à $\frac{1}{V}$ , la courbe est une droite passant par l'origine, de coefficient directeur $k$ . En SI : $k = 3, 04 \times 10^{4} \times 10^{2} Pa \times 10^{- 6} m^{3} = 3, 04$ Pa·m³. $k \approx 3, 04$ Pa·m³.

7. Une compression rapide échauffe l'air : les molécules s'agitent davantage et la pression dépasse la valeur prévue. En allant lentement, on laisse l'air échanger de l'énergie avec l'extérieur et sa température reste égale à celle de la pièce, condition d'application de la loi de Mariotte.

Problème 4 — Un château d'eau pour tout un quartier

Difficile

La surface libre de l'eau d'un château d'eau est à l'altitude $z_{A} = 187$ m. Il alimente un robinet B au rez-de-chaussée d'un immeuble, à l'altitude $z_{B} = 143$ m, et un robinet C au sixième étage, à $z_{C} = 161$ m. Tous les robinets sont fermés : l'eau du réseau est au repos. Pression atmosphérique : $1, 005 \times 10^{5}$ Pa ; eau : $ρ = 1, 00 \times 10^{3}$ kg·m⁻³ ; $g = 9, 81$ N·kg⁻¹. Le clapet du robinet B est un disque de 1,6 cm de diamètre ; de l'autre côté du clapet se trouve l'air de la cuisine. Pour un bon confort, la pression de l'eau dans un robinet fermé doit dépasser la pression atmosphérique d'au moins 1,5 bar.

1. Expliquer pourquoi l'eau peut atteindre le sixième étage sans pompe, et indiquer ce qui limite l'altitude qu'elle peut atteindre.
2. Calculer la pression de l'eau au robinet B.
3. Calculer la pression au robinet C, puis vérifier la valeur de $p_{B} - p_{C}$ en appliquant directement la loi fondamentale entre B et C.
4. Calculer la valeur de la force résultante exercée sur le clapet du robinet B.
5. Déterminer l'altitude maximale d'un robinet pour que le critère de confort soit respecté.
6. Un habitant affirme : « Mon robinet est au bout d'une canalisation de 3 km : la pression y est forcément plus faible qu'au pied du château d'eau, à la même altitude. » Expliquer son erreur.

1. Le château d'eau et le réseau forment des vases communicants contenant un même liquide au repos. L'eau tend à s'élever dans toutes les canalisations jusqu'au niveau de la surface libre du réservoir. Un robinet situé plus bas que $z_{A}$ est donc alimenté sans pompe ; l'eau ne peut pas dépasser l'altitude $z_{A} = 187$ m.

2. Loi fondamentale entre A (surface libre, $p_{A} = p_{a t m}$ ) et B : $p_{B} = p_{A} + ρ g (z_{A} - z_{B}) = 1, 005 \times 10^{5} + 1, 00 \times 10^{3} \times 9, 81 \times 44 = 1, 005 \times 10^{5} + 4, 316 \times 10^{5} = 5, 32 \times 10^{5}$ Pa. $p_{B} \approx 5, 32 \times 10^{5}$ Pa ≈ 5,3 bar.

3. $p_{C} = 1, 005 \times 10^{5} + 9 810 \times (187 - 161) = 1, 005 \times 10^{5} + 2, 551 \times 10^{5} = 3, 56 \times 10^{5}$ Pa. Différence : $p_{B} - p_{C} = 5, 321 \times 10^{5} - 3, 556 \times 10^{5} = 1, 766 \times 10^{5}$ Pa. Directement : $p_{B} - p_{C} = ρ g (z_{C} - z_{B}) = 9 810 \times 18 = 1, 766 \times 10^{5}$ Pa. Les deux calculs concordent.

4. L'eau pousse le clapet avec $p_{B} S$ , l'air de la cuisine le repousse avec $p_{a t m} S$ : la résultante vaut $(p_{B} - p_{a t m}) S$ . $S = π \times (0, 8 \times 10^{- 2})^{2} = 2, 01 \times 10^{- 4}$ m². $F = 4, 316 \times 10^{5} \times 2, 01 \times 10^{- 4} = 86, 8$ N. $F \approx 87$ N, dirigée de l'eau vers la cuisine.

5. Il faut $p - p_{a t m} = ρ g (z_{A} - z) \geq 1, 5 \times 10^{5}$ Pa, soit $z_{A} - z \geq \frac{1, 5 \times 10^{5}}{9 810} = 15, 3$ m. Donc $z \leq 187 - 15, 3 = 171, 7$ m. Altitude maximale ≈ 172 m.

6. Robinets fermés, l'eau est au repos : la loi fondamentale montre que la pression en un point ne dépend que de la différence d'altitude avec la surface libre, pas de la longueur ni de la forme du trajet. À la même altitude, la pression est la même, que la canalisation mesure 10 m ou 3 km. (La longueur n'intervient que lorsque l'eau s'écoule, situation étudiée en Terminale.)

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