Le rayonnement solaire

a) Quatre noyaux d'hydrogène fusionnent en un noyau d'hélium en libérant deux positons : $$4{}_1^{1}H\to {}_2^4\mathrm{H}\mathrm{e}+2{}_1^{0}e$$ Le noyau formé est l'hélium 4.

b) En $\Delta t=1$ s, l'énergie rayonnée vaut $E=P\times \Delta t=3,85\times {10}^{26}\times 1=3,85\times {10}^{26}$ J. D'après l'équivalence masse-énergie, cette énergie correspond à une perte de masse $$\Delta m=\frac{E}{c^2}=\frac{3,85\times {10}^{26}}{(3,00\times {10}^8{)}^2}=\frac{3,85\times {10}^{26}}{9,00\times {10}^{16}}$$ $\Delta m\approx 4,28\times {10}^9$ kg chaque seconde.

c) Une journée dure $24\times 3600=86400$ s. La masse perdue en un jour vaut $4,28\times {10}^9\times 86400\approx 3,70\times {10}^{14}$ kg. Comme 1 t = ${10}^3$ kg : le Soleil perd environ $3,70\times {10}^{11}$ t par jour, soit 370 milliards de tonnes.

D'après la loi de Wien, $T=\frac{2,898\times {10}^{-3}}{{\lambda }_{max}}$, avec ${\lambda }_{max}$ en mètres et $T$ en kelvins.

a) Étoile A : $T_A=\frac{2,898\times {10}^{-3}}{292\times {10}^{-9}}\approx$ $9,92\times {10}^3$ K. Étoile B : $T_B=\frac{2,898\times {10}^{-3}}{680\times {10}^{-9}}\approx$ $4,26\times {10}^3$ K. Étoile C : $T_C=\frac{2,898\times {10}^{-3}}{870\times {10}^{-9}}\approx$ $3,33\times {10}^3$ K.

b) L'étoile la plus froide est C : ${\theta }_C=T_C-273,15\approx 3331-273\approx$ $3,06\times {10}^3$ °C.

c) ${\lambda }_{max}$ est inversement proportionnelle à $T$ : plus ${\lambda }_{max}$ est courte, plus l'étoile est chaude. Classement : A (≈ 9 900 K) > B (≈ 4 300 K) > C (≈ 3 300 K). A a son maximum dans l'ultraviolet proche et émet davantage de bleu que de rouge : elle paraît blanc-bleuté. B a son maximum dans le rouge et émet encore beaucoup de jaune : elle paraît orangée. C a son maximum dans l'infrarouge (870 nm > 800 nm) et émet surtout du rouge dans le visible : elle paraît rouge.

La puissance reçue par une surface plane vaut $P=P_s\times S\times \cos \theta$.

a) Rayons perpendiculaires : θ = 0°, $\cos 0°=1$. $P_{max}=950\times 2,4=$ $2,28\times {10}^3$ W.

b) $P=950\times 2,4\times \cos 50°=2280\times 0,643\approx$ $1,47\times {10}^3$ W. Le capteur reçoit environ 64 % de la puissance maximale.

c) On cherche θ tel que $P=\frac{P_{max}}{2}$, c'est-à-dire $\cos \theta =0,5$ : θ = 60°.

d) $\cos 90°=0$ donc P = 0 W : les rayons arrivent parallèlement à la surface du capteur (rayons rasants) et ne la traversent pas.

a) Nucléons : à gauche $4\times 1=4$ ; à droite $4+2\times 0=4$. Charge : à gauche $4\times 1=4$ ; à droite $2+2\times 1=4$. Les deux lois de conservation sont respectées.

b) Masse des réactifs : $4m_p=4\times 1,67262\times {10}^{-27}=6,69048\times {10}^{-27}$ kg. Masse des produits : $m_{He}+2m_e$$=6,64466\times {10}^{-27}+2\times 9,109\times {10}^{-31}$$=6,64648\times {10}^{-27}$ kg. Donc $\Delta m=6,69048\times {10}^{-27}-6,64648\times {10}^{-27}$, soit $\Delta m\approx 4,40\times {10}^{-29}$ kg. Il faut garder toutes les décimales : les deux masses sont très proches et un arrondi prématuré fausse la différence.

