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Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Nombres complexes

Forme algébrique, module, argument et représentation dans le plan complexe — programme de Terminale spécialité

À propos de cette page
Ce QCM sur « Nombres complexes » en terminale teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'ensemble ℂ des nombres complexes — définition et forme algébrique, Opérations sur les nombres complexes, Conjugué et module, Représentation dans le plan complexe (plan d'Argand). À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !

Les 37 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. Quelle est la partie réelle de $z = 5 - 3i$ ?

    • A. 5
    • B. -3
    • C. 3
    • D. -5
    Réponse

    A. 5 — La partie réelle est le coefficient de la partie sans $i$, soit 5.

  2. On a $i^2 = $ ___

    • A. 1
    • B. -1
    • C. i
    • D. -i
    Réponse

    B. -1 — Par définition, i est l'unité imaginaire vérifiant i² = -1.

  3. Le conjugué de $z = 2 + 7i$ est :

    • A. $-2 + 7i$
    • B. $2 - 7i$
    • C. $2 + 7i$
    • D. $-2 - 7i$
    Réponse

    B. $2 - 7i$ — On change le signe de la partie imaginaire : z̄ = 2 - 7i.

  4. Quel est le module de $z = 3 + 4i$ ?

    • A. 7
    • B. 5
    • C. 1
    • D. 25
    Réponse

    B. 5 — |z| = √(9+16) = √25 = 5.

  5. $i^4 = $

    • A. $-1$
    • B. $i$
    • C. $1$
    • D. $-i$
    Réponse

    C. $1$ — i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1.

  6. La partie imaginaire de $z = -4 + 0i$ est :

    • A. -4
    • B. 0
    • C. 4
    • D. indéfinie
    Réponse

    B. 0 — z = -4 est un réel, Im(z) = 0.

  7. $(2 + i) + (3 - 4i) = $

    • A. $5 + 5i$
    • B. $5 - 3i$
    • C. $5 - 5i$
    • D. $6 - 3i$
    Réponse

    B. $5 - 3i$ — (2+3) + (1-4)i = 5 - 3i.

  8. Un nombre complexe est imaginaire pur si :

    • A. $|z| = 0$
    • B. $\text{Re}(z) = 0$ et $z \neq 0$
    • C. $\text{Im}(z) = 0$
    • D. $z = 0$
    Réponse

    B. $\text{Re}(z) = 0$ et $z \neq 0$ — Un imaginaire pur a une partie réelle nulle et est non nul.

  9. Le module de $z = -5$ est :

    • A. -5
    • B. 5
    • C. 25
    • D. $\sqrt{5}$
    Réponse

    B. 5 — |-5| = √(25+0) = 5. Le module est toujours positif.

  10. $\overline{z + z'} = $

    • A. $z + z'$
    • B. $\bar{z} + \bar{z'}$
    • C. $\bar{z} \cdot \bar{z'}$
    • D. $z - z'$
    Réponse

    B. $\bar{z} + \bar{z'}$ — La conjugaison est compatible avec l'addition.

  11. Quel nombre est réel parmi :

    • A. $3i$
    • B. $2 + i$
    • C. $-7 + 0i$
    • D. $0 + 4i$
    Réponse

    C. $-7 + 0i$ — -7 + 0i = -7 est un réel.

  12. $i^3 = $

    • A. $i$
    • B. $1$
    • C. $-i$
    • D. $-1$
    Réponse

    C. $-i$ — i³ = i²·i = -1·i = -i.

Niveau moyen — 12 questions

  1. Le module de $z = e^{i\pi/3}$ est :

    • A. $\pi/3$
    • B. $1$
    • C. $1/2$
    • D. $\sqrt{3}/2$
    Réponse

    B. $1$ — Toute exponentielle e^(iθ) est sur le cercle unité, donc |e^(iθ)| = 1.

  2. Si $z = 2e^{i\pi/6}$, alors $\text{Re}(z) = $

    • A. $\sqrt{3}$
    • B. $1$
    • C. $2$
    • D. $\sqrt{6}$
    Réponse

    A. $\sqrt{3}$ — Re(z) = 2·cos(π/6) = 2·(√3/2) = √3.

  3. L'argument de $z = -i$ est :

    • A. $\pi/2$
    • B. $-\pi/2$
    • C. $\pi$
    • D. $0$
    Réponse

    B. $-\pi/2$ — -i = e^(-iπ/2) : argument = -π/2.

  4. $|z \cdot z'| = $

    • A. $|z| + |z'|$
    • B. $|z| \cdot |z'|$
    • C. $|z|^2 \cdot |z'|^2$
    • D. $|z - z'|$
    Réponse

