Ressources · 1ʳᵉ · Enseignement scientifique

Le son, une information à coder

Numérisation (échantillonnage, quantification), fréquence d'échantillonnage, taille d'un fichier, compression (programme d'enseignement scientifique de 1re)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Le son, une information à coder » en première permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en enseignement scientifique. Ils suivent le programme officiel de première et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Enregistrer et reproduire un son : de l'analogique au numérique, Échantillonnage : choisir la fréquence d'échantillonnage, Quantification : le nombre de bits. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser enseignement scientifique en première.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Échantillonner un signal

Facile

Un enregistreur numérique échantillonne le signal délivré par un microphone à la fréquence $f_{e}$ = 24 kHz.

a) Définir l'échantillonnage d'un signal.
b) Calculer la période d'échantillonnage $T_{e}$ , en microsecondes.
c) Combien d'échantillons sont prélevés au cours d'un enregistrement de 2,5 s ?
d) Quelle est la fréquence la plus élevée que cet enregistreur peut restituer fidèlement ? Justifier.

a) Échantillonner un signal, c'est mesurer sa valeur à intervalles de temps réguliers, séparés de la période d'échantillonnage $T_{e}$ . On ne conserve que ces mesures, appelées échantillons.

b) $T_{e} = \frac{1}{f_{e}} = \frac{1}{24 000}$ ≈ 4,17 × 10⁻⁵ s, soit $T_{e}$ ≈ 41,7 µs.

c) On prélève $f_{e}$ échantillons par seconde, donc pendant 2,5 s : 24 000 × 2,5 = 60 000 échantillons.

d) D'après le critère de Shannon, un son est restitué fidèlement si $f_{e} \geq 2 f_{max}$ , c'est-à-dire si $f_{max} \leq \frac{f_{e}}{2}$ . Ici $\frac{24}{2}$ = 12 : la fréquence la plus élevée restituée fidèlement est 12 kHz. Les composantes plus aiguës seraient faussées.

Exercice 2 — Niveaux et pas de quantification

Facile

Un convertisseur analogique-numérique code chaque échantillon sur $n$ bits. La tension d'entrée est comprise entre 0 V et 3,2 V.

a) Calculer le nombre de niveaux de quantification pour $n$ = 12, puis pour $n$ = 20.
b) Calculer le pas de quantification pour $n$ = 12, en millivolts.
c) Déterminer le nombre minimal de bits permettant de disposer d'au moins 1 000 niveaux.

a) Avec $n$ bits, on dispose de $2^{n}$ niveaux. Pour $n$ = 12 : $2^{12}$ = 4 096 niveaux. Pour $n$ = 20 : $2^{20}$ = 1 048 576 niveaux, soit environ 256 fois plus.

b) L'étendue de la plage est $E$ = 3,2 − 0 = 3,2 V. Le pas vaut $q = \frac{E}{2^{n}} = \frac{3, 2}{4 096}$ = 7,8125 × 10⁻⁴ V, soit $q$ ≈ 0,78 mV.

c) On cherche le plus petit $n$ tel que $2^{n} \geq$ 1 000. Or $2^{9}$ = 512 < 1 000 et $2^{10}$ = 1 024 ≥ 1 000. Il faut donc 10 bits au minimum.

Exercice 3 — Le fichier d'un dictaphone

Facile

Un dictaphone enregistre en mono avec une fréquence d'échantillonnage de 22,05 kHz et une quantification sur 8 bits. On enregistre une conversation de 5 min.

a) Calculer le débit binaire de cet enregistrement, en kbit/s.
b) Calculer la taille du fichier obtenu, en bits.
c) Exprimer cette taille en octets, puis en mégaoctets.

a) Le débit vaut $D = f_{e} \times n \times N$ avec $N$ = 1 (mono) : $D$ = 22 050 × 8 × 1 = 176 400 bit/s, soit $D$ = 176,4 kbit/s.

b) La durée doit être en secondes : $Δ t$ = 5 × 60 = 300 s. Donc $T = D \times Δ t$ = 176 400 × 300 = 52 920 000 bits.

c) Un octet vaut 8 bits : 52 920 000 ÷ 8 = 6 615 000 octets. Avec 1 Mo = 10⁶ octets, la taille est $T$ ≈ 6,6 Mo.

