Son et musique

1. a)$T=\frac{16,2}{6}=2,70$ ms $=2,70\times {10}^{-3}$ s. (1)
2. b)$f=\frac{1}{2,70\times {10}^{-3}}\approx 370$ Hz. (1)
3. c)Son composé ; pics aux multiples du fondamental : environ 370 Hz, 741 Hz et 1 111 Hz. (1)
4. d)$f=\frac{1}{0,040\times {10}^{-3}}=25000$ Hz $=25$ kHz $>20$ kHz : c'est un ultrason, inaudible pour l'homme. (1)

Erreur fréquente — Oublier de convertir la période en secondes donne une fréquence 1 000 fois trop petite.

1. a)Tous les pics sont multiples de 233 Hz : $f_1=233$ Hz. Non : le pic le plus haut (466 Hz) est l'harmonique de rang 2. (1)
2. b)$\frac{699}{233}=3$ : harmonique de rang 3. (1)
3. c)$\frac{1200}{233}\approx 5,15$, non entier : pas de pic à 1 200 Hz (le rang 5 est à 1 165 Hz). (1)
4. d)Commun : même fondamental (233 Hz), pics aux mêmes multiples, donc même hauteur. Différent : amplitudes relatives des harmoniques, donc timbre. (1)

À retenir — Le fondamental est la fréquence dont tous les pics sont multiples, pas forcément le pic le plus haut.

1. a)$318\times 2=636$ Hz et $\frac{318}{2}=159$ Hz. (1)
2. b)$318\times \frac{3}{2}=477$ Hz. (1)
3. c)Descendre d'une quinte divise par $\frac{3}{2}$ : $318\times \frac{2}{3}=212$ Hz. (1)
4. d)$318\times \frac{9}{4}=715,5$ Hz $\ge 636$ Hz, donc $\frac{715,5}{2}=357,75$ Hz ; rapport $\frac{9}{8}=1,125$ (ton pythagoricien). (1)

Repère — Monter d'un intervalle multiplie par son rapport, descendre divise par ce même rapport.

1. a)$256\times 1,5=384$ Hz ; $384\times 1,5=576\ge 512$, donc 288 Hz ; $288\times 1,5=432$ Hz. (1)
2. b)$\frac{288}{256}=1,125=\frac{9}{8}$ : un ton pythagoricien. (1)
3. c)Il faudrait ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n=2^p$, soit $3^n=2^{n+p}$ ; or $3^n$ est impair et $2^{n+p}$ pair : impossible. (1)
4. d)${\left(\frac{3}{2}\right)}^{12}\approx 129,75$ ; $2^7=128$ ; quotient $\approx 1,0136$ : le comma pythagoricien, écart entre 12 quintes et 7 octaves. (1)

Le point clé — Un argument de parité suffit à prouver que le cycle des quintes ne se referme jamais.

1. a)12 demi-tons égaux de rapport $r$ forment une octave : $r^{12}=2$, donc $r=2^{1/12}\approx 1,0595$. (1)
2. b)$415\times 2^{3/12}\approx 415\times 1,1892\approx 493,5$ Hz. (1)
3. c)Tempérée : $415\times 2^{7/12}\approx 621,8$ Hz ; Pythagore : $415\times 1,5=622,5$ Hz ; la quinte tempérée est plus basse d'environ 0,7 Hz. (1)
4. d)$n=12\times \frac{\log (440/415)}{\log 2}\approx 1,01$ : environ un demi-ton ; le diapason baroque est un demi-ton plus bas que le diapason actuel. (1)

Attention — Dans la gamme tempérée, chaque demi-ton multiplie la fréquence par $2^{1/12}$ : ajouter un nombre fixe de hertz est faux.