c) $E$$=\Delta m·c^2$$=4,40\times {10}^{-29}\times (3,00\times {10}^8{)}^2$$=4,40\times {10}^{-29}\times 9,00\times {10}^{16}$, soit $E\approx 3,96\times {10}^{-12}$ J. En MeV : $\frac{3,96\times {10}^{-12}}{1,602\times {10}^{-13}}\approx$ 24,7 MeV. (Les positons s'annihilent ensuite avec des électrons, ce qui porte l'énergie totale libérée à environ 26,7 MeV.)

d) $\frac{\Delta m}{4m_p}$$=\frac{4,40\times {10}^{-29}}{6,69048\times {10}^{-27}}$$\approx 6,58\times {10}^{-3}$, soit 0,658 %. La masse perdue représente bien environ 0,7 % de la masse des réactifs : l'essentiel de la masse se retrouve dans l'hélium formé.

a) L'intensité est maximale (100 %) pour λ = 400 nm, et elle décroît de part et d'autre (96 % à 350 nm, 97 % à 450 nm). ${\lambda }_{max}\approx 400$ nm, à 25 nm près compte tenu du pas du tableau.

b) $T=\frac{2,898\times {10}^{-3}}{{\lambda }_{max}}=\frac{2,898\times {10}^{-3}}{400\times {10}^{-9}}\approx 7245$ K, soit $T\approx 7,2\times {10}^3$ K.

c) Oui dans les deux cas : l'intensité vaut encore 53 % à 250 nm et 80 % à 300 nm, longueurs d'onde inférieures à 400 nm, donc dans l'ultraviolet ; elle vaut 23 % à 1 000 nm, au-delà de 800 nm, donc dans l'infrarouge. Le spectre d'un corps noir est continu : l'étoile émet dans les trois domaines.

d) $7,2\times {10}^3$ K > 5 800 K : l'étoile est plus chaude que le Soleil, et son maximum (400 nm, limite violette du visible) est décalé vers les courtes longueurs d'onde par rapport à celui du Soleil. Dans le visible, elle émet plus de violet et de bleu que de rouge (100 % à 400 nm contre 41 % à 800 nm) : elle paraît blanc-bleuté.

a) La puissance du Soleil se répartit sur une sphère de rayon $d_M$, d'aire $4\pi d_M^2=4\pi \times (2,28\times {10}^{11}{)}^2\approx 6,53\times {10}^{23}$ m². Donc $P_s=\frac{P}{4\pi d_M^2}=\frac{3,86\times {10}^{26}}{6,53\times {10}^{23}}\approx$ 591 W·m⁻².

b) Vu du Soleil, Mars est un disque d'aire $\pi R_M^2=\pi \times (3,39\times {10}^6{)}^2\approx 3,61\times {10}^{13}$ m². Puissance interceptée : $P_M=P_s\times \pi R_M^2\approx 591\times 3,61\times {10}^{13}\approx$ $2,13\times {10}^{16}$ W.

c) $\frac{P_M}{P}=\frac{2,13\times {10}^{16}}{3,86\times {10}^{26}}\approx$ $5,5\times {10}^{-11}$. On retrouve ce résultat par $\frac{R_M^2}{4d_M^2}$ : la proportion ne dépend que du rayon de la planète et de sa distance au Soleil.

d) La puissance surfacique vaut $\frac{P}{4\pi d^2}$ : à puissance $P$ fixée, elle est inversement proportionnelle au carré de la distance. Donc $\frac{P_{s,T}}{P_{s,M}}$$=\frac{d_M^2}{d_T^2}$$={\left(\frac{2,28}{1,50}\right)}^2$$=1,{52}^2$$\approx 2,31$. La puissance surfacique au niveau de Mars est bien environ 2,3 fois plus faible qu'au niveau de la Terre.

