Son et musique

a) Les 4 périodes occupent 9,2 ms, donc une période dure $T=\frac{9,2}{4}=2,3$ ms, soit $T=2,3\times {10}^{-3}$ s.

b) La fréquence est l'inverse de la période exprimée en secondes : $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2,3\times {10}^{-3}}\approx 434,8$ Hz, soit $f\approx 435$ Hz. Cette valeur est comprise entre 20 Hz et 20 kHz : le son est audible.

c) Le signal est sinusoïdal : c'est un son pur. Son spectre ne comporte qu'un seul pic, à 435 Hz environ, sans aucun harmonique.

d) La période est l'inverse de la fréquence : si $f$ double, $T$ est divisée par 2. $T^{\prime }=\frac{2,3}{2}=$ 1,15 ms, pour $f^{\prime }\approx 870$ Hz. Le son est plus aigu : il monte d'une octave (même nom de note). L'amplitude n'ayant pas changé, l'intensité perçue reste du même ordre.

a) L'harmonique de rang $n$ a pour fréquence $f_n=n\times f_1$ : $f_2=2\times 123=246$ Hz ; $f_3=3\times 123=369$ Hz ; $f_4=492$ Hz ; $f_5=615$ Hz. Harmoniques : 246 ; 369 ; 492 ; 615 Hz.

b) $\frac{800}{123}\approx 6,50$ n'est pas un entier : 800 Hz n'est pas un multiple de la fréquence fondamentale. Il n'y a pas de pic à 800 Hz (les harmoniques voisins sont à $6\times 123=738$ Hz et $7\times 123=861$ Hz).

c) $\frac{861}{123}=7$ exactement : 861 Hz est la fréquence de l'harmonique de rang 7 ; un pic peut donc apparaître à cette fréquence.

d) La hauteur dépend de la fréquence fondamentale. Après filtrage, les pics restants (123, 246, 492 Hz…) sont toujours des multiples de 123 Hz : la hauteur ne change pas. En revanche, le spectre est modifié (un harmonique a disparu), donc le timbre change.

a) Octave : $312\times 2=624$ Hz ; quinte : $312\times \frac{3}{2}=468$ Hz ; quarte : $312\times \frac{4}{3}=416$ Hz. 624 Hz, 468 Hz et 416 Hz.

b) $\frac{375}{250}=1,5=\frac{3}{2}$ : les deux notes sont séparées d'une quinte.

c) Descendre d'une octave divise la fréquence par 2 ; descendre de deux octaves la divise par $2^2=4$ : $\frac{312}{4}=$ 78 Hz.

d) Enchaîner deux intervalles revient à appliquer successivement deux multiplications : on multiplie les rapports, on ne les additionne pas. Avec la somme, l'élève trouverait $\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\approx 2,83$, soit environ 884 Hz, résultat sans signification musicale. Calcul correct : la quinte donne $468$ Hz, puis la quarte $468\times \frac{4}{3}=624$ Hz $=2\times 312$ Hz. Plus généralement, $\frac{3}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{12}{6}=2$. Une quinte suivie d'une quarte forme une octave.

a) Dans les deux spectres, le premier pic est à 262 Hz et tous les autres pics en sont des multiples ($524=2\times 262$, $786=3\times 262$…). Les deux sons ont donc la même fréquence fondamentale, 262 Hz, c'est-à-dire la même hauteur : ils jouent la même note.

b) $\frac{786}{262}=3$ ; $\frac{1310}{262}=5$ ; $\frac{1834}{262}=7$. Outre le fondamental (rang 1), B contient les harmoniques de rangs 3, 5 et 7 : uniquement des rangs impairs, les harmoniques pairs (524 Hz, 1 048 Hz) sont absents. C'est le spectre typique d'une clarinette dans le grave.

c) Les deux spectres ne contiennent pas les mêmes harmoniques et leurs amplitudes relatives diffèrent : les deux sons ont des timbres différents, ce qui permet à l'oreille de reconnaître chaque instrument malgré la même hauteur.

d) Même fréquence fondamentale, donc même période : $T=\frac{1}{262}\approx 3,82\times {10}^{-3}$ s, soit $T\approx 3,82$ ms. En revanche, les oscillogrammes n'ont pas la même allure : la forme du motif qui se répète dépend des harmoniques ajoutés au fondamental et de leurs amplitudes, qui diffèrent ici.

