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Vecteurs, droites et plans de l’espace

Vecteurs de l’espace et coordonnées, colinéarité, vecteurs coplanaires, bases et repères, représentations paramétriques de droites et de plans, positions relatives de droites et de plans.

À propos de cette page
Un QCM sur les vecteurs, droites et plans de l’espace en trois niveaux de douze questions : relation de Chasles, colinéarité, lecture d’une représentation paramétrique, appartenance d’un point, coplanarité, positions relatives et théorème du toit. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Dans le cube ABCDEFGH, la somme des vecteurs AB et BG est le vecteur : (face ABCD en bas, E, F, G, H au-dessus de A, B, C, D)

    • A. GA
    • B. AG
    • C. AF + FB
    • D. AC
    Réponse

    B. AG — Relation de Chasles : AB + BG = AG (vecteurs). La somme AF + FB vaut seulement AB.

  2. Deux vecteurs u et v de l’espace, avec u non nul, sont colinéaires si et seulement si :

    • A. ils ont exactement la même longueur
    • B. leurs trois coordonnées sont égales
    • C. ils sont tous deux dans un même plan
    • D. v = ku pour un certain réel k
    Réponse

    D. v = ku pour un certain réel k — C’est la définition de la colinéarité ; deux vecteurs quelconques sont toujours dans un même plan.

  3. Une représentation paramétrique de la droite passant par A(1 ; 2 ; −3) et dirigée par le vecteur u(4 ; 0 ; 1) est :

    • A. x = 1 + 4t, y = 2, z = −3 + t
    • B. x = 4 + t, y = 2t, z = 1 − 3t
    • C. x = 1 + 4t, y = 2 + t, z = −3 + t
    • D. x = 4t, y = 2, z = −3t
    Réponse

    A. x = 1 + 4t, y = 2, z = −3 + t — On ajoute aux coordonnées de A celles de t fois u : (1 + 4t ; 2 + 0t ; −3 + t).

  4. Trois vecteurs de l’espace forment une base si et seulement s’ils sont :

    • A. deux à deux non colinéaires
    • B. tous les trois non nuls
    • C. non coplanaires
    • D. de même longueur
    Réponse

    C. non coplanaires — Une base de l’espace est formée de trois vecteurs non coplanaires ; la non-colinéarité deux à deux ne suffit pas.

  5. Deux droites de l’espace qui ne sont pas parallèles sont forcément :

    • A. sécantes en un unique point
    • B. contenues dans un même plan
    • C. sécantes ou non coplanaires
    • D. orthogonales entre elles
    Réponse

    C. sécantes ou non coplanaires — Dans l’espace, deux droites non parallèles peuvent se couper ou être non coplanaires.

  6. Le vecteur u(2 ; −4 ; 6) est colinéaire au vecteur :

    • A. (−1 ; 2 ; −3)
    • B. (1 ; 2 ; 3)
    • C. (2 ; 4 ; 6)
    • D. (−1 ; −2 ; −3)
    Réponse

    A. (−1 ; 2 ; −3) — (−1 ; 2 ; −3) = −1/2 × u ; pour les autres, un même coefficient ne marche pas sur les trois coordonnées.

  7. Un plan de l’espace est entièrement déterminé par :

    • A. un point et un vecteur non nul de l’espace
    • B. deux vecteurs non colinéaires seuls
    • C. trois vecteurs quelconques non nuls
    • D. un point et deux vecteurs non colinéaires
    Réponse

    D. un point et deux vecteurs non colinéaires — Un plan est défini par un point et un couple de vecteurs non colinéaires qui le dirigent ; sans point, on n’a qu’une direction.

  8. Dans le repère (A ; AB, AD, AE) du cube ABCDEFGH, le point H a pour coordonnées : (face ABCD en bas, E, F, G, H au-dessus de A, B, C, D)

    • A. (1 ; 1 ; 0)
    • B. (0 ; 1 ; 1)
    • C. (0 ; 1 ; 1/2)
    • D. (1 ; 1 ; 1)
    Réponse

    B. (0 ; 1 ; 1) — Vecteurs : AH = AD + DH = AD + AE, donc H(0 ; 1 ; 1).

  9. Trois points A, B, C tels que AC = −2 AB (vecteurs) sont :

    • A. alignés
    • B. non coplanaires
    • C. les sommets d’un triangle
    • D. confondus
    Réponse

    A. alignés — Les vecteurs AC et AB sont colinéaires : les points sont alignés (A est entre B et C).

  10. La droite x = 4 − t, y = 2t, z = 1 + 3t (t réel) est dirigée par le vecteur :

    • A. (4 ; 0 ; 1)
    • B. (4 ; 2 ; 3)
    • C. (−1 ; 2 ; 3)
    • D. (1 ; 2 ; 3)
    Réponse

    C. (−1 ; 2 ; 3) — Le vecteur directeur se lit sur les coefficients de t : (−1 ; 2 ; 3). Le point (4 ; 0 ; 1) est le point de paramètre t = 0.

