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Spécialité Mathématiques Terminale

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Vecteurs, droites et plans de l’espace

Vecteurs de l’espace et coordonnées, colinéarité, vecteurs coplanaires, bases et repères, représentations paramétriques de droites et de plans, positions relatives de droites et de plans.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures sur 20 points, calculatrice autorisée, avec corrigé rédigé : points alignés et vecteurs colinéaires, coplanarité et décomposition dans une base, droites sécantes, parallèles ou non coplanaires, intersection d’une droite et d’un plan, théorème du toit dans une pyramide.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

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Devoir surveillé – Vecteurs, droites et plans de l’espace

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Points et vecteurs de l’espace ★★

(5 pts)

On donne, dans un repère de l’espace, les points $A (2; 1; - 3)$ , $B (4; 0; - 1)$ , $C (- 2; 3; - 7)$ et $D (1; 5; 2)$ .

a)Calculer les coordonnées de $\vec{A B}$ et de $\vec{A C}$ . Démontrer que les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.
b)Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que $\vec{A E} = 2 \vec{A B} - \vec{A D}$ .
c)Déterminer les coordonnées du milieu $K$ de $[C D]$ .
d)Déterminer le réel $m$ tel que le vecteur $\vec{n} (m; - \frac{1}{2}; 1)$ soit colinéaire à $\vec{A B}$ .
e)Les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

Exercice 2 – Coplanarité et base ★★

(5 pts)

On donne $\vec{u} (2; 0; 1)$ , $\vec{v} (1; - 1; 3)$ , $\vec{w} (0; 2; - 5)$ , $\vec{t} (1; 1; 1)$ et $\vec{p} (4; - 2; 4)$ .

a)Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
b)Montrer que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ sont coplanaires.
c)Montrer que $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{t})$ est une base de l’espace.
d)Déterminer les coordonnées de $\vec{p}$ dans la base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{t})$ .
e)Un élève affirme que $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base « puisque aucun des trois vecteurs n’est colinéaire à un autre ». Expliquer son erreur.

Exercice 3 – Droites et plan ★★★

(6 pts)

On considère la droite $d_{1}$ de représentation paramétrique $x = 3 - t$ , $y = 2 + 2 t$ , $z = 1 + 4 t$ ( $t \in ℝ$ ) et les points $A (0; 6; - 9)$ et $B (2; 3; - 6)$ .

a)Donner une représentation paramétrique de la droite $d_{2} = (A B)$ .
b)Montrer que $d_{1}$ et $d_{2}$ sont sécantes en un point $K$ dont on donnera les coordonnées.
c)Soit $d_{3}$ : $x = 1 + 2 k$ , $y = - 1 - 4 k$ , $z = 5 - 8 k$ ( $k \in ℝ$ ). Étudier la position relative de $d_{1}$ et $d_{3}$ .
d)Soit $d_{4}$ : $x = r$ , $y = 1$ , $z = 2 r$ ( $r \in ℝ$ ). Montrer que $d_{1}$ et $d_{4}$ sont non coplanaires.
e)Justifier que le plan $P$ contenant $d_{1}$ et $d_{2}$ passe par $K$ et est dirigé par les vecteurs directeurs ${\vec{u}}_{1}$ de $d_{1}$ et ${\vec{u}}_{2}$ de $d_{2}$ . Traduire « $M (x; y; z) \in P$ » par l’existence de deux réels $λ$ et $μ$ tels que $\vec{K M} = \dots$
f)Justifier que $d_{4}$ n’est pas parallèle à $P$ , puis déterminer leur point d’intersection.

Exercice 4 – Théorème du toit dans une pyramide ★★★

(4 pts)

$S A B C D$ est une pyramide dont la base $A B C D$ est un parallélogramme. $I$ est le milieu de $[S A]$ et $J$ celui de $[S B]$ .

a)Démontrer que $\vec{I J} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ .
b)En déduire que la droite $(I J)$ est parallèle au plan $(S C D)$ .
c)Les plans $(S A B)$ et $(S C D)$ sont sécants selon une droite $Δ$ . Démontrer que $Δ$ passe par $S$ et qu’elle est parallèle à $(A B)$ .
d)Démontrer que les points $I$ , $J$ , $C$ , $D$ sont coplanaires et préciser la nature du quadrilatère $I J C D$ .