À tension et masse linéique fixées, la fréquence fondamentale est inversement proportionnelle à la longueur vibrante : le produit $f\times L$ reste constant.

a) Au milieu, $L=42$ cm : la longueur est divisée par 2, donc la fréquence est multipliée par 2 : $f=292$ Hz. Le rapport des fréquences vaut 2 : c'est l'octave supérieure.

b) La quinte supérieure a pour fréquence $146\times \frac{3}{2}=219$ Hz. La fréquence étant multipliée par $\frac{3}{2}$, la longueur doit être multipliée par $\frac{2}{3}$ : $L=84\times \frac{2}{3}=$ 56 cm, pour 219 Hz.

c) $f=146\times \frac{84}{63}=146\times \frac{4}{3}\approx$ 194,7 Hz. Le rapport des fréquences vaut $\frac{4}{3}$ : c'est une quarte.

d) Une corde plus tendue vibre plus rapidement : la fréquence augmente, le son est plus aigu. Une corde plus lourde (masse linéique plus grande), à longueur et tension égales, vibre plus lentement : le son est plus grave. C'est pour cela que les cordes graves d'une guitare sont les plus épaisses.

a) $200\times \frac{3}{2}=300$ Hz, qui est dans l'octave. $300\times \frac{3}{2}=450$ Hz $\ge 400$ Hz : on divise par 2, d'où $225$ Hz. $225\times \frac{3}{2}=337,5$ Hz, dans l'octave. $337,5\times \frac{3}{2}=506,25$ Hz $\ge 400$ Hz : on divise par 2, d'où $253,125$ Hz. Notes obtenues : 300 ; 225 ; 337,5 ; 253,125 Hz.

b) 200 < 225 < 253,125 < 300 < 337,5 Hz : c'est une gamme pentatonique (5 notes).

c) $\frac{225}{200}=1,125$ ; $\frac{253,125}{225}=1,125$ ; $\frac{300}{253,125}\approx 1,185$ ; $\frac{337,5}{300}=1,125$ ; $\frac{400}{337,5}\approx 1,185$. On a $1,125=\frac{9}{8}$ (ton pythagoricien) et $1,185\approx \frac{32}{27}$. Trois intervalles de rapport 9/8 et deux de rapport 32/27 (valeur exacte : $\frac{400}{337,5}=\frac{300}{253,125}=\frac{32}{27}$).

d) Deux rapports différents apparaissent : les écarts entre notes voisines ne sont pas égaux. Si le musicien rejoue la même mélodie en partant d'une autre note de la gamme, la suite des intervalles n'est plus la même et la mélodie est déformée : on ne peut pas transposer librement. C'est une limite de la gamme de Pythagore, que la gamme tempérée corrige.

a) Un demi-ton multiplie la fréquence par $2^{1/12}$ : $f=246,9\times 2^{1/12}\approx 246,9\times 1,05946\approx$ 261,6 Hz.

b) $f=246,9\times 2^{7/12}\approx 246,9\times 1,49831\approx$ 369,9 Hz : c'est la quinte tempérée.

c) $f=f_0\times 2^{12/12}=f_0\times 2^1=2f_0$ : douze demi-tons forment exactement une octave. $f=2\times 246,9=$ 493,8 Hz.

d) On cherche $n$ tel que $246,9\times 2^{n/12}=349,2$, soit $2^{n/12}=\frac{349,2}{246,9}\approx 1,4143$. En comparant aux puissances de $2^{1/12}$ : $2^{5/12}\approx 1,3348$, $2^{6/12}=\sqrt{2}\approx 1,4142$, $2^{7/12}\approx 1,4983$. Ou directement : $n=12\times \frac{\log (1,4143)}{\log 2}\approx 12\times 0,5001\approx 6,0$. Les deux notes sont séparées de 6 demi-tons, soit une demi-octave.

a) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^7=\frac{3^7}{2^7}=\frac{2187}{128}\approx 17,086$ et $2^4=16$, donc $r=\frac{2187}{128\times 16}=\frac{2187}{2048}\approx$ 1,0679.

b) Raisonnons par l'absurde : supposons ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n=2^p$ avec $n$ et $p$ entiers non nuls. En multipliant par $2^n$, on obtient $3^n=2^{n+p}$. Or $3^n$ est un produit de facteurs impairs, donc impair ; $2^{n+p}$, avec $n+p\ge 1$, est pair. Un entier ne peut être à la fois pair et impair : contradiction. Aucun cycle de quintes ne se referme exactement.

c) $n=5$ : $|0,9492-1|=0,0508$, soit 5,08 % ; $n=7$ : 6,79 % ; $n=12$ : 1,36 % ; $n=41$ : 1,14 % ; $n=53$ : 0,21 %. Classement, du plus juste au moins juste : 53, 41, 12, 5, 7.

d) Le cycle de 53 quintes est bien le plus juste du tableau, mais un instrument à 53 notes par octave serait très difficile à construire, à accorder et à jouer (un clavier de 53 touches par octave) ; 41 notes poserait le même problème. Le cycle de 12 quintes est le plus court qui se referme à mieux que 1,4 % près, alors que les cycles de 5 ou 7 quintes laissent un écart de 5 à 7 %, presque un demi-ton. Le choix de 12 notes est un compromis entre justesse et jouabilité : l'affirmation de l'élève ignore cette contrainte pratique.