a) Aux équinoxes, h = 90° − φ = 90° − 50,6° = 39,4°.

b) Au solstice de juin, le Soleil est 23,4° plus haut : h = 39,4° + 23,4° = 62,8°. Au solstice de décembre, il est 23,4° plus bas : h = 39,4° − 23,4° = 16,0°.

c) Pour un sol horizontal, l'angle entre la normale (verticale) et les rayons vaut θ = 90° − h, donc $\cos \theta =\sin h$ et $P=P_s\times S\times \sin h$. Le rapport vaut $$\frac{P_{juin}}{P_{déc}}=\frac{\sin 62,8°}{\sin 16,0°}=\frac{0,889}{0,276}\approx 3,2$$ À midi, le sol lillois reçoit environ 3,2 fois plus de puissance par m² en juin qu'en décembre.

d) La Terre est au plus près du Soleil début janvier, en plein hiver de l'hémisphère nord, et la distance Terre-Soleil ne varie que d'environ 3 % au cours de l'année. Les saisons s'expliquent par l'inclinaison de l'axe de rotation : en été, le Soleil monte plus haut (rayons moins rasants, question c) et les jours sont plus longs, donc l'énergie reçue par m² est plus grande.

1. Loi de Wien : $T=\frac{2,898\times {10}^{-3}}{{\lambda }_{max}}$ (${\lambda }_{max}$ en m, $T$ en K). Véga : $T_V=\frac{2,898\times {10}^{-3}}{302\times {10}^{-9}}\approx$ $9,60\times {10}^3$ K. Bételgeuse : $T_B=\frac{2,898\times {10}^{-3}}{805\times {10}^{-9}}\approx$ $3,60\times {10}^3$ K.

2. Le maximum d'émission de Véga (302 nm) est dans l'ultraviolet : dans le visible, elle émet davantage aux courtes longueurs d'onde (bleu) qu'aux grandes ; elle paraît blanc-bleuté. Celui de Bételgeuse (805 nm) est dans l'infrarouge proche : dans le visible, elle émet surtout du rouge et de l'orangé ; elle paraît rouge-orangé.

3. En une seconde, l'énergie rayonnée vaut $E=P\times 1$ s et la masse perdue $\Delta m=\frac{E}{c^2}$, avec $c^2=9,00\times {10}^{16}$ m²·s⁻². Véga : $\Delta m_V=\frac{1,5\times {10}^{28}}{9,00\times {10}^{16}}\approx$ $1,7\times {10}^{11}$ kg par seconde. Bételgeuse : $\Delta m_B=\frac{4,8\times {10}^{31}}{9,00\times {10}^{16}}\approx$ $5,3\times {10}^{14}$ kg par seconde.

4. Bételgeuse rayonne $\frac{4,8\times {10}^{31}}{1,5\times {10}^{28}}=3200$ fois plus de puissance que Véga, alors qu'elle est environ 2,7 fois plus froide ($\frac{9600}{3600}\approx 2,7$) : l'affirmation de l'élève est contredite par les données. D'après le document 2, chaque m² de Bételgeuse, plus froide, rayonne moins que chaque m² de Véga. Pour rayonner malgré tout 3 200 fois plus au total, Bételgeuse doit avoir une surface immensément plus grande. La puissance totale dépend de la température et de l'aire de la surface : Bételgeuse est une étoile géante (une supergéante rouge), au rayon bien plus grand que celui de Véga. Le spectre renseigne sur la température, pas sur la puissance totale.

1. Aux équinoxes : h = 90° − 43,6° = 46,4°. Au solstice de juin : h = 46,4° + 23,4° = 69,8°. Au solstice de décembre : h = 46,4° − 23,4° = 23,0°.