    B. $|z| \cdot |z'|$ — Le module d'un produit est le produit des modules.

  5. La forme algébrique de $e^{i\pi/2}$ est :

    • A. $1$
    • B. $-1$
    • C. $i$
    • D. $-i$
    Réponse

    C. $i$ — e^(iπ/2) = cos(π/2) + i·sin(π/2) = 0 + i·1 = i.

  6. Si $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, alors $\bar{z} = $

    • A. $r(\cos\theta - i\sin\theta)$
    • B. $r(-\cos\theta + i\sin\theta)$
    • C. $r(\cos\theta + i\sin\theta)$
    • D. $-r(\cos\theta + i\sin\theta)$
    Réponse

    A. $r(\cos\theta - i\sin\theta)$ — Le conjugué de cos θ + i sin θ est cos θ - i sin θ, ce qui correspond à changer θ en -θ.

  7. L'argument de $z \cdot z'$ vaut :

    • A. $\arg(z) \cdot \arg(z')$
    • B. $\arg(z) - \arg(z')$
    • C. $\arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$
    • D. $|z| + |z'|$
    Réponse

    C. $\arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$ — Pour un produit, on additionne les arguments (modulo 2π).

  8. La formule d'Euler donne $e^{i\pi} = $

    • A. $1$
    • B. $-1$
    • C. $i$
    • D. $0$
    Réponse

    B. $-1$ — e^(iπ) = cos π + i·sin π = -1 + 0 = -1.

  9. $(\cos\theta + i\sin\theta)^5 = $

    • A. $5\cos\theta + 5i\sin\theta$
    • B. $\cos(5\theta) + i\sin(5\theta)$
    • C. $\cos(\theta^5) + i\sin(\theta^5)$
    • D. $5e^{i\theta}$
    Réponse

    B. $\cos(5\theta) + i\sin(5\theta)$ — Formule de Moivre : (e^(iθ))^5 = e^(5iθ) = cos(5θ) + i·sin(5θ).

  10. Si $|z| = 4$ et $|z'| = 3$, alors $|z/z'| = $

    • A. $12$
    • B. $1$
    • C. $4/3$
    • D. $7$
    Réponse

    C. $4/3$ — |z/z'| = |z|/|z'| = 4/3.

  11. L'argument de $\bar{z}$ sachant $\arg(z) = \pi/4$ est :

    • A. $\pi/4$
    • B. $3\pi/4$
    • C. $-\pi/4$
    • D. $-3\pi/4$
    Réponse

    C. $-\pi/4$ — arg(z̄) = -arg(z) = -π/4.

  12. $z \cdot \bar{z} = $

    • A. $|z|$
    • B. $|z|^2$
    • C. $2\text{Re}(z)$
    • D. $0$
    Réponse

    B. $|z|^2$ — z·z̄ = (a+ib)(a-ib) = a² + b² = |z|².

Niveau difficile — 13 questions

  1. Résoudre $z^2 + 9 = 0$ dans $\mathbb{C}$ : les solutions sont :

    • A. $z = \pm 3$
    • B. $z = \pm 3i$
    • C. $z = \pm \sqrt{3}i$
    • D. Pas de solution
    Réponse

    B. $z = \pm 3i$ — z² = -9 = 9·i² donc z = ±3i.

  2. Dans le plan complexe, $|z - z_0| = r$ représente :

    • A. Une droite
    • B. Un segment
    • C. Un cercle de centre $z_0$ et de rayon $r$
    • D. Une parabole
    Réponse

    C. Un cercle de centre $z_0$ et de rayon $r$ — |z - z₀| = r est l'ensemble des points z à distance r de z₀, soit un cercle.

  3. Les racines carrées de $z = 4i$ ont pour module :

    • A. $4$
    • B. $2$
    • C. $\sqrt{2}$
    • D. $2\sqrt{2}$
    Réponse

    B. $2$ — |4i| = 4. Chaque racine carrée a pour module √4 = 2.

  4. La similitude directe $f: z \mapsto iz + 1$ a pour point fixe :

    • A. $z = 1$
    • B. $z = \frac{1}{1-i}$
    • C. $z = i$
    • D. $z = \frac{1+i}{2}$
    Réponse

    B. $z = \frac{1}{1-i}$ — Point fixe : z = iz + 1 → z(1-i) = 1 → z = 1/(1-i) = (1+i)/2. Option b = 1/(1-i), option d = (1+i)/2 : ce sont les mêmes ! Ici a=1/(1-i).

