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Spécialité Mathématiques · Classe de Terminale

Limites de suites

Comportement asymptotique des suites : convergence, divergence et théorèmes de comparaison (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Limites de suites » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Définitions : limite finie et limite infinie, Suites classiques et leurs limites, Opérations sur les limites, Formes indéterminées — techniques de calcul. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Limites immédiates et suite géométrique

/ 4 pts
  1. Détermine la limite de $u_n = \dfrac{4}{n^3} - 2$ quand $n \to +\infty$.
  2. Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 50$ et de raison $q = \dfrac{2}{3}$. Calcule $\lim_{n\to+\infty} v_n$ en justifiant.
  3. Soit $w_n = (-3)^n$. Cette suite a-t-elle une limite ? Justifie.

Exercice 2 — Lever des formes indéterminées

/ 5 pts
  1. Calcule $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7n}$ en indiquant la forme indéterminée et la technique utilisée.
  2. Calcule $\lim_{n\to+\infty} (\sqrt{n+4} - \sqrt{n})$ en multipliant par l'expression conjuguée.
  3. Calcule $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^3 + 2n}{n^4 - 5}$.

Exercice 3 — Théorème des gendarmes

/ 5 pts
  1. Soit $u_n = \dfrac{2 + \sin n}{n}$. Sachant que $-1 \leq \sin n \leq 1$, encadre $u_n$ par deux suites de même limite et conclus.
  2. Soit $v_n$ vérifiant $\dfrac{n}{n+1} \leq v_n \leq \dfrac{n+1}{n}$ pour tout $n \geq 1$. Détermine $\lim v_n$.
  3. Énonce le théorème des gendarmes.

Exercice 4 — Suite récurrente

/ 6 pts
  1. On définit $(u_n)$ par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{4} + 3$.
  2. a) Trouver le(s) point(s) fixe(s) de $f(x) = \dfrac{x}{4} + 3$.
  3. b) Poser $v_n = u_n - 4$ et montrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
  4. c) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
  5. d) En déduire $\lim_{n\to+\infty} u_n$.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Limites immédiates et suite géométrique
Corrigé :
1. $4/n^3 \to 0$ (car $n^3 \to +\infty$) et $-2$ est constante. Donc $u_n \to 0 - 2 = -2$.
2. $|q| = 2/3 < 1$, donc $q^n \to 0$, et $v_n = 50 \times (2/3)^n \to 50 \times 0 = 0$. La suite converge vers $0$.
3. $q = -3$, $|q| = 3 > 1$. Les termes oscillent : $w_0 = 1$, $w_1 = -3$, $w_2 = 9$, … La suite n'a pas de limite (elle diverge en oscillant avec $|w_n| \to +\infty$).

Exercice 2 — Lever des formes indéterminées
Corrigé :
1. Forme $\infty/\infty$. On factorise par $n^2$ :
$\dfrac{5 - 3/n + 1/n^2}{2 + 7/n} \xrightarrow{n\to+\infty} \dfrac{5}{2}$.
2. Forme $\infty - \infty$. Conjugué :
$(\sqrt{n+4}-\sqrt{n}) \times \dfrac{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}} = \dfrac{4}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}} \to \dfrac{4}{+\infty} = 0$.
3. Forme $\infty/\infty$. Factorisation par $n^4$ :
$\dfrac{1/n + 2/n^3}{1 - 5/n^4} \to \dfrac{0}{1} = 0$.

Exercice 3 — Théorème des gendarmes
Corrigé :
1. $-1 \leq \sin n \leq 1 \Rightarrow 1 \leq 2+\sin n \leq 3 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{3}{n}$. Or $1/n \to 0$ et $3/n \to 0$. Par le théorème des gendarmes : $u_n \to 0$.
2. $\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{1}{1+1/n} \to 1$ et $\dfrac{n+1}{n} = 1+1/n \to 1$. Les deux encadrantes tendent vers $1$, donc par les gendarmes $v_n \to 1$.
3. Théorème des gendarmes : si $a_n \leq u_n \leq b_n$ pour tout $n$ assez grand, et si $\lim a_n = \lim b_n = L$ ($L$ réel), alors $\lim u_n = L$.

Exercice 4 — Suite récurrente
Corrigé :
a) Point fixe : $l = l/4 + 3 \Rightarrow 3l/4 = 3 \Rightarrow l = 4$.
b) $v_{n+1} = u_{n+1} - 4 = \dfrac{u_n}{4} + 3 - 4 = \dfrac{u_n}{4} - 1 = \dfrac{u_n - 4}{4} = \dfrac{v_n}{4}$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 1/4$ et $v_0 = u_0 - 4 = 2 - 4 = -2$.
c) $v_n = -2 \times (1/4)^n$. D'où $u_n = v_n + 4 = -2 \times (1/4)^n + 4$.
d) $(1/4)^n \to 0$ car $|1/4| < 1$. Donc $u_n \to -2 \times 0 + 4 = 4$. La suite converge vers $4$.

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