Logique, raisonnement et vocabulaire ensembliste

Exercice 1 — Connecteurs et tables de vérité
Corrigé :
Pour $n=12$ : $P$ vraie ($12=6\times 2$), $Q$ vraie ($12=2\times 6$). Donc $P\land Q$ vraie, $P\lor Q$ vraie, $\neg P$ fausse.
Pour $n=4$ : $P$ fausse ($4$ non multiple de $6$), $Q$ vraie ($4=2\times 2$). Donc $P\land Q$ fausse, $P\lor Q$ vraie, $\neg P$ vraie.
Peut-on avoir $P$ vraie et $Q$ fausse ? Non. Si $n$ est multiple de 6 alors $n=6k=2(3k)$ est multiple de 2. Donc $P\Rightarrow Q$ : la conjonction «$P$ vraie et $Q$ fausse» est impossible.

Exercice 2 — Quantificateurs et négations
Corrigé :
1. $\exists x \in \mathbb{R},\, x < 0$.
2. $\forall n \in \mathbb{N},\, n \geq 0$.
3. La négation de $\forall x \in \mathbb{R},\, x^2-1>0$ est $\exists x \in \mathbb{R},\, x^2-1 \leq 0$.
4. La proposition est fausse : par exemple $x=0$ donne $0-1 = -1 \not> 0$. (Aussi $x=1$ : $1-1=0\not>0$.)
5. La négation est $\forall x \in \mathbb{Z},\, x^2+2x+1 \neq 0$. La proposition originale est vraie ($x=-1$ vérifie $(-1)^2+2(-1)+1=0$), donc sa négation est fausse.

Exercice 3 — Opérations ensemblistes
Corrigé :
$A \cap B$ : les réels dans les deux intervalles : $[1;3]$.
$A \cup B$ : les réels dans au moins un intervalle : $[-2;5]$.
$A \setminus B$ : les réels de $A$ non dans $B$ : $[-2;1[$.
$\complement A = ]-\infty;-2[ \cup ]3;+\infty[$, $\complement B = ]-\infty;1[ \cup ]5;+\infty[$.
Vérification : $A \cup B = [-2;5]$ donc $\complement(A \cup B) = ]-\infty;-2[ \cup ]5;+\infty[$.
D'autre part $\complement A \cap \complement B = (]-\infty;-2[ \cup ]3;+\infty[) \cap (]-\infty;1[ \cup ]5;+\infty[) = ]-\infty;-2[ \cup ]5;+\infty[$ (les parties $]3;+\infty[$ et $]-\infty;1[$ ne s'intersectent que sur $\emptyset$ hors de ces extrémités). Égalité vérifiée. $\square$

Exercice 4 — Méthodes de démonstration
Corrigé :
(a) Raisonnement direct. Supposons $n$ pair : $n = 2k$, $k \in \mathbb{Z}$. Alors $3n+2 = 6k+2 = 2(3k+1)$, qui est pair. $\square$
(b) Contraposée. La contraposée de «$3n+2$ impair $\Rightarrow$ $n$ impair» est «$n$ pair $\Rightarrow$ $3n+2$ pair», ce qu'on vient de montrer en (a). Donc la contraposée est démontrée, ce qui démontre l'implication initiale. $\square$
(c) Équivalence. On a montré «$n$ pair $\Rightarrow$ $3n+2$ pair» (par (a)) et «$3n+2$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair» (par (b), en remarquant que (b) donne bien cela par contraposée). Les deux implications étant vraies, on a l'équivalence. $\square$
(d) Disjonction de cas pour $|n| \geq 0$. Si $n \geq 0$ : $|n| = n \geq 0$. Si $n < 0$ : $|n| = -n > 0$. Dans les deux cas $|n| \geq 0$. $\square$