Description d'un fluide au repos

a) $m=457$ g $=0,457$ kg et $V=0,500$ L $=0,500\times {10}^{-3}$ m³.
$\rho =\frac{m}{V}=\frac{0,457}{0,500\times {10}^{-3}}=914$ kg·m⁻³. $\rho =914$ kg·m⁻³.

b) 0,500 L = 500 cm³, donc $\rho =\frac{457}{500}=0,914$ g·cm⁻³. $\rho =0,914$ g·cm⁻³ (on retrouve 1 g·cm⁻³ = ${10}^3$ kg·m⁻³).

c) $m=\rho \times V=914\times 2,30=2102$ kg. $m\approx 2,10\times {10}^3$ kg, soit environ 2,1 tonnes.

a) 1 hPa = ${10}^2$ Pa : $1024$ hPa $=1,024\times {10}^5$ Pa. Comme 1 bar = ${10}^5$ Pa : $1,024\times {10}^5$ Pa = 1,024 bar.

b) $2,4$ bar $=2,4\times {10}^5$ Pa ; en hPa : $\frac{2,4\times {10}^5}{{10}^2}=2400$ hPa. $2,4\times {10}^5$ Pa = 2 400 hPa.

c) 87 kPa $=87\times {10}^3$ Pa $=8,7\times {10}^4$ Pa, soit 870 hPa = 0,87 bar.

d) En bar : 0,87 < 1,024 < 2,4. Montagne < baromètre < pneu.

a) $S=1,20\times 0,85=1,02$ m². $S=1,02$ m².

b) $F=p\times S=1,013\times {10}^5\times 1,02=1,033\times {10}^5$ N. $F\approx 1,03\times {10}^5$ N.

c) La force pressante est perpendiculaire à la vitre et dirigée de l'air extérieur vers la vitre, donc vers l'intérieur de la pièce.

d) La masse dont le poids vaut $F$ est $m=\frac{F}{g}=\frac{1,033\times {10}^5}{9,81}\approx 1,05\times {10}^4$ kg, soit environ 10,5 t. Mais l'air de la pièce, à une pression pratiquement égale, exerce sur l'autre face une force de même valeur et de sens opposé. La force résultante est quasi nulle : la vitre ne supporte que la très faible différence de pression entre les deux côtés.

a) L'air est un gaz : ses molécules (diazote, dioxygène) sont éloignées les unes des autres par rapport à leur taille, sans organisation, et animées d'un mouvement incessant et désordonné (agitation thermique). Elles se heurtent entre elles et heurtent les parois.

b) Chaque molécule qui frappe le piston rebondit et exerce sur lui une très petite force. Le nombre de chocs par seconde est gigantesque : leur effet global est une force répartie sur toute la surface, perpendiculaire au piston et dirigée de l'air vers le piston. La force pressante est l'effet collectif des chocs ; la pression mesure cet effet par unité de surface.

c) La seringue étant bouchée, le nombre de molécules ne change pas, mais le volume diminue : le nombre de molécules par unité de volume augmente. À température constante, l'agitation moyenne des molécules est inchangée ; elles frappent donc plus souvent chaque cm² de paroi. La force par unité de surface, c'est-à-dire la pression, augmente.

d) Dans l'eau liquide, les molécules sont déjà au contact les unes des autres : on ne peut pratiquement pas les rapprocher. Le volume ne diminue presque pas : un liquide est quasi incompressible, contrairement à un gaz.

a) La quantité d'air doit rester fixée (seringue et raccord étanches) et la température doit rester constante (déplacement lent du piston, qui laisse le temps aux échanges thermiques).

b) Loi de Mariotte : $p_1{V}_1=p_2{V}_2$, donc $p_2=\frac{p_1{V}_1}{V_2}=\frac{1008\times 60}{35}=1728$ hPa. $p_2\approx 1,73\times {10}^3$ hPa.

c) $V_3=\frac{p_1{V}_1}{p_3}=\frac{1008\times 60}{2016}=30$ mL. $V_3=30$ mL : la pression double quand le volume est divisé par 2.

d) La pression mesurée est plus faible que prévu. Deux causes possibles : une fuite au niveau du raccord (la quantité d'air diminue, donc $pV$ diminue) ; ou le volume d'air contenu dans le tuyau et le capteur (« volume mort ») n'a pas été compté. Avec un volume mort $v$, le rapport réel des volumes est $\frac{60+v}{35+v}$, plus petit que $\frac{60}{35}$ : la pression augmente moins que prévu. Un volume mort d'environ 4 mL suffit à expliquer 1 650 hPa.

a) L'eau est au repos, homogène et incompressible. D'après la loi fondamentale, à la profondeur $h$ : $p=p_0+\rho gh=8,20\times {10}^4+1,00\times {10}^3\times 9,81\times 12,5=8,20\times {10}^4+1,226\times {10}^5=2,046\times {10}^5$ Pa. $p\approx 2,05\times {10}^5$ Pa.

b) $h=\frac{p-p_0}{\rho g}=\frac{3,00\times {10}^5-8,20\times {10}^4}{1,00\times {10}^3\times 9,81}=\frac{2,18\times {10}^5}{9810}=22,2$ m. $h\approx 22,2$ m.

c) Entre les deux points, la dénivellation vaut $9,5-4,0=5,5$ m. $\Delta p=\rho g\Delta h=1,00\times {10}^3\times 9,81\times 5,5=5,4\times {10}^4$ Pa. $\Delta p\approx 5,4\times {10}^4$ Pa. La loi fondamentale relie une différence de pression à une différence d'altitude : $p_0$ s'ajoute aux deux pressions et disparaît dans la soustraction.