2. Le panneau A est horizontal : sa normale est verticale, donc θ = 90° − h et $P=P_s\times S\times \sin h$, avec $P_s\times S=1,0\times {10}^3\times 1,8=1800$ W. Juin : $P_A=1800\times \sin 69,8°=1800\times 0,938\approx$ $1,69\times {10}^3$ W. Décembre : $P_A=1800\times \sin 23,0°=1800\times 0,391\approx$ 703 W.

3. Le panneau B est incliné de 43,6° par rapport à l'horizontale, face au sud : sa normale fait un angle de 43,6° avec la verticale, penchée vers le sud. Aux équinoxes, à midi, les rayons viennent du sud avec une hauteur de 46,4° : ils font avec la verticale un angle de 90° − 46,4° = 43,6°. La normale et la direction du Soleil coïncident, donc θ = 0° : les rayons sont perpendiculaires au panneau, qui reçoit $P_B=1800\times \cos 0°=$ $1,8\times {10}^3$ W, le maximum possible.

4. Au solstice de juin, les rayons font avec la verticale 90° − 69,8° = 20,2°, donc θ = 43,6° − 20,2° = 23,4°. Au solstice de décembre, ils font 90° − 23,0° = 67,0° avec la verticale, donc θ = 67,0° − 43,6° = 23,4°. Dans les deux cas θ = 23,4° et $P_B=1800\times \cos 23,4°=1800\times 0,918\approx$ $1,65\times {10}^3$ W.

5. À midi au solstice de juin, $P_A\approx 1,69\times {10}^3$ W > $P_B\approx 1,65\times {10}^3$ W : le Soleil est si haut que le panneau horizontal est mieux orienté. L'affirmation est donc fausse, au moins à midi autour du solstice d'été. En revanche, aux équinoxes (1 800 W contre $1800\times \sin 46,4°\approx 1,30\times {10}^3$ W) et surtout en hiver (1,65 kW contre 703 W, plus du double), le montage B reçoit nettement plus. Sur l'ensemble de l'année, le montage B est plus avantageux : il reste proche du maximum en toute saison, alors que le montage A s'effondre en hiver, quand le Soleil est bas.

1. Puissance reçue par un hectare : $150\times 1,0\times {10}^4=1,5\times {10}^6$ W. Énergie reçue en un an : $E_{sol}=P\times \Delta t=1,5\times {10}^6\times 3,16\times {10}^7\approx$ $4,7\times {10}^{13}$ J.

2. Masse de matière sèche : 12 t = $1,2\times {10}^4$ kg. Énergie chimique : $E_{chim}=1,2\times {10}^4\times 17\times {10}^6\approx$ $2,0\times {10}^{11}$ J.

3. Le rendement est le rapport de l'énergie utile (stockée) à l'énergie reçue : $\eta$$=\frac{E_{chim}}{E_{sol}}$$=\frac{2,04\times {10}^{11}}{4,74\times {10}^{13}}$$\approx 4,3\times {10}^{-3}$, soit η ≈ 0,43 %. Moins de 1 % de l'énergie solaire reçue est convertie en énergie chimique : la conversion biologique est très peu efficace, même pour une culture productive, et encore plus faible en moyenne sur l'ensemble des écosystèmes.

4. D'après le document 3 : (1) la photosynthèse n'utilise que la lumière visible, alors que le rayonnement solaire comporte aussi une part importante d'infrarouge et un peu d'ultraviolet, inutilisables ; (2) le blé ne couvre le sol qu'une partie de l'année : avant la levée et après la moisson, l'énergie reçue par le sol nu n'est pas convertie. On peut ajouter qu'une partie de la lumière est réfléchie par les feuilles et qu'une partie de la matière produite est consommée par la respiration de la plante.

5. Le pétrole provient de matière organique (surtout du plancton) produite il y a des millions d'années grâce à la photosynthèse, puis enfouie et transformée lentement dans les sédiments. L'énergie chimique qu'il contient est donc de l'énergie solaire convertie et stockée il y a très longtemps. Sa formation demande des millions d'années alors que nous le consommons en quelques siècles : le stock n'est pas renouvelé à l'échelle humaine.