Suites numériques

Exercice 1 — Suites arithmétiques — terme général et calcul
Corrigé :
1a) $u_n = 2 + 6n$.
1b) $u_{15} = 2 + 6 \times 15 = 92$.
1c) $r = 6 > 0$ donc la suite est croissante.
2) $v_5 - v_2 = 3r = 12$ donc $r = 4$. Puis $v_0 = v_2 - 2r = 13 - 8 = 5$.

Exercice 2 — Suites géométriques — terme général et variation
Corrigé :
a) $u_n = 81 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n$.
b) $u_4 = 81 \times \frac{1}{81} = 1$.
c) $u_0 = 81 > 0$ et $0 < q = \frac{1}{3} < 1$ donc la suite est strictement décroissante.

Exercice 3 — Sens de variation — démonstration
Corrigé :
a) $u_0 = \frac{1}{2}$, $u_1 = \frac{4}{3}$, $u_2 = \frac{7}{4}$.
b) $u_{n+1} - u_n = \frac{3(n+1)+1}{n+3} - \frac{3n+1}{n+2} = \frac{(3n+4)(n+2)-(3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{5}{(n+3)(n+2)} > 0$. Donc $(u_n)$ est strictement croissante.
c) $3 - u_n = 3 - \frac{3n+1}{n+2} = \frac{3(n+2)-(3n+1)}{n+2} = \frac{5}{n+2} > 0$. Donc $u_n < 3$ pour tout $n$ : la suite est majorée par 3.

Exercice 4 — Sommes de suites
Corrigé :
a) Suite arithmétique de raison 4, de $u_1 = 5$ à $u_n = 81$. Rang du dernier terme : $5 + 4(n-1) = 81 \Rightarrow n = 20$. Nombre de termes : 20. $S_1 = 20 \times \frac{5+81}{2} = 20 \times 43 = 860$.
b) Suite géométrique de raison 2, de $q^0 = 1$ à $q^{12} = 2^{12}$ : 13 termes. $S_2 = \frac{1-2^{13}}{1-2} = 2^{13} - 1 = 8191$.
c) $S_3 = \frac{50 \times 51}{2} = 1275$.

Exercice 5 — Problème — suite récurrente affine et modélisation
Corrigé :
a) $u_1 = 2 \times 1 + 3 = 5$ ; $u_2 = 2 \times 5 + 3 = 13$ ; $u_3 = 2 \times 13 + 3 = 29$.
b) $v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2u_n + 3 + 3 = 2u_n + 6 = 2(u_n + 3) = 2v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison 2.
c) $v_0 = u_0 + 3 = 4$. Donc $v_n = 4 \times 2^n = 2^{n+2}$. Ainsi $u_n = v_n - 3 = 2^{n+2} - 3$.
d) $u_n > 100 \Leftrightarrow 2^{n+2} > 103$. On teste : $2^6 = 64 < 103$, $2^7 = 128 > 103$. Donc $n + 2 \geq 7 \Rightarrow n \geq 5$. La population dépasse 100 000 bactéries au bout de 5 heures.