  5. La formule de Moivre permet de montrer que $\cos(3\theta) = $

    • A. $3\cos\theta$
    • B. $\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta$
    • C. $\cos^3\theta - 3\cos\theta(1-\cos^2\theta)$
    • D. $4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
    Réponse

    D. $4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ — cos(3θ) = 4cos³θ - 3cosθ est la formule classique obtenue par Moivre.

  6. Si $z$ et $z'$ sont deux complexes non nuls, on a $\arg(z/z') = 0 \pmod{\pi}$ ssi :

    • A. $z = z'$
    • B. $z$ et $z'$ ont la même image
    • C. $z/z' \in \mathbb{R}^*$
    • D. $|z| = |z'|$
    Réponse

    C. $z/z' \in \mathbb{R}^*$ — arg(z/z') = 0 mod π signifie que z/z' est réel (non nul).

  7. Les solutions de $z^3 = 1$ dans $\mathbb{C}$ sont :

    • A. Uniquement $z = 1$
    • B. $z = 1$ et $z = -1$
    • C. Trois nombres de module 1
    • D. Deux nombres imaginaires purs
    Réponse

    C. Trois nombres de module 1 — z³ = 1 a 3 solutions : e^(2ikπ/3) pour k = 0, 1, 2. Toutes sont sur le cercle unité.

  8. Pour $z = \cos\theta + i\sin\theta$, on a $z + z^{-1} = $

    • A. $2\cos\theta$
    • B. $2i\sin\theta$
    • C. $2$
    • D. $e^{i\theta} + e^{-i\theta}$
    Réponse

    A. $2\cos\theta$ — z + 1/z = e^(iθ) + e^(-iθ) = 2cosθ (formule d'Euler).

  9. Si $A(z_A)$ et $B(z_B)$ sont tels que $\dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A}$ est imaginaire pur, alors :

    • A. $A$, $B$, $C$ sont alignés
    • B. $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$
    • C. $AB = AC$
    • D. $ABC$ est équilatéral
    Réponse

    B. $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$ — Un quotient imaginaire pur a un argument de ±π/2, ce qui signifie que AB ⊥ AC.

  10. Le nombre complexe $z$ tel que $|z - 1| = |z + i|$ appartient à :

    • A. Le cercle unité
    • B. La droite $y = x + 1$
    • C. La médiatrice de $[AB]$ avec $A(1,0)$ et $B(0,-1)$
    • D. L'axe imaginaire
    Réponse

    C. La médiatrice de $[AB]$ avec $A(1,0)$ et $B(0,-1)$ — |z-1| = |z+i| signifie que z est équidistant de 1 et -i, soit sur la médiatrice du segment [A(1,0), B(0,-1)].

  11. Le module de $\dfrac{(1+i)^6}{(\sqrt{3}-i)^3}$ est :

    • A. $1$
    • B. $2$
    • C. $1/2$
    • D. $8$
    Réponse

    A. $1$ — |1+i| = √2, |(√3-i)| = 2. |(1+i)^6| = (√2)^6 = 8. |(√3-i)^3| = 2^3 = 8. Quotient : 8/8 = 1.

  12. La rotation d'angle $\pi$ et de centre $O$ transforme $z$ en :

    • A. $\bar{z}$
    • B. $-z$
    • C. $iz$
    • D. $1/z$
    Réponse

    B. $-z$ — Rotation d'angle π : z ↦ z·e^(iπ) = z·(-1) = -z.

  13. L'équation $z^2 - (1+i)z + i = 0$ admet pour solutions :

    • A. $z = 1$ et $z = i$
    • B. $z = 1$ et $z = -i$
    • C. $z = -1$ et $z = i$
    • D. Pas de solution réelle
    Réponse

    A. $z = 1$ et $z = i$ — Δ = (1+i)² - 4i = 1+2i-1-4i = -2i. Racines : z = [(1+i) ± √(-2i)]/2. En vérifiant : z=1 → 1-(1+i)+i = 0 ✓ ; z=i → -1-(1+i)i+i = -1-i+1+i = 0 ✓.

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