Exercice 4 — Enregistrer des chauves-souris

Moyen

Les cris d'écholocation d'une espèce de chauve-souris contiennent des composantes de fréquences comprises entre 25 kHz et 110 kHz. Un naturaliste souhaite les enregistrer pour les analyser sur ordinateur.

a) Expliquer pourquoi un enregistreur réglé en qualité CD ne permet pas d'enregistrer ces cris fidèlement.
b) Déterminer la fréquence d'échantillonnage minimale à utiliser.
c) L'enregistreur propose 200 kHz, 250 kHz et 500 kHz. Lesquelles conviennent ? Laquelle faut-il choisir pour limiter la taille des fichiers ?
d) Calculer la taille, en Mo, d'un enregistrement de 15 s réalisé à 250 kHz, sur 16 bits, en mono.

a) En qualité CD, $f_{e}$ = 44,1 kHz : d'après le critère de Shannon, seules les composantes de fréquence inférieure à $\frac{44, 1}{2}$ = 22,05 kHz sont restituées fidèlement. Or toutes les composantes des cris sont au-dessus de 25 kHz : aucune n'est enregistrée correctement.

b) La plus haute fréquence est $f_{max}$ = 110 kHz. Il faut $f_{e} \geq 2 f_{max}$ = 2 × 110 = 220 kHz.

c) 200 kHz < 220 kHz ne convient pas. 250 kHz et 500 kHz conviennent. La taille étant proportionnelle à $f_{e}$ , on choisit 250 kHz : le fichier est deux fois plus léger qu'à 500 kHz, sans perte de fidélité puisque le critère est déjà respecté.

d) $T = f_{e} \times n \times N \times Δ t$ = 250 000 × 16 × 1 × 15 = 60 000 000 bits. En octets : 60 000 000 ÷ 8 = 7 500 000 octets, soit $T$ = 7,5 Mo.

Exercice 5 — Haute résolution contre qualité CD

Moyen

Une plateforme propose un morceau de 3 min 40 s en « haute résolution » : 96 kHz, 24 bits, stéréo, sans compression.

a) Calculer le débit binaire de ce fichier.
b) Calculer sa taille, en Mo.
c) Montrer que ce fichier est plus de trois fois plus volumineux que le même morceau en qualité CD (44,1 kHz, 16 bits, stéréo).
d) Un auditeur perçoit les sons jusqu'à 20 kHz environ. Justifier que, du point de vue de l'échantillonnage, 96 kHz n'apporte pas de fidélité audible par rapport à 44,1 kHz.

a) $D = f_{e} \times n \times N$ = 96 000 × 24 × 2 = 4 608 000 bit/s, soit environ 4,6 Mbit/s.

b) $Δ t$ = 3 × 60 + 40 = 220 s. $T$ = 4 608 000 × 220 = 1 013 760 000 bits, soit 1 013 760 000 ÷ 8 = 126 720 000 octets : $T$ ≈ 126,7 Mo.

c) En qualité CD, $D^{'}$ = 44 100 × 16 × 2 = 1 411 200 bit/s, donc $T^{'}$ = 1 411 200 × 220 ÷ 8 = 38 808 000 octets ≈ 38,8 Mo. Le rapport des tailles vaut $\frac{126 720 000}{38 808 000}$ ≈ 3,27 (c'est aussi le rapport des débits, la durée étant la même). Comme 3,27 > 3, le fichier haute résolution est bien plus de trois fois plus volumineux.

d) Avec $f_{max}$ = 20 kHz, le critère de Shannon impose $f_{e} \geq$ 40 kHz. La fréquence de 44,1 kHz le respecte déjà : toutes les composantes audibles sont restituées fidèlement. Passer à 96 kHz permet de restituer jusqu'à 48 kHz, c'est-à-dire des fréquences que l'oreille ne perçoit pas : le fichier grossit sans gain audible lié à l'échantillonnage.

Exercice 6 — Autonomie d'un enregistreur de terrain

Moyen

Un preneur de son règle son enregistreur sur 192 kHz, 24 bits, stéréo, sans compression. Il dispose d'une carte mémoire de 64 Go (1 Go = 10⁹ octets).

a) Calculer le débit binaire, en octets par seconde.
b) Déterminer la durée d'enregistrement que permet la carte, en heures et minutes.
c) Quelle serait cette durée en mono, les autres réglages étant inchangés ?
d) Quelle serait cette durée en stéréo avec une quantification sur 16 bits ?

a) $D$ = 192 000 × 24 × 2 = 9 216 000 bit/s. En octets : 9 216 000 ÷ 8 = 1 152 000 octets par seconde.