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Corrigé et barème – Vecteurs, droites et plans de l’espace

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques Terminale

Exercice 1 – Points et vecteurs de l’espace ★★

(5 pts)

a) $\vec{A B} (4 - 2; 0 - 1; - 1 + 3)$ , soit $\vec{A B} (2; - 1; 2)$ , et $\vec{A C} (- 2 - 2; 3 - 1; - 7 + 3)$ , soit $\vec{A C} (- 4; 2; - 4)$ . On a $- 4 = - 2 \times 2$ , $2 = - 2 \times (- 1)$ et $- 4 = - 2 \times 2$ : $\vec{A C} = - 2 \vec{A B}$ . Les vecteurs sont colinéaires, donc $A$ , $B$ , $C$ sont alignés. (1)
b) $\vec{A D} (- 1; 4; 5)$ et $2 \vec{A B} (4; - 2; 4)$ , donc $\vec{A E} (4 + 1; - 2 - 4; 4 - 5)$ , soit $\vec{A E} (5; - 6; - 1)$ . Les coordonnées de $E$ sont celles de $A$ augmentées de celles de $\vec{A E}$ : $E (2 + 5; 1 - 6; - 3 - 1)$ , soit $E (7; - 5; - 4)$ . (1)
c) $K (\frac{- 2 + 1}{2}; \frac{3 + 5}{2}; \frac{- 7 + 2}{2})$ , soit $K (- \frac{1}{2}; 4; - \frac{5}{2})$ . (1)
d) $\vec{A B} (2; - 1; 2)$ est non nul. $\vec{n}$ est colinéaire à $\vec{A B}$ si et seulement s’il existe $k$ tel que $\vec{n} = k \vec{A B}$ . Les ordonnées imposent $- \frac{1}{2} = - k$ , soit $k = \frac{1}{2}$ ; la cote convient : $\frac{1}{2} \times 2 = 1$ . Les abscisses imposent $m = \frac{1}{2} \times 2 = 1$ . Donc $m = 1$ , et $\vec{n} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ . (1)
e) $\vec{C D} (3; 2; 9)$ . Si $\vec{C D} = k \vec{A B}$ , les abscisses imposent $k = \frac{3}{2}$ et les ordonnées $k = - 2$ : impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $(A B)$ et $(C D)$ ne sont pas parallèles. (1)

Repère — Colinéarité : un coefficient calculé sur une coordonnée, vérifié sur les deux autres.

Exercice 2 – Coplanarité et base ★★

(5 pts)

a)L’ordonnée de $\vec{u}$ est nulle, mais pas celle de $\vec{v}$ . Si l’on avait $\vec{v} = k \vec{u}$ , on aurait $- 1 = k \times 0$ : impossible. Et $\vec{u} \neq \vec{0}$ . Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. (1)
b)On cherche $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}$ , c’est-à-dire $2 a + b = 0$ , $- b = 2$ et $a + 3 b = - 5$ . La deuxième équation donne $b = - 2$ , la première $a = 1$ . Troisième équation : $1 + 3 \times (- 2) = - 5$ , vérifiée. Donc $\vec{w} = \vec{u} - 2 \vec{v}$ : comme $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ sont coplanaires. (1)
c)Supposons $\vec{t} = a \vec{u} + b \vec{v}$ : $2 a + b = 1$ , $- b = 1$ et $a + 3 b = 1$ . La deuxième donne $b = - 1$ , la première $a = 1$ ; la troisième donne $1 - 3 = - 2 \neq 1$ . Le système n’a pas de solution : $\vec{t}$ n’est pas une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (non colinéaires), donc $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{t}$ ne sont pas coplanaires : ils forment une base de l’espace. (1)
d)On cherche $a$ , $b$ , $c$ tels que $\vec{p} = a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{t}$ : $2 a + b + c = 4$ (1), $- b + c = - 2$ (2), $a + 3 b + c = 4$ (3). La différence (1) − (3) donne $a - 2 b = 0$ , soit $a = 2 b$ . L’équation (2) donne $c = b - 2$ . Dans (1) : $4 b + b + b - 2 = 4$ , soit $6 b = 6$ , donc $b = 1$ , $a = 2$ , $c = - 1$ . Vérification : $2 \vec{u} + \vec{v} - \vec{t}$ a pour coordonnées $(4 + 1 - 1; 0 - 1 - 1; 2 + 3 - 1) = (4; - 2; 4)$ . Les coordonnées de $\vec{p}$ dans cette base sont $(2; 1; - 1)$ . (1)
e)Les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ sont bien deux à deux non colinéaires, mais la question 2 montre qu’ils sont coplanaires ( $\vec{w} = \vec{u} - 2 \vec{v}$ ). Or une base de l’espace exige trois vecteurs non coplanaires, condition plus forte que « deux à deux non colinéaires ». L’élève a confondu les deux conditions : $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ n’est pas une base. (1)