  11. Sur la droite x = 3 + 2t, y = −t, z = 5, le point de paramètre t = 1 est :

    • A. (2 ; −1 ; 0)
    • B. (3 ; 0 ; 5)
    • C. (5 ; −1 ; 0)
    • D. (5 ; −1 ; 5)
    Réponse

    D. (5 ; −1 ; 5) — x = 3 + 2 = 5, y = −1, et la cote vaut 5 pour toute valeur de t.

  12. Deux plans de l’espace sans aucun point commun sont :

    • A. sécants selon une droite
    • B. strictement parallèles
    • C. non coplanaires
    • D. confondus
    Réponse

    B. strictement parallèles — Deux plans sont parallèles ou sécants selon une droite ; sans point commun, ils sont strictement parallèles. « Non coplanaires » se dit de deux droites.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Avec A(3 ; −1 ; 2) et B(−1 ; 5 ; 0), le vecteur AB a pour coordonnées :

    • A. (4 ; −6 ; 2)
    • B. (2 ; 4 ; 2)
    • C. (−4 ; 6 ; −2)
    • D. (−4 ; −6 ; −2)
    Réponse

    C. (−4 ; 6 ; −2) — Extrémité moins origine : (−1 − 3 ; 5 + 1 ; 0 − 2) = (−4 ; 6 ; −2).

  2. Le milieu de [AB], avec A(−2 ; 7 ; 3) et B(4 ; −1 ; −5), a pour coordonnées :

    • A. (1 ; 3 ; −1)
    • B. (3 ; −4 ; −4)
    • C. (2 ; 6 ; −2)
    • D. (1 ; 4 ; −1)
    Réponse

    A. (1 ; 3 ; −1) — ((−2 + 4)/2 ; (7 − 1)/2 ; (3 − 5)/2) = (1 ; 3 ; −1).

  3. Lequel de ces points appartient à la droite x = 5 − 2t, y = 1 + t, z = 3t ?

    • A. (3 ; 2 ; 4)
    • B. (9 ; −1 ; −5)
    • C. (1 ; 3 ; 5)
    • D. (1 ; 3 ; 6)
    Réponse

    D. (1 ; 3 ; 6) — t = 2 donne (1 ; 3 ; 6) ; les autres points ne vérifient pas les trois équations pour une même valeur de t.

  4. Les vecteurs u(3 ; m ; −6) et v(−1 ; 2 ; 2) sont colinéaires pour :

    • A. m = 6
    • B. m = −6
    • C. m = 2
    • D. m = −2/3
    Réponse

    B. m = −6 — Les abscisses imposent u = −3v, ce qui convient pour la cote (−6) ; d’où m = −3 × 2 = −6.

  5. Avec u(1 ; 0 ; 1), v(0 ; 1 ; 1) et w(2 ; −3 ; −1), les trois vecteurs sont :

    • A. coplanaires, car w = 2u − 3v
    • B. une base, car aucun n’est nul
    • C. coplanaires, car w = 2u + 3v
    • D. une base, car deux à deux non colinéaires
    Réponse

    A. coplanaires, car w = 2u − 3v — 2u − 3v a pour coordonnées (2 ; −3 ; 2 − 3) = (2 ; −3 ; −1) : c’est w.

  6. Dans un tétraèdre ABCD, I est le milieu de [CD]. Le vecteur AI est égal à :

    • A. 1/2 AC − 1/2 AD
    • B. AC + AD
    • C. 1/2 AC + 1/2 AD
    • D. 1/2 AB + CD
    Réponse

    C. 1/2 AC + 1/2 AD — Le milieu I vérifie AI = 1/2 (AC + AD) en vecteurs (Chasles en passant par I dans les deux sens).

  7. Une représentation paramétrique de la droite (AB), avec A(0 ; 1 ; −2) et B(3 ; 1 ; 4), est :

    • A. x = 3t, y = 1 + t, z = −2 + 6t
    • B. x = 1 + t, y = 1, z = 2t
    • C. x = t, y = 1, z = 2 + 2t
    • D. x = 3 + t, y = 1, z = 4 − 2t
    Réponse

    B. x = 1 + t, y = 1, z = 2t — Le vecteur AB(3 ; 0 ; 6) est colinéaire à (1 ; 0 ; 2), et le point (1 ; 1 ; 0), obtenu avec t = 1/3 depuis A, est sur (AB).

