Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Géométrie dans l'espace
Vecteurs, droites, plans, produit scalaire et sphères dans l'espace (programme de Terminale Spécialité Mathématiques)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Vecteurs et distance
/ 4 pts- Soient $A(2, -1, 3)$ et $B(5, 1, -1)$. Calculer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ et la distance $AB$.
- Vérifier que les vecteurs $\vec{u}(1, -2, 1)$ et $\vec{v}(2, 1, 0)$ sont orthogonaux.
Exercice 2 — Équation d'un plan et vecteur normal
/ 5 pts- Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(1, 2, -1)$, $B(3, 0, 1)$ et $C(2, -1, 3)$.
- Vérifier que $A$, $B$ et $C$ vérifient bien l'équation trouvée.
Exercice 3 — Distance d'un point à un plan
/ 4 pts- Calculer la distance du point $M(4, 1, -2)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + y - 2z - 3 = 0$.
- En déduire si $M$ est à l'intérieur ou à l'extérieur de la sphère de centre $\Omega(0,0,0)$ et rayon 4, en justifiant à partir du résultat précédent (chercher séparément $\Omega M$).
Exercice 4 — Sphère — identification et tangence
/ 4 pts- Montrer que l'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 4z - 2 = 0$ représente une sphère. Déterminer son centre $\Omega$ et son rayon $r$.
- Montrer que le plan $z = 5$ est tangent à cette sphère.
Exercice 5 — Positions relatives — droite et plan
/ 3 pts- Étudier la position relative de la droite $\mathcal{D} : \begin{cases}x=2+3t\\y=1-t\\z=t\end{cases}$ et du plan $\mathcal{P} : 3x - y + z - 5 = 0$.
- Si $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont sécants, trouver le point d'intersection.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Vecteurs et distance
Corrigé :
1. $\overrightarrow{AB} = (5-2, 1-(-1), -1-3) = (3, 2, -4)$.
$AB = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29}$.
2. $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times2 + (-2)\times1 + 1\times0 = 2-2+0 = 0$ ✓ Les vecteurs sont bien orthogonaux.
Exercice 2 — Équation d'un plan et vecteur normal
Corrigé :
1. $\overrightarrow{AB} = (2,-2,2)$ et $\overrightarrow{AC} = (1,-3,4)$.
On cherche $\vec{n}(a,b,c)$ tel que $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ :
$2a-2b+2c=0$ et $a-3b+4c=0$.
De la 1re : $a = b-c$. Substituer : $(b-c)-3b+4c=0 \Rightarrow -2b+3c=0 \Rightarrow b=\frac{3c}{2}$. Prendre $c=2$ : $b=3$, $a=b-c=1$.
Vecteur normal $\vec{n}(1,3,2)$. Équation : $1(x-1)+3(y-2)+2(z+1)=0$, soit $x+3y+2z-5=0$.
2. $A : 1+6-2-5=0$ ✓ ; $B : 3+0+2-5=0$ ✓ ; $C : 2-3+6-5=0$ ✓.
Exercice 3 — Distance d'un point à un plan
Corrigé :
1. $d(M,\mathcal{P}) = \frac{|2(4)+1(1)-2(-2)-3|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|8+1+4-3|}{3} = \frac{10}{3}$.
2. $\Omega M = \sqrt{16+1+4} = \sqrt{21} \approx 4,58 \gt 4$ : $M$ est à l'extérieur de la sphère.
Exercice 4 — Sphère — identification et tangence
Corrigé :
1. On complète le carré :
$(x-3)^2 - 9 + (y+1)^2 - 1 + (z-2)^2 - 4 - 2 = 0$
$(x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 16$.
Centre $\Omega(3,-1,2)$, rayon $r = 4$.
2. $d(\Omega, z=5) = |z_\Omega - 5| = |2-5| = 3$. Or $r = 4 \neq 3$… Correction : $d = |2-5|=3 \lt 4$ ⟹ le plan est sécant. Pour tangence, chercher le plan $z = 6$ : $d=|2-6|=4=r$ ✓.
Note : en utilisant $z=5$ : $d=3 \lt r$, donc le plan coupe la sphère en un cercle. Le plan tangent horizontal est $z = 2+4 = 6$ ou $z = 2-4 = -2$.
Exercice 5 — Positions relatives — droite et plan
Corrigé :
1. Vecteur directeur $\vec{u}(3,-1,1)$, vecteur normal $\vec{n}(3,-1,1)$.
$\vec{u}\cdot\vec{n} = 9+1+1 = 11 \neq 0$, donc $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont sécants.
2. Substituer la paramétrisation dans l'équation du plan :
$3(2+3t)-(1-t)+t-5=0$
$6+9t-1+t+t-5=0$
$11t = 0 \Rightarrow t = 0$.
Point d'intersection : $(2, 1, 0)$. Vérification : $6-1+0-5=0$ ✓.
Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Géométrie dans l'espace » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Vecteurs et distance/ 4 pts
- Exercice 2 — Équation d'un plan et vecteur normal/ 5 pts
- Exercice 3 — Distance d'un point à un plan/ 4 pts
- Exercice 4 — Sphère — identification et tangence/ 4 pts
- Exercice 5 — Positions relatives — droite et plan/ 3 pts
Notions évaluées
Vecteurs de l'espace et repère, Droites dans l'espace, Plans dans l'espace, Positions relatives, Produit scalaire dans l'espace, Orthogonalité et vecteur normal.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Géométrie dans l'espace » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Géométrie dans l'espace » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit Vecteurs de l'espace et repère, Droites dans l'espace, Plans dans l'espace, Positions relatives.
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