b) La carte contient 64 × 10⁹ octets. Durée : $Δ t = \frac{64 \times 10^{9}}{1 152 000}$ ≈ 55 556 s. Or 55 556 ÷ 3 600 ≈ 15,43 h et 0,43 × 60 ≈ 26 min : environ 15 h 26 min.

c) En mono, $N$ passe de 2 à 1 : le débit est divisé par 2, donc la durée est multipliée par 2 : environ 111 111 s ≈ 30,86 h, soit environ 30 h 52 min.

d) Le débit devient 192 000 × 16 × 2 = 6 144 000 bit/s = 768 000 octets par seconde. Durée : $\frac{64 \times 10^{9}}{768 000}$ ≈ 83 333 s ≈ 23,15 h, soit environ 23 h 9 min. On vérifie la cohérence : le débit est multiplié par $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$ , la durée par 1,5.

Exercice 7 — Compresser un podcast

Moyen

Un podcast de 25 min est enregistré au format WAV (48 kHz, 16 bits, mono), puis encodé en MP3 à débit constant de 96 kbit/s.

a) Calculer la taille du fichier WAV, en Mo.
b) Calculer la taille du fichier MP3, en Mo.
c) Calculer le taux de compression $τ$ (quotient des tailles), puis la réduction de taille en pourcentage.
d) Un auditeur affirme : « Il suffit de reconvertir le MP3 en WAV pour retrouver le fichier d'origine. » Expliquer son erreur.

a) $Δ t$ = 25 × 60 = 1 500 s. Débit : 48 000 × 16 × 1 = 768 000 bit/s. $T_{WAV}$ = 768 000 × 1 500 = 1 152 000 000 bits = 144 000 000 octets, soit 144 Mo.

b) Le débit du MP3 est constant : $T_{MP3}$ = 96 000 × 1 500 = 144 000 000 bits = 18 000 000 octets, soit 18 Mo.

c) $τ = \frac{144}{18}$ = 8 : le fichier est 8 fois plus léger. Réduction : $(1 - \frac{18}{144}) \times 100$ = 87,5 %.

d) Le MP3 est un format de compression avec perte : l'encodeur a définitivement supprimé des informations sonores jugées peu perceptibles. Le WAV obtenu par reconversion aurait bien une taille voisine de 144 Mo, mais il ne contiendrait que l'information conservée dans le MP3. La compression avec perte est irréversible.

Exercice 8 — Régler une messagerie vocale

Difficile

Document 1 — La voix humaine. L'intelligibilité de la parole repose essentiellement sur les composantes de fréquences comprises entre 300 Hz et 3 400 Hz. Une voix au timbre « naturel » contient en outre des composantes utiles jusqu'à environ 7 kHz.

Document 2 — Réglages envisagés pour une application de messages vocaux.

Réglage	Fréquence d'échantillonnage	Quantification	Nombre de voies
A	8 kHz	8 bits	1
B	16 kHz	16 bits	1
C	32 kHz	16 bits	2

L'application n'accepte pas de message dont la taille dépasse 1 Mo (10⁶ octets).

1. Montrer que le réglage A suffit pour que la parole reste intelligible.
2. Le réglage A restitue-t-il une voix au timbre « naturel » ? Et le réglage B ? Justifier.
3. Calculer le débit binaire de chacun des trois réglages.
4. Déterminer la durée maximale d'un message avec le réglage A, puis avec le réglage B.
5. Un développeur propose le réglage C « pour avoir le meilleur son possible ». Discuter ce choix de manière argumentée et conclure.

1. Pour l'intelligibilité, la plus haute fréquence utile est $f_{max}$ = 3 400 Hz (document 1). Le critère de Shannon impose $f_{e} \geq 2 f_{max}$ = 6 800 Hz. Le réglage A échantillonne à 8 000 Hz ≥ 6 800 Hz : la parole reste intelligible.

2. Le réglage A ne restitue fidèlement que les composantes jusqu'à $\frac{8}{2}$ = 4 kHz < 7 kHz : le timbre naturel n'est pas conservé (voix « téléphonique »). Le réglage B restitue jusqu'à $\frac{16}{2}$ = 8 kHz ≥ 7 kHz : la voix garde son timbre naturel.

3. $D = f_{e} \times n \times N$ :
• A : 8 000 × 8 × 1 = 64 000 bit/s = 64 kbit/s ;
• B : 16 000 × 16 × 1 = 256 000 bit/s = 256 kbit/s ;
• C : 32 000 × 16 × 2 = 1 024 000 bit/s = 1 024 kbit/s.

