Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Géométrie dans l'espace
Vecteurs, droites, plans, produit scalaire et sphères dans l'espace (programme de Terminale Spécialité Mathématiques)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ avec $A(1,2,3)$ et $B(4,2,1)$ ?
- A. $(3,0,-2)$
- B. $(3,4,4)$
- C. $(-3,0,2)$
- D. $(5,4,4)$
Réponse
A. $(3,0,-2)$ — $\overrightarrow{AB} = (4-1, 2-2, 1-3) = (3,0,-2)$.
La norme du vecteur $(0, 0, 5)$ est :
- A. 0
- B. 5
- C. 25
- D. $\sqrt{5}$
Réponse
B. 5 — $\|(0,0,5)\| = \sqrt{0+0+25} = 5$.
Un vecteur normal au plan $x + 2y - 3z + 1 = 0$ est :
- A. $(1,2,-3)$
- B. $(1,-2,3)$
- C. $(2,-3,1)$
- D. $(-1,-2,3)$
Réponse
A. $(1,2,-3)$ — On lit directement les coefficients de $x, y, z$ dans l'équation.
L'équation $(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 9$ représente une sphère de rayon :
- A. 3
- B. 9
- C. $\sqrt{3}$
- D. 81
Réponse
A. 3 — $r^2 = 9$, donc $r = 3$.
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si :
- A. $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$
- B. $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1$
- C. $\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$
- D. $\vec{u} = \vec{v}$
Réponse
A. $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ — La condition d'orthogonalité est $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
Une représentation paramétrique de droite comporte :
- A. 1 paramètre réel
- B. 2 paramètres
- C. 3 paramètres
- D. aucun paramètre
Réponse
A. 1 paramètre réel — La droite est un objet de dimension 1, décrit par un seul paramètre $t$.
Le centre de la sphère $x^2+y^2+z^2=16$ est :
- A. $(0,0,0)$
- B. $(4,4,4)$
- C. $(2,2,2)$
- D. $(-4,-4,-4)$
Réponse
A. $(0,0,0)$ — L'équation est $(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=16$, centre $O(0,0,0)$.
La droite $\mathcal{D}$ de vecteur directeur $\vec{u}(1,1,0)$ est contenue dans :
- A. Un plan horizontal
- B. Un plan vertical
- C. L'axe $Ox$
- D. Impossible à dire sans un point
Réponse
B. Un plan vertical — Un vecteur directeur avec $z=0$ indique une droite horizontale dans un plan vertical — mais sans point, on ne peut préciser davantage.
Vrai ou faux : deux droites de l'espace qui ne sont pas parallèles se coupent toujours.
- A. Vrai
- B. Faux
Réponse
B. Faux — Faux : deux droites peuvent être gauches (non coplanaires), donc ni parallèles ni sécantes.
Le produit scalaire $\vec{i}\cdot\vec{j}$ (vecteurs de base d'un repère orthonormal) vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. −1
- D. $\sqrt{2}$
Réponse
A. 0 — $\vec{i}\cdot\vec{j}=0$ car les vecteurs de base sont orthogonaux deux à deux.
Un plan de l'espace est déterminé (de façon unique) par :
- A. Un point et un vecteur normal
- B. Un seul point
- C. Deux vecteurs quelconques
- D. Un vecteur directeur
Réponse
A. Un point et un vecteur normal — Un point + un vecteur normal déterminent un unique plan.
La distance entre $A(0,0,0)$ et $B(1,1,1)$ est :
- A. $\sqrt{3}$
- B. 3
- C. 1
- D. $\sqrt{2}$
Réponse
A. $\sqrt{3}$ — $AB = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.
Niveau moyen — 12 questions
Le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ avec $\vec{u}(2,1,-2)$ et $\vec{v}(3,-2,1)$ vaut :
- A. 2
- B. −2
- C. 4
- D. 0
Réponse
A. 2 — $6-2-2=2$.
La distance du point $A(1,0,0)$ au plan $y=3$ est :
- A. 3
- B. 1
- C. 0
- D. $\sqrt{10}$
Réponse
A. 3 — Le plan $y=3$ a pour équation $y-3=0$. $d = |0-3|/1 = 3$.
Les plans $x+y+z=1$ et $x+y+z=5$ sont :
- A. Parallèles
- B. Sécants
- C. Perpendiculaires
- D. Confondus
Réponse
A. Parallèles — Même vecteur normal $(1,1,1)$, équations différentes : plans parallèles.
La droite passant par $A(0,0,0)$ de vecteur directeur $(1,2,3)$ : point appartenant à cette droite ?
