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Spécialité Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Variables aléatoires discrètes

Loi de probabilité, espérance et variance d'une variable aléatoire (programme Spé Maths 1ère)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Variables aléatoires discrètes » en première permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Variable aléatoire discrète : définition et valeurs, Loi de probabilité d'une variable aléatoire, Représentation de la loi et lecture d'un tableau, Espérance d'une variable aléatoire. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Loi de probabilité et vérification

/ 4 pts
  1. On considère la variable aléatoire $X$ dont la loi est :
    $X$$-1$$0$$2$$5$
    $P(X=x)$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{3}$$a$$\frac{1}{6}$

    a) Déterminer la valeur de $a$.
  2. b) Calculer $P(X \ge 0)$.
  3. c) Calculer $P(-1 < X \le 2)$.
  4. d) La valeur $-1$ est-elle la plus probable ? Justifier.

Exercice 2 — Calcul d'espérance et de variance

/ 5 pts
  1. La variable $Y$ suit la loi :
    $Y$$-3$$1$$4$
    $P(Y=y)$$\frac{2}{5}$$\frac{2}{5}$$\frac{1}{5}$

    a) Calculer $E(Y)$.
  2. b) Calculer $E(Y^2)$ puis $V(Y)$.
  3. c) Calculer l'écart-type $\sigma(Y)$ (valeur exacte).
  4. d) Soit $Z = 2Y - 1$. Calculer $E(Z)$, $V(Z)$ et $\sigma(Z)$.

Exercice 3 — Modélisation d'un jeu de hasard

/ 5 pts
  1. Un jeu coûte 2€ pour jouer. On lance deux pièces équilibrées. On note $X$ le nombre de « pile » obtenus. Le gain brut est $X^2$ euros (0, 1 ou 4€).
  2. a) Construire la loi de $X$.
  3. b) Calculer le gain net $G = X^2 - 2$ et donner sa loi.
  4. c) Calculer $E(G)$. Le jeu est-il favorable au joueur ?
  5. d) Calculer $V(G)$ et $\sigma(G)$.

Exercice 4 — Étude d'un tirage sans remise

/ 6 pts
  1. Une urne contient 5 jetons : 3 numérotés 1 et 2 numérotés 3. On tire successivement et sans remise 2 jetons. Soit $S$ la somme des deux numéros tirés.
  2. a) Lister toutes les paires de numéros possibles et calculer $P(S=2)$.
  3. b) Calculer $P(S=4)$ et $P(S=6)$.
  4. c) Vérifier que $P(S=2)+P(S=4)+P(S=6)=1$.
  5. d) Calculer $E(S)$ et interpréter.
  6. e) Calculer $V(S)$ en utilisant la formule de König-Huygens.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Loi de probabilité et vérification
Corrigé :
a) La somme vaut 1 : $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+a+\frac{1}{6}=1 \Rightarrow a=1-\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=1-\frac{4}{6}=\frac{1}{3}$. Donc $a=\frac{1}{3}$.
b) $P(X\ge 0)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=5)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2+2+1}{6}=\frac{5}{6}$.
c) $P(-1d) Non. $P(X=-1)=\frac{1}{6}

Exercice 2 — Calcul d'espérance et de variance
Corrigé :
a) $E(Y)=(-3)\cdot\frac{2}{5}+1\cdot\frac{2}{5}+4\cdot\frac{1}{5}=\frac{-6+2+4}{5}=\frac{0}{5}=0$.
b) $E(Y^2)=9\cdot\frac{2}{5}+1\cdot\frac{2}{5}+16\cdot\frac{1}{5}=\frac{18+2+16}{5}=\frac{36}{5}$. $V(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2=\frac{36}{5}-0=\frac{36}{5}$.
c) $\sigma(Y)=\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$.
d) $E(Z)=2E(Y)-1=2\times 0-1=-1$. $V(Z)=4V(Y)=4\times\frac{36}{5}=\frac{144}{5}$. $\sigma(Z)=2\sigma(Y)=\frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$.

Exercice 3 — Modélisation d'un jeu de hasard
Corrigé :
a) Les issues sont (P,P),(P,F),(F,P),(F,F) équiprobables. $X=2$ avec $p=\frac{1}{4}$, $X=1$ avec $p=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, $X=0$ avec $p=\frac{1}{4}$.
b) Gain net $G=X^2-2$ : si $X=2$, $G=4-2=2$ ; si $X=1$, $G=1-2=-1$ ; si $X=0$, $G=0-2=-2$.
Loi de $G$ : $P(G=2)=\frac{1}{4}$, $P(G=-1)=\frac{1}{2}$, $P(G=-2)=\frac{1}{4}$.
c) $E(G)=2\times\frac{1}{4}+(-1)\times\frac{1}{2}+(-2)\times\frac{1}{4}=\frac{2-2-2}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$. L'espérance est négative : le jeu est défavorable au joueur.
d) $E(G^2)=4\cdot\frac{1}{4}+1\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\frac{1}{4}=1+\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}$. $V(G)=\frac{5}{2}-\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$. $\sigma(G)=\frac{3}{2}=1{,}5$.

Exercice 4 — Étude d'un tirage sans remise
Corrigé :
a) $\binom{5}{2}=10$ paires. $S=2$ : tirer deux jetons «1» : $\binom{3}{2}=3$ paires. $P(S=2)=\frac{3}{10}$.
b) $S=4$ : un «1» et un «3» : $3\times 2=6$ paires. $P(S=4)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. $S=6$ : deux «3» : $\binom{2}{2}=1$ paire. $P(S=6)=\frac{1}{10}$.
c) $\frac{3}{10}+\frac{6}{10}+\frac{1}{10}=\frac{10}{10}=1$ ✓.
d) $E(S)=2\cdot\frac{3}{10}+4\cdot\frac{6}{10}+6\cdot\frac{1}{10}=\frac{6+24+6}{10}=\frac{36}{10}=3{,}6$. En moyenne, la somme des deux jetons est 3,6.
e) $E(S^2)=4\cdot\frac{3}{10}+16\cdot\frac{6}{10}+36\cdot\frac{1}{10}=\frac{12+96+36}{10}=\frac{144}{10}=14{,}4$. $V(S)=14{,}4-(3{,}6)^2=14{,}4-12{,}96=1{,}44$. $\sigma(S)=\sqrt{1{,}44}=1{,}2$.

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