4. La limite vaut 10⁶ octets = 8 × 10⁶ bits. La durée maximale est $Δ t = \frac{T}{D}$ .
• A : $\frac{8 \times 10^{6}}{64 000}$ = 125 s, soit 2 min 5 s.
• B : $\frac{8 \times 10^{6}}{256 000}$ = 31,25 s, soit environ 31 s.

5. Le réglage C restitue les fréquences jusqu'à 16 kHz, bien au-delà des 7 kHz utiles pour la voix : cet échantillonnage n'apporte aucune information supplémentaire sur la voix. La stéréo n'apporte rien non plus pour un message dicté dans un seul microphone de téléphone : les deux voies seraient quasi identiques et la taille doublerait. Son débit est 4 fois celui de B : un message serait limité à $\frac{8 \times 10^{6}}{1 024 000}$ ≈ 7,8 s, ce qui rend l'application inutilisable. Conclusion : le réglage B est le meilleur compromis (voix naturelle, messages d'une trentaine de secondes) ; A reste possible si l'on privilégie la durée des messages.

Exercice 9 — Quantifier un signal échantillonné

Difficile

Un signal sinusoïdal de fréquence 500 Hz et d'amplitude 3,6 V est numérisé par un convertisseur 3 bits dont la plage d'entrée va de −4 V à +4 V. Les niveaux de quantification sont −4 V, −3 V, −2 V, …, +3 V, codés de 000 à 111 dans l'ordre croissant. Chaque tension mesurée est associée au niveau immédiatement inférieur ou égal.

Document — Échantillons prélevés sur une période.

$t$ (ms)	0	0,25	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50	1,75
$u$ (V)	0,00	2,55	3,60	2,55	0,00	−2,55	−3,60	−2,55

1. Déterminer la fréquence d'échantillonnage et vérifier que le critère de Shannon est respecté.
2. Montrer que le pas de quantification vaut 1 V.
3. Donner, pour chaque échantillon, le niveau et le code binaire attribués.
4. Calculer l'erreur de quantification maximale commise sur ces huit échantillons et la comparer au pas.
5. Déterminer le nombre minimal de bits pour que le pas soit inférieur à 5 mV, sur la même plage.
6. Expliquer pourquoi on ne choisit pas systématiquement le plus grand nombre de bits possible.

1. Deux échantillons successifs sont séparés de $T_{e}$ = 0,25 ms = 2,5 × 10⁻⁴ s, donc $f_{e} = \frac{1}{2, 5 \times 10^{- 4}}$ = 4 000 Hz. Le signal ne contient qu'une fréquence, 500 Hz, et 2 × 500 = 1 000 Hz ≤ 4 000 Hz : le critère de Shannon est respecté (8 échantillons par période).

2. Sur 3 bits, il y a $2^{3}$ = 8 niveaux. L'étendue de la plage est $E$ = 4 − (−4) = 8 V, donc $q = \frac{E}{2^{n}} = \frac{8}{8}$ = 1 V, ce qui correspond bien à l'écart entre les niveaux −4 V, −3 V, …, +3 V.

3. Le niveau $k$ V reçoit le code binaire du nombre $k + 4$ (de 0 à 7).

$u$ (V)	0,00	2,55	3,60	2,55	0,00	−2,55	−3,60	−2,55
Niveau (V)	0	2	3	2	0	−3	−4	−3
Code	100	110	111	110	100	001	000	001

Attention aux tensions négatives : le niveau immédiatement inférieur à −2,55 V est −3 V, pas −2 V.

4. Erreurs (valeur mesurée − niveau) : 0 ; 0,55 ; 0,60 ; 0,55 ; 0 ; 0,45 ; 0,40 ; 0,45 V. L'erreur maximale vaut 0,60 V, atteinte pour 3,60 V. Elle est inférieure au pas de 1 V, conformément au cours : l'arrondi au niveau inférieur ne peut pas écarter la valeur de plus d'un pas. Relativement à l'amplitude de 3,6 V, cette erreur est énorme : le signal restitué est « en escalier ».

5. On veut $\frac{8}{2^{n}}$ < 0,005, soit $2^{n}$ > $\frac{8}{0, 005}$ = 1 600. Or $2^{10}$ = 1 024 < 1 600 < 2 048 = $2^{11}$ . Il faut 11 bits ; le pas vaut alors $\frac{8}{2 048}$ ≈ 3,9 mV.

6. La taille du fichier est proportionnelle au nombre de bits $n$ : plus de bits signifie un fichier plus lourd. Au-delà d'une certaine finesse, l'erreur de quantification devient plus petite que le bruit électrique du microphone et inaudible : ajouter des bits n'améliore plus rien de perceptible. On choisit donc un compromis entre fidélité et taille.