- A. $(2,4,6)$
- B. $(1,3,5)$
- C. $(1,1,1)$
- D. $(3,2,1)$
Réponse
A. $(2,4,6)$ — Pour $t=2$ : $(2,4,6)$ ✓.
La sphère $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=4$ et le plan $x=3$ : quelle est la distance du centre au plan ?
- A. 2
- B. 1
- C. 3
- D. 4
Réponse
A. 2 — Centre $(1,1,1)$, plan $x=3$ : $d=|1-3|/1=2$.
Si $d = r$ pour la distance d'un centre au plan, la sphère et le plan sont :
- A. Tangents
- B. Sécants
- C. Sans intersection
- D. Confondus
Réponse
A. Tangents — $d=r$ signifie que le plan est tangent à la sphère (un seul point commun).
Les vecteurs $\vec{u}(1,2,3)$ et $\vec{v}(2,4,6)$ sont :
- A. Colinéaires
- B. Orthogonaux
- C. Opposés
- D. Ni l'un ni l'autre
Réponse
A. Colinéaires — $\vec{v} = 2\vec{u}$, donc colinéaires.
L'angle entre $\vec{u}(1,0,0)$ et $\vec{v}(0,0,1)$ est :
- A. 90°
- B. 0°
- C. 45°
- D. 180°
Réponse
A. 90° — $\cos\theta = \vec{u}\cdot\vec{v}/(\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|) = 0$, donc $\theta = 90°$.
Le plan passant par $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,1)$ a pour équation :
- A. $x+y+z=1$
- B. $x+y+z=0$
- C. $x+y+z=3$
- D. $x-y+z=1$
Réponse
A. $x+y+z=1$ — Vérifier : $1+0+0=1$, $0+1+0=1$, $0+0+1=1$ ✓.
Nombre de paramètres dans la représentation paramétrique d'un plan :
- A. 2
- B. 1
- C. 3
- D. 0
Réponse
A. 2 — Un plan est de dimension 2, décrit par deux paramètres indépendants.
La droite perpendiculaire au plan $z=0$ a pour vecteur directeur :
- A. $(0,0,1)$
- B. $(1,0,0)$
- C. $(1,1,0)$
- D. $(0,1,0)$
Réponse
A. $(0,0,1)$ — Le plan $z=0$ a pour normal $(0,0,1)$, donc la perpendiculaire a ce vecteur directeur.
Quel est le rayon du cercle d'intersection de la sphère de centre $O$ rayon 5 avec un plan à distance 3 du centre ?
- A. 4
- B. 3
- C. 5
- D. $\sqrt{34}$
Réponse
A. 4 — $\rho = \sqrt{r^2-d^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$.
Niveau difficile — 13 questions
La distance du point $A(2,-1,3)$ au plan $x-2y+2z-1=0$ est :
- A. $\frac{11}{3}$
- B. $\frac{1}{3}$
- C. $\frac{11}{\sqrt{9}}$
- D. 3
Réponse
A. $\frac{11}{3}$ — $d = \frac{|2+2+6-1|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{9}{3} = 3$. Correction : $\frac{|2-(-2)+6-1|}{3}=\frac{|2+2+6-1|}{3}=\frac{9}{3}=3$. Attention au signe de $-2y$ : $-2\times(-1)=2$. Réponse : 3.
Les droites $\mathcal{D}_1 : (1+t, t, t)$ et $\mathcal{D}_2 : (2+s, 1-s, s)$ sont :
- A. Gauches
- B. Parallèles
- C. Sécantes
- D. Confondues
Réponse
A. Gauches — Vecteurs directeurs $(1,1,1)$ et $(1,-1,1)$ non colinéaires. Système $1+t=2+s, t=1-s, t=s$ : de la 3e éq $t=s$, de la 2e $s=1-s$, $s=1/2$. De la 1re : $1+1/2=2+1/2$, $3/2=5/2$ : faux. Donc gauches.