  8. Lequel de ces points appartient au plan x = 1 + λ, y = 2 − λ + μ, z = 3μ ?

    • A. (2 ; 1 ; 3)
    • B. (0 ; 3 ; −1)
    • C. (1 ; 2 ; 3)
    • D. (2 ; 2 ; 3)
    Réponse

    D. (2 ; 2 ; 3) — λ = 1 et μ = 1 donnent (2 ; 2 ; 3) ; pour les autres points, le couple imposé par deux coordonnées ne convient pas pour la troisième.

  9. Avec A(1 ; 1 ; 0), B(2 ; 3 ; 1) et C(0 ; −1 ; −1) :

    • A. A, B, C ne sont pas alignés
    • B. A est le milieu de [BC]
    • C. B est le milieu de [AC]
    • D. C est le milieu de [AB]
    Réponse

    B. A est le milieu de [BC] — Le milieu de [BC] est ((2 + 0)/2 ; (3 − 1)/2 ; (1 − 1)/2) = (1 ; 1 ; 0) : c’est A ; d’ailleurs AC = −AB en vecteurs.

  10. Les droites d : x = 1 + 2t, y = 3 − t, z = t et d′ : x = 2 − 4s, y = 1 + 2s, z = 5 − 2s sont :

    • A. sécantes en un seul point
    • B. confondues
    • C. non coplanaires
    • D. strictement parallèles
    Réponse

    D. strictement parallèles — (−4 ; 2 ; −2) = −2 × (2 ; −1 ; 1) : parallèles. Le point (2 ; 1 ; 5) de d′ n’est pas sur d : l’abscisse donne t = 1/2, puis y = 5/2, différent de 1.

  11. Dans le cube ABCDEFGH, les droites (AE) et (BC) sont : (face ABCD en bas, E, F, G, H au-dessus de A, B, C, D)

    • A. non coplanaires
    • B. sécantes en B
    • C. strictement parallèles
    • D. sécantes en E
    Réponse

    A. non coplanaires — Les vecteurs AE et BC ne sont pas colinéaires, et les droites n’ont aucun point commun : (AE) est l’arête verticale issue de A, (BC) une droite de la face du bas qui ne passe pas par A.

  12. Le point M(3 ; 1 ; −1) appartient au plan x = 1 + λ, y = μ, z = λ − 3μ pour :

    • A. λ = 1 et μ = 3
    • B. λ = 3 et μ = 1
    • C. λ = 2 et μ = 1
    • D. aucun couple (λ ; μ)
    Réponse

    C. λ = 2 et μ = 1 — L’abscisse donne λ = 2, l’ordonnée μ = 1 ; la cote vaut 2 − 3 = −1 : vérifiée.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Deux droites de l’espace sans aucun point commun sont :

    • A. toujours strictement parallèles l’une à l’autre
    • B. toujours non coplanaires
    • C. sécantes, ou bien parallèles et confondues
    • D. strictement parallèles ou non coplanaires
    Réponse

    D. strictement parallèles ou non coplanaires — Sans point commun, elles sont soit parallèles (strictement), soit non coplanaires.

  2. Les droites d : x = t, y = 1 + t, z = 2t et d′ : x = 1 + s, y = 2 + s, z = 2 + 2s sont :

    • A. strictement parallèles
    • B. confondues
    • C. sécantes en un seul point
    • D. non coplanaires
    Réponse

    B. confondues — Même vecteur directeur (1 ; 1 ; 2), et le point (1 ; 2 ; 2) de d′ est sur d (t = 1) : elles sont confondues.

  3. Si w = 2u − v, alors les vecteurs u, v, w :

    • A. forment une base
    • B. sont coplanaires
    • C. sont colinéaires
    • D. sont tous nuls
    Réponse

    B. sont coplanaires — w est une combinaison linéaire de u et v : les trois vecteurs sont coplanaires, ils ne forment donc jamais une base. Ils ne sont colinéaires que si u et v le sont, et rien n’impose qu’ils soient nuls.

