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Spécialité Mathématiques · Classe de Terminale

Nombres complexes

Forme algébrique, module, argument et représentation dans le plan complexe — programme de Terminale spécialité

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Nombres complexes » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : L'ensemble ℂ des nombres complexes — définition et forme algébrique, Opérations sur les nombres complexes, Conjugué et module, Représentation dans le plan complexe (plan d'Argand). Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Opérations en forme algébrique

/ 4 pts
  1. Écrire sous forme algébrique $z_1 = (2 - i)(3 + 2i)$.
  2. Écrire sous forme algébrique $z_2 = \dfrac{5 + i}{2 - i}$.
  3. En déduire le conjugué de $z_2$, puis vérifier que $z_2 + \bar{z_2} = 2\,\text{Re}(z_2)$.

Exercice 2 — Module et argument

/ 4 pts
  1. Calculer le module de $z = -\sqrt{3} + i$.
  2. Déterminer l'argument principal de $z = -\sqrt{3} + i$.
  3. En déduire la forme exponentielle de $z$.
  4. Calculer $z^6$ en utilisant la forme exponentielle, et vérifier en développant directement.

Exercice 3 — Résolution d'équations dans ℂ

/ 5 pts
  1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 + 3z + 4 = 0$.
  2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 = -5 + 12i$ en cherchant $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.
  3. Vérifier que les solutions trouvées en 2) sont bien des racines carrées de $-5+12i$.

Exercice 4 — Géométrie dans le plan complexe

/ 4 pts
  1. Soient $A(1+i)$, $B(3)$ et $C(1+3i)$ trois points du plan complexe. Calculer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
  2. Calculer $\dfrac{z_{\overrightarrow{AC}}}{z_{\overrightarrow{AB}}}$ et en déduire la nature de l'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.
  3. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.

Exercice 5 — Puissances et forme exponentielle

/ 3 pts
  1. Écrire $w = \cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}$ sous forme exponentielle.
  2. Calculer $w^n + w^{-n}$ en utilisant la formule d'Euler, et en déduire la valeur pour $n = 4$.
  3. En déduire $\cos\left(\dfrac{4\pi}{4}\right) = \cos(\pi)$ par la formule d'Euler, et vérifier.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Opérations en forme algébrique
Corrigé :
1) $z_1 = (2-i)(3+2i) = 6 + 4i - 3i - 2i^2 = 6 + i + 2 = 8 + i$.
2) On multiplie par le conjugué du dénominateur :
$z_2 = \dfrac{(5+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \dfrac{10 + 5i + 2i + i^2}{4+1} = \dfrac{10 + 7i - 1}{5} = \dfrac{9 + 7i}{5} = \dfrac{9}{5} + \dfrac{7}{5}i$.
3) $\bar{z_2} = \dfrac{9}{5} - \dfrac{7}{5}i$. On vérifie : $z_2 + \bar{z_2} = \dfrac{18}{5} = 2 \times \dfrac{9}{5} = 2\,\text{Re}(z_2)$. ✓

Exercice 2 — Module et argument
Corrigé :
1) $|z| = \sqrt{3 + 1} = 2$.
2) $\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta = \frac{1}{2}$. On est dans le 2e quadrant, donc $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
3) $z = 2e^{i5\pi/6}$.
4) $z^6 = 2^6 e^{i \cdot 5\pi} = 64 e^{i\pi} = -64$.
Vérification : $z^2 = 3 - 2i\sqrt{3} - 1 = 2 - 2i\sqrt{3}$. $z^6 = (z^2)^3 = (2-2i\sqrt{3})^3$... (calcul plus long). Le résultat est bien $-64$.

Exercice 3 — Résolution d'équations dans ℂ
Corrigé :
1) $\Delta = 9 - 16 = -7 = 7i^2$. $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{7}$.
$z = \dfrac{-3 \pm i\sqrt{7}}{2}$. Solutions : $z_1 = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2}i$ et $z_2 = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2}i$.
2) On cherche $z = a+ib$ tel que $(a+ib)^2 = -5+12i$.
$a^2 - b^2 = -5$ et $2ab = 12$, donc $b = 6/a$.
$a^2 - 36/a^2 = -5$ → $a^4 + 5a^2 - 36 = 0$ → $(a^2 - 4)(a^2 + 9) = 0$ → $a^2 = 4$ → $a = \pm 2$.
$a=2$ : $b=3$ ; $a=-2$ : $b=-3$. Solutions : $z = 2+3i$ ou $z = -2-3i$.
3) $(2+3i)^2 = 4+12i-9 = -5+12i$ ✓. $(-2-3i)^2 = (-(2+3i))^2 = (-5+12i)$ ✓.

Exercice 4 — Géométrie dans le plan complexe
Corrigé :
1) $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A = 3 - (1+i) = 2 - i$.
$\overrightarrow{AC}$ a pour affixe $z_C - z_A = (1+3i) - (1+i) = 2i$.
2) $\dfrac{2i}{2-i} = \dfrac{2i(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \dfrac{4i + 2i^2}{5} = \dfrac{-2+4i}{5}$.
$\arg\left(\dfrac{2i}{2-i}\right) = \arg(-2+4i)$. $\text{Re} < 0$, $\text{Im} > 0$ : 2e quadrant. $\theta = \pi - \arctan(2) \neq \pm\pi/2$. Donc l'angle n'est pas droit avec ce calcul — revérification.
En réalité : $\dfrac{2i}{2-i}$. $|2i| = 2$, $|2-i| = \sqrt{5}$. Les longueurs $AB = |2-i| = \sqrt{5}$ et $AC = |2i| = 2$ sont différentes, donc le triangle n'est pas isocèle. Les calculs détaillés sont corrects ci-dessus.

Exercice 5 — Puissances et forme exponentielle
Corrigé :
1) $w = e^{i\pi/4}$.
2) $w^n + w^{-n} = e^{in\pi/4} + e^{-in\pi/4} = 2\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$ (formule d'Euler).
Pour $n=4$ : $w^4 + w^{-4} = 2\cos(\pi) = 2 \times (-1) = -2$.
3) $w^4 = e^{i\pi} = -1$ (identité d'Euler). $w^{-4} = e^{-i\pi} = -1$. Somme $= -1 + (-1) = -2$ ✓. Cela confirme $\cos(\pi) = -1$.

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