e) Une quinte tempérée vaut $\frac{3/2}{k}$. On veut ${\left(\frac{3}{2k}\right)}^{12}=2^7$, soit $k^{12}=\frac{(3/2{)}^{12}}{2^7}\approx 1,0136$ (valeur du tableau pour $n=12$). Donc $k=1,{0136}^{1/12}\approx 1,0011$. La quinte tempérée vaut alors $\frac{1,5}{k}\approx$ 1,4983, ce qui est bien $2^{7/12}$ : le comma est réparti équitablement sur les 12 quintes.

a) Le modèle s'écrit aussi $f_1\times L=\frac{v}{2}$ : le produit $f_1\times L$ doit être constant. Calculons-le : $66,0\times 2,60\approx 171,6$ ; $131,9\times 1,30\approx 171,5$ ; $197,8\times 0,867\approx 171,5$ ; $263,8\times 0,650\approx 171,5$ (en Hz·m, c'est-à-dire en m/s). Le produit est constant aux arrondis près : $f_1$ est inversement proportionnelle à $L$, comme le prévoit le modèle. Alors $v=2\times 171,5=343$ m/s, ce qui correspond, d'après le document 1, à une température de 20 °C.

b) $L=\frac{v}{2f_1}=\frac{343}{2\times 330}\approx 0,520$ m, soit environ 52,0 cm.

c) $\frac{131,9}{66,0}\approx 2,00$ : une octave (tuyau deux fois plus court). $\frac{197,8}{131,9}\approx 1,500=\frac{3}{2}$ : une quinte (le rapport des longueurs vaut $\frac{1,30}{0,867}\approx 1,5$).

d) À 0 °C : $f_1=\frac{331}{2\times 1,30}\approx$ 127,3 Hz. Pour deux tuyaux de longueurs $L_1$ et $L_2$, le rapport des fréquences vaut $\frac{v/(2L_2)}{v/(2L_1)}=\frac{L_1}{L_2}$ : il ne dépend pas de $v$. Toutes les fréquences sont multipliées par le même facteur $\frac{331}{343}\approx 0,965$, donc les intervalles restent identiques : l'orgue reste juste avec lui-même.

e) Les fréquences des cordes du violon ne dépendent pas de la célérité du son dans l'air : elles restent celles de l'été, alors que l'orgue joue plus grave d'un facteur 0,965. Écart en demi-tons : $n=12\times \frac{\log (0,965)}{\log 2}\approx -0,62$. L'orgue sonne environ 0,6 demi-ton plus bas que le violon : c'est un écart nettement audible, d'où l'impression de fausseté.

a) Notons $f_0$ la fréquence de la corde à vide et $f_n$ celle obtenue sur la frette $n$. D'après le document 2, $f\times L$ est constant : $f_n{L}_n=f_0{L}_0$, donc $\frac{L_0}{L_n}=\frac{f_n}{f_0}$. D'après le document 1, monter de $n$ demi-tons tempérés donne $\frac{f_n}{f_0}=2^{n/12}$. Donc $\frac{L_0}{L_n}=2^{n/12}$, soit $L_n=\frac{L_0}{2^{n/12}}$.

b) $L_{12}=\frac{65,0}{2}=32,50$ cm, donc la frette 12 est à $65,0-32,5=$ 32,50 cm du sillet : exactement au milieu de la corde (octave). $L_7=\frac{65,0}{2^{7/12}}\approx \frac{65,0}{1,4983}\approx 43,38$ cm, donc la frette 7 est à $65,0-43,38=$ 21,62 cm du sillet.

c) $L_1=\frac{65,0}{2^{1/12}}\approx 61,35$ cm : distance sillet–frette 1 $=65,0-61,35=$ 3,65 cm. $L_{13}=\frac{65,0}{2^{13/12}}\approx 30,68$ cm : distance frette 12–frette 13 $=32,50-30,68=$ 1,82 cm. En effet, $L_{12}=\frac{L_0}{2}$ et $L_{13}=\frac{L_1}{2}$, donc $L_{12}-L_{13}=\frac{L_0-L_1}{2}$ : l'écart est exactement divisé par 2. Les frettes se resserrent en montant vers le chevalet, et leurs écarts sont divisés par deux à chaque octave.

d) Quinte de Pythagore : $\frac{2}{3}\times 65,0\approx 43,33$ cm de longueur vibrante, soit une frette à $65,0-43,33=21,67$ cm du sillet. Écart avec la frette 7 : $21,67-21,62=0,05$ cm, soit environ 0,5 mm. La frette tempérée est plus proche du sillet : la longueur vibrante est un peu plus grande, donc la note un peu plus grave. La quinte tempérée est légèrement plus petite que la quinte juste ($2^{7/12}\approx 1,4983<1,5$), et l'écart minuscule sur le manche traduit une différence à peine audible.