a) Loi fondamentale : $p=p_0+\rho gh=1,013\times {10}^5+1,025\times {10}^3\times 9,81\times 150=1,013\times {10}^5+1,508\times {10}^6=1,610\times {10}^6$ Pa. $p\approx 1,61\times {10}^6$ Pa, soit environ 16 bar.

b) Rayon $r=0,12$ m : $S=\pi r^2=\pi \times 0,{12}^2=4,52\times {10}^{-2}$ m². $F=p\times S=1,610\times {10}^6\times 4,52\times {10}^{-2}=7,28\times {10}^4$ N. $F\approx 7,28\times {10}^4$ N.

c) L'air intérieur exerce une force opposée de valeur $p_{0}S$. La résultante vaut $(p-p_0)S=1,508\times {10}^6\times 4,52\times {10}^{-2}=6,82\times {10}^4$ N, dirigée vers l'intérieur du sous-marin. $F_{res}\approx 6,82\times {10}^4$ N.

d) $m=\frac{F_{res}}{g}=\frac{6,82\times {10}^4}{9,81}=6,95\times {10}^3$ kg. Environ 7,0 tonnes : le hublot doit être très épais.

a) A et B sont à la même altitude et appartiennent à un même liquide au repos, l'eau, qui occupe de façon continue le bas du tube entre A et B. D'après la loi fondamentale, $p_A-p_B={\rho }_{e}g(z_B-z_A)=0$ : $p_A=p_B$.

b) Dans la branche gauche, entre A et la surface libre du cyclohexane (pression $p_{atm}$), la loi fondamentale donne $p_A=p_{atm}+{\rho }_{c}g{h}_c$. Dans la branche droite, entre B et la surface libre de l'eau : $p_B=p_{atm}+{\rho }_{e}g{h}_e$. Avec $p_A=p_B$ : ${\rho }_{c}g{h}_c={\rho }_{e}g{h}_e$, d'où $h_e=\frac{{\rho }_c}{{\rho }_e}{h}_c$.

c) $h_e=\frac{779}{1,00\times {10}^3}\times 8,4=6,54$ cm. La surface libre du cyclohexane est plus haute que celle de l'eau de $8,4-6,54=1,86$ cm. $h_e\approx 6,5$ cm ; dénivellation ≈ 1,9 cm.

d) Le principe des vases communicants (surfaces libres au même niveau) découle de la loi fondamentale appliquée à un seul liquide homogène. Ici, la branche gauche contient un liquide moins dense : il faut une colonne plus haute pour produire la même pression en A qu'en B. Les surfaces libres ne sont donc pas au même niveau.

a) Loi fondamentale : $p=p_0+\rho gh=1,013\times {10}^5+1,027\times {10}^3\times 9,81\times 27=1,013\times {10}^5+2,720\times {10}^5=3,733\times {10}^5$ Pa. $p\approx 3,73\times {10}^5$ Pa.

b) La quantité d'air est fixée et la température constante : loi de Mariotte, $p_0{V}_0=pV$. $V=\frac{p_0{V}_0}{p}=\frac{1,013\times {10}^5\times 3,6}{3,733\times {10}^5}=0,977$ L. $V\approx 0,98$ L.

c) D'après Mariotte, $V=\frac{V_0}{2}$ équivaut à $p=2p_0$. Or $p=p_0+\rho gh$ ; donc $p_0+\rho gh=2p_0$, soit $\rho gh=p_0$ et $h=\frac{p_0}{\rho g}$. Numériquement : $h=\frac{1,013\times {10}^5}{1,027\times {10}^3\times 9,81}=10,05$ m. $h\approx 10,1$ m.

d) À pression donnée, un gaz plus froid a des molécules moins agitées : pour exercer la même pression sur les parois, elles doivent être plus serrées. Le ballon souple se contracte donc davantage : le volume réel est plus petit que 0,98 L. La loi de Mariotte n'est plus applicable telle quelle puisque la température change.

a) Soit C le sommet de la colonne (vide : $p_C=0$) et D la surface libre du mercure dans la cuve, à l'air libre ($p_D=p_{atm}$). D et C appartiennent au même mercure au repos, avec $z_C-z_D=h$. Loi fondamentale : $p_D-p_C={\rho }_{Hg}g(z_C-z_D)$, soit $p_{atm}={\rho }_{Hg}gh$.

b) $p_{atm}=13,55\times {10}^3\times 9,81\times 0,731=9,72\times {10}^4$ Pa. $p_{atm}\approx 9,72\times {10}^4$ Pa = 972 hPa.

c) $h_{eau}=\frac{p_{atm}}{{\rho }_{e}g}=\frac{9,72\times {10}^4}{1,00\times {10}^3\times 9,81}=9,91$ m. Un tube de près de 10 m serait inutilisable ; le mercure, 13,55 fois plus dense que l'eau, donne une colonne 13,55 fois plus courte.

d) Sur 324 m, on considère ${\rho }_{air}$ uniforme : $\Delta p={\rho }_{air}gH=1,19\times 9,81\times 324=3,78\times {10}^3$ Pa, soit une diminution de 37,8 hPa au sommet. La hauteur de mercure diminue de $\Delta h=\frac{\Delta p}{{\rho }_{Hg}g}=\frac{3,78\times {10}^3}{13,55\times {10}^3\times 9,81}=2,85\times {10}^{-2}$ m. Nouvelle hauteur : $731-28,5\approx 703$ mm.

e) L'air est compressible : quand on s'élève, la pression diminue et les molécules sont moins serrées, donc ${\rho }_{air}$ diminue nettement (et la température varie). La loi fondamentale, établie pour $\rho$ uniforme, ne s'applique à l'air que sur un faible dénivelé.