La sphère passant par $O(0,0,0)$, $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,2)$ a pour rayon :
- A. $\sqrt{3}$
- B. 1
- C. $2\sqrt{3}$
- D. $\sqrt{2}$
Réponse
A. $\sqrt{3}$ — Centre au milieu du 'cube' = $(1,1,1)$, rayon $= \sqrt{3}$.
L'intersection de deux plans non parallèles de l'espace est :
- A. Une droite
- B. Un point
- C. Un plan
- D. Vide
Réponse
A. Une droite — Deux plans sécants (non parallèles) se coupent selon une droite.
Si $\vec{u}\cdot\vec{v} \lt 0$, l'angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vérifie :
- A. $\theta \in ]90°, 180°[$
- B. $\theta = 90°$
- C. $\theta \in ]0°, 90°[$
- D. $\theta = 180°$
Réponse
A. $\theta \in ]90°, 180°[$ — $\cos\theta \lt 0$ ssi $\theta$ est obtus, i.e. $\theta \in ]90°,180°[$.
Deux sphères de centres $\Omega_1, \Omega_2$ et rayons $r_1, r_2$ sont intérieures l'une à l'autre quand :
- A. $d(\Omega_1,\Omega_2) \lt |r_1 - r_2|$
- B. $d(\Omega_1,\Omega_2) \gt r_1+r_2$
- C. $d(\Omega_1,\Omega_2) = r_1+r_2$
- D. $d(\Omega_1,\Omega_2) = |r_1-r_2|$
Réponse
A. $d(\Omega_1,\Omega_2) \lt |r_1 - r_2|$ — Intériorité stricte : $d \lt |r_1 - r_2|$.
La projection orthogonale de $A(3,1,0)$ sur le plan $z=0$ est :
- A. $(3,1,0)$
- B. $(0,0,0)$
- C. $(3,1,1)$
- D. $(0,1,0)$
Réponse
A. $(3,1,0)$ — La projection sur $z=0$ conserve $x$ et $y$, met $z=0$ : $(3,1,0)$.
Équation du plan médiatrice du segment $[AB]$ avec $A(0,0,0)$ et $B(2,0,0)$ :
- A. $x=1$
- B. $x=0$
- C. $y=1$
- D. $x+y=1$
Réponse
A. $x=1$ — Le plan médiateur est perpendiculaire à $AB$ en son milieu $M(1,0,0)$, vecteur normal $(2,0,0)$, équation $x=1$.
La distance de deux droites parallèles dans l'espace est :
- A. La distance d'un point de l'une au plan contenant les deux
- B. La distance d'un point de l'une à l'autre
- C. Nulle
- D. Infinie
Réponse
B. La distance d'un point de l'une à l'autre — Pour deux droites parallèles, on prend un point de l'une et on calcule sa distance à l'autre droite.
Quel est le nombre de solutions du système correspondant à l'intersection de 3 plans en position générale ?
- A. 1
- B. 0
- C. $\infty$
- D. 3
Réponse
A. 1 — En position générale (3 plans non parallèles, pas deux parallèles, pas tous passant par une même droite), l'intersection est un seul point.
Le plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ est parallèle à la droite de vecteur directeur $\vec{u}$ ssi :
- A. $a\cdot u_x + b\cdot u_y + c\cdot u_z = 0$
- B. $a\cdot u_x + b\cdot u_y + c\cdot u_z \neq 0$
- C. $d=0$
- D. $\vec{u}=(a,b,c)$
Réponse
A. $a\cdot u_x + b\cdot u_y + c\cdot u_z = 0$ — Parallélisme droite-plan : $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ avec $\vec{n}=(a,b,c)$.
Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1,1,1)$ rayon 2, et $A(3,1,1)$. Quelle est la position de $A$ par rapport à $\mathcal{S}$ ?
- A. Sur la sphère
- B. À l'intérieur
- C. À l'extérieur
- D. Au centre
Réponse
A. Sur la sphère — $\Omega A = \sqrt{4+0+0}=2=r$, donc $A$ est sur la sphère.
Si un plan contient deux droites sécantes, alors :
- A. Le plan est unique
- B. Il existe une infinité de plans
- C. Il n'existe pas de tel plan
- D. Le plan est perpendiculaire à toute droite de l'espace
Réponse
A. Le plan est unique — Deux droites sécantes définissent un unique plan.
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