Suites géométriques

Exercice 1 — Calculs de termes et reconnaissance
Corrigé :
a) $u_n = 4 \times 3^n$.
b) $u_3 = 4 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108$.
c) $\frac{15}{5} = 3$, $\frac{45}{15} = 3$, $\frac{135}{45} = 3$ : le rapport est constant, la suite est géométrique de raison $q = 3$.

Exercice 2 — Sens de variation
Corrigé :
a) $q = 1{,}25 > 1$ et $u_0 > 0$ : la suite est croissante.
b) $0 < q = 0{,}9 < 1$ et $u_0 > 0$ : la suite est décroissante.
c) $q = 1$ : la suite est constante (tous les termes valent $6$).

Exercice 3 — Évolution en pourcentage
Corrigé :
a) Augmenter de $2\,\%$ revient à multiplier par $1 + \frac{2}{100} = 1{,}02$. Donc $q = 1{,}02$.
b) $u_n = 700 \times 1{,}02^n$.
c) $u_1 = 700 \times 1{,}02 = 714$ € ; $u_2 = 700 \times 1{,}02^2 = 700 \times 1{,}0404 = 728{,}28$ €.

Exercice 4 — Somme de termes
Corrigé :
a) Raison $q = 2$, premier terme $u_0 = 1$. Les termes vont de $2^0$ à $2^8$, soit $9$ termes ($n = 8$).
b) $S = 1 \times \dfrac{1 - 2^{9}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 512}{-1} = 511$.

Exercice 5 — Problème — croissance d'une population de bactéries
Corrigé :
a) Chaque heure, le nombre est multiplié par $1 + \frac{50}{100} = 1{,}5$. La suite est géométrique de raison $q = 1{,}5$.
b) $u_n = 200 \times 1{,}5^n$.
c) $u_3 = 200 \times 1{,}5^3 = 200 \times 3{,}375 = 675$ bactéries.
d) $u_4 = 200 \times 1{,}5^4 \approx 200 \times 5{,}06 = 1012$. Comme $1012 > 5 \times 200 = 1000$, le nombre a (un peu plus que) quintuplé : oui.