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Spécialité Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Second degré

Polynômes du second degré, discriminant et équations $ax^2+bx+c=0$ — programme de 1re Spé Maths

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Second degré » en première permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Définition et vocabulaire, Forme canonique, Discriminant et racines, Signe du trinôme. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Étude d'un trinôme

/ 5 pts
  1. Soit $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$. Calculer le discriminant $\Delta$ de $f$.
  2. En déduire les racines $x_1$ et $x_2$ de $f$ (avec $x_1 < x_2$).
  3. Écrire $f$ sous forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$.
  4. Dresser le tableau de signes de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  5. En déduire les solutions de l'inéquation $2x^2 - 4x - 6 \leq 0$.

Exercice 2 — Forme canonique et extremum

/ 4 pts
  1. Soit $g(x) = -3x^2 + 6x + 1$. Déterminer les coordonnées du sommet $S(\alpha, \beta)$ de la parabole.
  2. Écrire $g$ sous forme canonique.
  3. $g$ admet-elle un minimum ou un maximum ? Justifier.
  4. Donner la valeur de cet extremum et la valeur de $x$ où il est atteint.

Exercice 3 — Équation du second degré

/ 5 pts
  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 - 3x - 10 = 0$.
  2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $4x^2 - 4x + 1 = 0$.
  3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 + x + 3 = 0$ (justifier l'absence de solution).
  4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(2x-1)^2 = 9$.

Exercice 4 — Problème d'optimisation

/ 4 pts
  1. Un fermier clôture un enclos rectangulaire en utilisant 80 m de grillage. Il adosse l'enclos à un bâtiment (un seul côté n'a pas besoin de grillage). La largeur est notée $x$.
  2. Exprimer la longueur $\ell$ en fonction de $x$.
  3. Montrer que l'aire $A(x) = -x^2 + 40x$.
  4. Déterminer la valeur de $x$ qui maximise l'aire et calculer l'aire maximale.

Exercice 5 — Relations de Viète et reconstruction

/ 2 pts
  1. Les racines du trinôme $5x^2 + bx + 3$ vérifient $x_1 + x_2 = -\dfrac{3}{5}$. Déterminer $b$.
  2. Écrire (coefficient dominant 2) le trinôme dont les racines sont $-1$ et $\dfrac{3}{2}$.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Étude d'un trinôme
Corrigé :
1. $\Delta = 16 + 48 = 64$.
2. $x_1 = \frac{4-8}{4} = -1$, $x_2 = \frac{4+8}{4} = 3$.
3. $f(x) = 2(x+1)(x-3)$.
4. $a=2>0$ donc $f<0$ entre les racines : $f(x)<0$ pour $x\in]-1;3[$ et $f(x)>0$ sinon.
5. Solution : $[-1\,;\,3]$.

Exercice 2 — Forme canonique et extremum
Corrigé :
1. $\alpha = -\frac{6}{-6} = 1$ ; $\beta = g(1) = -3+6+1 = 4$. Sommet $S(1;4)$.
2. $g(x) = -3(x-1)^2 + 4$.
3. $a=-3<0$ donc la parabole est ouverte vers le bas : $g$ admet un maximum.
4. Maximum de $4$ atteint en $x=1$.

Exercice 3 — Équation du second degré
Corrigé :
1. $\Delta=9+40=49$, $x_1=\frac{3-7}{2}=-2$, $x_2=\frac{3+7}{2}=5$. Solutions : $\{-2\,;\,5\}$.
2. $\Delta=16-16=0$, racine double $x_0=\frac{1}{2}$.
3. $\Delta=1-12=-11<0$ : pas de solution dans $\mathbb{R}$.
4. $(2x-1)^2=9 \Rightarrow 2x-1=\pm3$. $2x-1=3 \Rightarrow x=2$ ; $2x-1=-3 \Rightarrow x=-1$. Solutions : $\{-1\,;\,2\}$.

Exercice 4 — Problème d'optimisation
Corrigé :
1–2. Deux largeurs $x$ + une longueur $\ell = 80 \Rightarrow \ell = 80-2x$. Contrainte : $x>0$ et $80-2x>0 \Rightarrow x<40$.
3. $A(x) = x(80-2x) = 80x-2x^2 = -2x^2+80x$. (Si un seul côté de longueur, $2x+\ell=80$, $A=-x^2+40x$. Préciser selon interprétation : 2 largeurs + 1 longueur = 80, $A=x(80-2x)=-2x^2+80x$.)
4. Sommet : $\alpha = -\frac{80}{2\times(-2)} = 20$. Aire max : $A(20) = -2(400)+1600 = 800$ m².

Exercice 5 — Relations de Viète et reconstruction
Corrigé :
1. $x_1+x_2 = -\frac{b}{5} = -\frac{3}{5} \Rightarrow b = 3$.
2. Somme des racines : $-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} = -\frac{b}{a} = -\frac{b}{2} \Rightarrow b=-1$. Produit : $(-1)\times\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}=\frac{c}{2} \Rightarrow c=-3$. Trinôme : $2x^2-x-3$.

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