Exercice 10 — Ce que l'encodeur supprime

Difficile

Document 1 — Seuil d'audibilité (niveau sonore minimal perçu par une oreille moyenne, valeurs approchées).

Fréquence	100 Hz	1 000 Hz à 1 100 Hz	4 000 Hz	16 000 Hz
Seuil (dB)	25	3	−5	40

Document 2 — Composantes d'un extrait musical (spectre simplifié).

Fréquence	100 Hz	1 000 Hz	1 100 Hz	4 000 Hz	16 000 Hz
Niveau (dB)	20	60	30	10	35

Document 3 — Effet de masquage (règle simplifiée). Une composante de fréquence $f_{1}$ et de niveau $L_{1}$ rend inaudible une composante de fréquence voisine $f_{2}$ (écart relatif $\frac{| f_{2} - f_{1} |}{f_{1}}$ inférieur à 20 %) dont le niveau est inférieur à $L_{1}$ − 25 dB.

Document 4 — Les fichiers. L'extrait, d'une durée de 4 min 10 s, est enregistré en WAV (88,2 kHz, 24 bits, stéréo), puis encodé dans un format avec perte à débit constant de 160 kbit/s. L'encodeur supprime les composantes inaudibles.

1. À l'aide du document 1, identifier les composantes du document 2 inaudibles car situées sous le seuil d'audibilité.
2. Montrer que la composante de 1 100 Hz, pourtant au-dessus du seuil d'audibilité, est inaudible.
3. En déduire les composantes conservées par l'encodeur.
4. Calculer la taille du fichier WAV, celle du fichier compressé, puis le taux de compression $τ$ (quotient des tailles).
5. Un élève affirme : « L'encodeur supprime 3 composantes sur 5, donc le fichier compressé est 2,5 fois plus petit. » Expliquer son erreur.
6. Expliquer pourquoi un studio conserve toujours le fichier WAV d'origine.

1. On compare chaque niveau au seuil à la même fréquence :
• 100 Hz : 20 dB < 25 dB → inaudible ;
• 1 000 Hz : 60 dB > 3 dB → audible ;
• 1 100 Hz : 30 dB > 3 dB → au-dessus du seuil ;
• 4 000 Hz : 10 dB > −5 dB → audible (l'oreille est très sensible vers 4 kHz) ;
• 16 000 Hz : 35 dB < 40 dB → inaudible.

2. La composante de 1 000 Hz, à 60 dB, est voisine : écart relatif $\frac{1 100 - 1 000}{1 000}$ = 0,10 = 10 % < 20 %. Son niveau vérifie 30 dB < 60 − 25 = 35 dB. Les deux conditions du document 3 sont réunies : la composante de 1 100 Hz est masquée par celle de 1 000 Hz. La composante de 4 000 Hz n'est pas masquée (écart de 300 %).

3. L'encodeur supprime 100 Hz, 1 100 Hz et 16 000 Hz ; il conserve les composantes de 1 000 Hz et 4 000 Hz. À l'écoute, l'extrait compressé paraît identique à l'original.

4. $Δ t$ = 4 × 60 + 10 = 250 s.
WAV : $D$ = 88 200 × 24 × 2 = 4 233 600 bit/s ; $T$ = 4 233 600 × 250 = 1 058 400 000 bits = 132 300 000 octets ≈ 132,3 Mo.
Fichier compressé : $T^{'}$ = 160 000 × 250 = 40 000 000 bits = 5 000 000 octets = 5 Mo.
$τ = \frac{132, 3}{5}$ ≈ 26,5, soit une réduction d'environ 96 %.

5. Le quotient réel est d'environ 26,5, pas 2,5. La taille du fichier compressé n'est pas proportionnelle au nombre de composantes du spectre simplifié : elle est fixée par le débit choisi (160 kbit/s) et par la durée. L'encodeur ne se contente pas de retirer des composantes : il code aussi les composantes conservées avec une précision juste suffisante pour l'oreille. Le raisonnement de l'élève confond nombre de composantes et quantité d'information binaire.

6. La compression avec perte est irréversible : l'information supprimée ne peut pas être retrouvée. Or un studio doit pouvoir retravailler le son (mixage, filtrage, nouvel encodage) ; des traitements successifs sur un fichier déjà compressé accumuleraient les pertes. Le WAV (ou un format sans perte) sert donc de référence.

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