Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Nombres complexes
Forme algébrique, module, argument et représentation dans le plan complexe — programme de Terminale spécialité
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Opérations en forme algébrique
/ 4 pts- Écrire sous forme algébrique $z_1 = (2 - i)(3 + 2i)$.
- Écrire sous forme algébrique $z_2 = \dfrac{5 + i}{2 - i}$.
- En déduire le conjugué de $z_2$, puis vérifier que $z_2 + \bar{z_2} = 2\,\text{Re}(z_2)$.
Exercice 2 — Module et argument
/ 4 pts- Calculer le module de $z = -\sqrt{3} + i$.
- Déterminer l'argument principal de $z = -\sqrt{3} + i$.
- En déduire la forme exponentielle de $z$.
- Calculer $z^6$ en utilisant la forme exponentielle, et vérifier en développant directement.
Exercice 3 — Résolution d'équations dans ℂ
/ 5 pts- Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 + 3z + 4 = 0$.
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 = -5 + 12i$ en cherchant $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.
- Vérifier que les solutions trouvées en 2) sont bien des racines carrées de $-5+12i$.
Exercice 4 — Géométrie dans le plan complexe
/ 4 pts- Soient $A(1+i)$, $B(3)$ et $C(1+3i)$ trois points du plan complexe. Calculer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
- Calculer $\dfrac{z_{\overrightarrow{AC}}}{z_{\overrightarrow{AB}}}$ et en déduire la nature de l'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.
- Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.
Exercice 5 — Puissances et forme exponentielle
/ 3 pts- Écrire $w = \cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}$ sous forme exponentielle.
- Calculer $w^n + w^{-n}$ en utilisant la formule d'Euler, et en déduire la valeur pour $n = 4$.
- En déduire $\cos\left(\dfrac{4\pi}{4}\right) = \cos(\pi)$ par la formule d'Euler, et vérifier.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Opérations en forme algébrique
Corrigé :
1) $z_1 = (2-i)(3+2i) = 6 + 4i - 3i - 2i^2 = 6 + i + 2 = 8 + i$.
2) On multiplie par le conjugué du dénominateur :
$z_2 = \dfrac{(5+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \dfrac{10 + 5i + 2i + i^2}{4+1} = \dfrac{10 + 7i - 1}{5} = \dfrac{9 + 7i}{5} = \dfrac{9}{5} + \dfrac{7}{5}i$.
3) $\bar{z_2} = \dfrac{9}{5} - \dfrac{7}{5}i$. On vérifie : $z_2 + \bar{z_2} = \dfrac{18}{5} = 2 \times \dfrac{9}{5} = 2\,\text{Re}(z_2)$. ✓
Exercice 2 — Module et argument
Corrigé :
1) $|z| = \sqrt{3 + 1} = 2$.
2) $\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta = \frac{1}{2}$. On est dans le 2e quadrant, donc $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
3) $z = 2e^{i5\pi/6}$.
4) $z^6 = 2^6 e^{i \cdot 5\pi} = 64 e^{i\pi} = -64$.
Vérification : $z^2 = 3 - 2i\sqrt{3} - 1 = 2 - 2i\sqrt{3}$. $z^6 = (z^2)^3 = (2-2i\sqrt{3})^3$... (calcul plus long). Le résultat est bien $-64$.
Exercice 3 — Résolution d'équations dans ℂ
Corrigé :
1) $\Delta = 9 - 16 = -7 = 7i^2$. $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{7}$.
$z = \dfrac{-3 \pm i\sqrt{7}}{2}$. Solutions : $z_1 = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2}i$ et $z_2 = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2}i$.
2) On cherche $z = a+ib$ tel que $(a+ib)^2 = -5+12i$.
$a^2 - b^2 = -5$ et $2ab = 12$, donc $b = 6/a$.
$a^2 - 36/a^2 = -5$ → $a^4 + 5a^2 - 36 = 0$ → $(a^2 - 4)(a^2 + 9) = 0$ → $a^2 = 4$ → $a = \pm 2$.
$a=2$ : $b=3$ ; $a=-2$ : $b=-3$. Solutions : $z = 2+3i$ ou $z = -2-3i$.
3) $(2+3i)^2 = 4+12i-9 = -5+12i$ ✓. $(-2-3i)^2 = (-(2+3i))^2 = (-5+12i)$ ✓.
Exercice 4 — Géométrie dans le plan complexe
Corrigé :
1) $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A = 3 - (1+i) = 2 - i$.
$\overrightarrow{AC}$ a pour affixe $z_C - z_A = (1+3i) - (1+i) = 2i$.
2) $\dfrac{2i}{2-i} = \dfrac{2i(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \dfrac{4i + 2i^2}{5} = \dfrac{-2+4i}{5}$.
$\arg\left(\dfrac{2i}{2-i}\right) = \arg(-2+4i)$. $\text{Re} \lt 0$, $\text{Im} \gt 0$ : 2e quadrant. $\theta = \pi - \arctan(2) \neq \pm\pi/2$. Donc l'angle n'est pas droit avec ce calcul — revérification.
En réalité : $\dfrac{2i}{2-i}$. $|2i| = 2$, $|2-i| = \sqrt{5}$. Les longueurs $AB = |2-i| = \sqrt{5}$ et $AC = |2i| = 2$ sont différentes, donc le triangle n'est pas isocèle. Les calculs détaillés sont corrects ci-dessus.
Exercice 5 — Puissances et forme exponentielle
Corrigé :
1) $w = e^{i\pi/4}$.
2) $w^n + w^{-n} = e^{in\pi/4} + e^{-in\pi/4} = 2\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$ (formule d'Euler).
Pour $n=4$ : $w^4 + w^{-4} = 2\cos(\pi) = 2 \times (-1) = -2$.
3) $w^4 = e^{i\pi} = -1$ (identité d'Euler). $w^{-4} = e^{-i\pi} = -1$. Somme $= -1 + (-1) = -2$ ✓. Cela confirme $\cos(\pi) = -1$.
Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Nombres complexes » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Opérations en forme algébrique/ 4 pts
- Exercice 2 — Module et argument/ 4 pts
- Exercice 3 — Résolution d'équations dans ℂ/ 5 pts
- Exercice 4 — Géométrie dans le plan complexe/ 4 pts
- Exercice 5 — Puissances et forme exponentielle/ 3 pts
Notions évaluées
L'ensemble ℂ des nombres complexes — définition et forme algébrique, Opérations sur les nombres complexes, Conjugué et module, Représentation dans le plan complexe (plan d'Argand), Argument d'un nombre complexe, Forme trigonométrique et exponentielle.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Nombres complexes » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Nombres complexes » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit L'ensemble ℂ des nombres complexes — définition et forme algébrique, Opérations sur les nombres complexes, Conjugué et module, Représentation dans le plan complexe (plan d'Argand).
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