  4. Une droite d est parallèle à deux plans P et Q sécants selon une droite Δ. Alors :

    • A. d est parallèle à Δ
    • B. d coupe forcément P et Q
    • C. d est incluse dans P et dans Q
    • D. d et Δ sont non coplanaires
    Réponse

    A. d est parallèle à Δ — Un vecteur directeur de d appartient aux deux directions, donc dirige leur intersection Δ.

  5. Le système x = 1 + 2s, y = s, z = 3 + 4s (s réel) représente :

    • A. un plan passant par (1 ; 0 ; 3)
    • B. une droite
    • C. un point unique
    • D. tout l’espace
    Réponse

    B. une droite — Un seul paramètre : c’est la droite passant par (1 ; 0 ; 3) et dirigée par (2 ; 1 ; 4).

  6. Que peut-on dire de u(1 ; 2 ; 3), v(2 ; 4 ; 6) et w(0 ; 1 ; −1) ?

    • A. base, car w n’est colinéaire ni à u ni à v
    • B. ils forment une base de l’espace
    • C. coplanaires, car w = u + v
    • D. coplanaires, car v = 2u
    Réponse

    D. coplanaires, car v = 2u — Deux des vecteurs sont colinéaires : les trois sont forcément coplanaires, v = 2u + 0w. Attention : u + v = (3 ; 6 ; 9), différent de w.

  7. Deux plans parallèles P et P′ sont coupés par un plan Q. Les deux droites d’intersection sont :

    • A. parallèles
    • B. sécantes
    • C. non coplanaires
    • D. toujours confondues
    Réponse

    A. parallèles — Propriété des plans parallèles coupés par un troisième plan : les deux droites d’intersection sont parallèles.

  8. Quelle représentation décrit la même droite que x = 2 + t, y = −1 + 3t, z = 4 − t ?

    • A. x = 2 + 2k, y = −1 + 6k, z = 4 + 2k
    • B. x = 3 + k, y = 2 + 3k, z = 4 − k
    • C. x = 4 − 2k, y = 5 − 6k, z = 2 + 2k
    • D. x = 1 + k, y = 3 − k, z = −1 + 4k
    Réponse

    C. x = 4 − 2k, y = 5 − 6k, z = 2 + 2k — (4 ; 5 ; 2) est sur la droite (t = 2) et (−2 ; −6 ; 2) = −2 × (1 ; 3 ; −1) est un vecteur directeur.

  9. Une droite d est parallèle à une droite δ contenue dans un plan P. Alors :

    • A. d est parallèle à P
    • B. d coupe P en un seul point
    • C. d est toujours incluse dans P
    • D. d et δ sont non coplanaires
    Réponse

    A. d est parallèle à P — Un vecteur directeur de d dirige δ, donc il est dans la direction de P : d est parallèle à P (strictement ou incluse, selon qu’elle a un point dans P).

  10. Les points A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; 1 ; 3), C(0 ; 1 ; 1) et D(m ; 2 ; 4) sont coplanaires pour :

    • A. m = 1
    • B. m = 3
    • C. m = −1
    • D. tout réel m
    Réponse

    B. m = 3 — AD(m − 1 ; 2 ; 2) = a AB + b AC avec AB(1 ; 1 ; 1) et AC(−1 ; 1 ; −1) : les ordonnées et les cotes donnent a + b = 2 et a − b = 2, soit a = 2, b = 0 ; alors m − 1 = 2, donc m = 3.

  11. Les droites d : x = t, y = 2t, z = 3 et d′ : x = 1 + s, y = 2 − s, z = 3 + s sont :

    • A. strictement parallèles
    • B. non coplanaires
    • C. sécantes en (1 ; 2 ; 3)
    • D. sécantes en (0 ; 0 ; 3)
    Réponse

    C. sécantes en (1 ; 2 ; 3) — t = 1 + s et 2t = 2 − s donnent s = 0, t = 1 ; cotes : 3 = 3. Point commun (1 ; 2 ; 3). Le point (0 ; 0 ; 3) est sur d mais pas sur d′.

  12. Un plan P contient deux droites sécantes, toutes deux parallèles à un plan Q. Alors :

    • A. P et Q sont sécants
    • B. P est perpendiculaire à Q
    • C. on ne peut rien affirmer
    • D. P et Q sont parallèles
    Réponse

    D. P et Q sont parallèles — C’est la caractérisation des plans parallèles : deux droites sécantes de P parallèles à Q suffisent (une seule ne suffit pas).

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