Repère — Base de l’espace = trois vecteurs non coplanaires ; « deux à deux non colinéaires » ne suffit pas.

Exercice 3 – Droites et plan ★★★

(6 pts)

a) $\vec{A B} (2; - 3; 3)$ est un vecteur directeur de $d_{2}$ , qui passe par $A$ . Une représentation paramétrique de $d_{2}$ est $x = 2 s$ , $y = 6 - 3 s$ , $z = - 9 + 3 s$ ( $s \in ℝ$ ). (1)
b)Les vecteurs directeurs $(- 1; 2; 4)$ et $(2; - 3; 3)$ ne sont pas colinéaires ( $\frac{2}{- 1} = - 2$ mais $\frac{- 3}{2} \neq - 2$ ) : les droites ne sont pas parallèles. On cherche $t$ et $s$ tels que $3 - t = 2 s$ , $2 + 2 t = 6 - 3 s$ et $1 + 4 t = - 9 + 3 s$ . La première donne $t = 3 - 2 s$ ; la deuxième devient $8 - 4 s = 6 - 3 s$ , soit $s = 2$ , puis $t = - 1$ . Troisième équation : $1 - 4 = - 3$ et $- 9 + 6 = - 3$ , vérifiée. Le système a une unique solution : $d_{1}$ et $d_{2}$ sont sécantes en $K (4; 0; - 3)$ (obtenu avec $t = - 1$ ). (1)
c)Un vecteur directeur de $d_{3}$ est $(2; - 4; - 8) = - 2 (- 1; 2; 4)$ : il est colinéaire à celui de $d_{1}$ , donc $d_{1} ∥ d_{3}$ . Le point $(1; - 1; 5)$ de $d_{3}$ ( $k = 0$ ) est-il sur $d_{1}$ ? $3 - t = 1$ donne $t = 2$ , puis $y = 2 + 4 = 6 \neq - 1$ . Ce point n’est pas sur $d_{1}$ : $d_{1}$ et $d_{3}$ sont strictement parallèles. (1)
d)Un vecteur directeur de $d_{4}$ est $(1; 0; 2)$ , non colinéaire à $(- 1; 2; 4)$ (l’ordonnée de l’un est nulle, pas celle de l’autre) : les droites ne sont pas parallèles. On cherche $t$ et $r$ tels que $3 - t = r$ , $2 + 2 t = 1$ et $1 + 4 t = 2 r$ . La deuxième donne $t = - \frac{1}{2}$ , la première $r = \frac{7}{2}$ . Troisième équation : $1 + 4 \times (- \frac{1}{2}) = - 1$ , alors que $2 r = 7$ : incompatible. Pas de point commun et pas parallèles : $d_{1}$ et $d_{4}$ sont non coplanaires. (1)
e) $d_{1}$ et $d_{2}$ sont sécantes en $K$ : le plan $P$ qui les contient passe par $K (4; 0; - 3)$ et contient les deux droites, donc il est dirigé par leurs vecteurs directeurs ${\vec{u}}_{1} (- 1; 2; 4)$ et ${\vec{u}}_{2} (2; - 3; 3)$ , non colinéaires (question 2). Ainsi $M (x; y; z) \in P$ si et seulement s’il existe deux réels $λ$ et $μ$ tels que $\vec{K M} = λ {\vec{u}}_{1} + μ {\vec{u}}_{2}$ , c’est-à-dire $x - 4 = - λ + 2 μ$ , $y = 2 λ - 3 μ$ , $z + 3 = 4 λ + 3 μ$ , soit $x = 4 - λ + 2 μ$ , $y = 2 λ - 3 μ$ , $z = - 3 + 4 λ + 3 μ$ ( $λ, μ \in ℝ$ ). (1)
f)Si $(1; 0; 2) = a (- 1; 2; 4) + b (2; - 3; 3)$ , les abscisses et les ordonnées donnent $- a + 2 b = 1$ et $2 a - 3 b = 0$ , d’où $a = 3$ et $b = 2$ ; mais la cote vaut alors $12 + 6 = 18 \neq 2$ . Le vecteur directeur de $d_{4}$ n’est pas une combinaison linéaire des vecteurs qui dirigent $P$ : $d_{4}$ n’est pas parallèle à $P$ , elle le coupe en un point. On résout $4 - λ + 2 μ = r$ , $2 λ - 3 μ = 1$ , $- 3 + 4 λ + 3 μ = 2 r$ . En remplaçant $r$ par $4 - λ + 2 μ$ dans la troisième : $- 3 + 4 λ + 3 μ = 8 - 2 λ + 4 μ$ , soit $6 λ - μ = 11$ . Avec $2 λ - 3 μ = 1$ : $μ = 6 λ - 11$ , puis $2 λ - 18 λ + 33 = 1$ , donc $λ = 2$ , $μ = 1$ et $r = 4 - 2 + 2 = 4$ . Le point d’intersection est $(4; 1; 8)$ . (1)

Repère — Deux droites : vecteurs directeurs d’abord, puis système avec deux paramètres de noms différents ; la troisième équation décide.

Exercice 4 – Théorème du toit dans une pyramide ★★★

(4 pts)

a)Par Chasles, $\vec{I J} = \vec{I S} + \vec{S J} = \frac{1}{2} \vec{A S} + \frac{1}{2} \vec{S B}$ $= \frac{1}{2} (\vec{A S} + \vec{S B}) = \frac{1}{2} \vec{A B}$ . Comme $A B C D$ est un parallélogramme, $\vec{A B} = \vec{D C}$ , donc $\vec{I J} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ . (1)
b)D’après la question 1, $\vec{I J}$ et $\vec{D C}$ sont colinéaires : la droite $(I J)$ est parallèle à la droite $(D C)$ . Or $(D C)$ est contenue dans le plan $(S C D)$ . Une droite parallèle à une droite d’un plan est parallèle à ce plan : $(I J)$ est parallèle à $(S C D)$ . (1)
c)Le point $S$ appartient aux deux plans, donc à leur intersection $Δ$ . De plus, $(A B) \subset (S A B)$ , $(C D) \subset (S C D)$ et $(A B) ∥ (C D)$ (côtés opposés du parallélogramme). D’après le théorème du toit, la droite d’intersection $Δ$ des plans $(S A B)$ et $(S C D)$ est parallèle à $(A B)$ (et à $(C D)$ ) : $Δ$ est la parallèle à $(A B)$ passant par $S$ . (1)
d)Les droites $(I J)$ et $(D C)$ sont parallèles (question 2) et distinctes ( $I$ n’est pas dans le plan de base, puisque $S$ n’y est pas) : deux droites parallèles distinctes définissent un plan, donc $I$ , $J$ , $C$ , $D$ sont coplanaires. Dans ce plan, $(I J) ∥ (D C)$ et $I J = \frac{1}{2} D C \neq D C$ : le quadrilatère $I J C D$ a deux côtés opposés parallèles et de longueurs différentes, c’est un trapèze. (1)

Repère — Deux plans sécants qui contiennent deux droites parallèles se coupent selon une parallèle à ces droites : c’est le théorème du toit.

Pour aller plus loin : le devoir surveillé bilan « Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans et produit scalaire » mélange ce chapitre avec d'autres, en 3 niveaux : niveau ★ · niveau ★★ · niveau ★★★.

Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Vecteurs, droites et plans de l’espace » : 4 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Points et vecteurs de l’espace ★★/ 5 pts
Exercice 2 — Coplanarité et base ★★/ 5 pts
Exercice 3 — Droites et plan ★★★/ 6 pts
Exercice 4 — Théorème du toit dans une pyramide ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Vecteurs de l’espace, relation de Chasles, coordonnées d’un vecteur et d’un milieu, vecteurs colinéaires, points alignés, vecteurs coplanaires, base et repère de l’espace, décomposition d’un vecteur, représentation paramétrique d’une droite, représentation paramétrique d’un plan, positions relatives de droites et de plans, théorème du toit.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Vecteurs, droites et plans de l’espace » ?: 120 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
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