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Spécialité Mathématiques · Classe de Terminale

Géométrie dans l'espace

Vecteurs, droites, plans, produit scalaire et sphères dans l'espace (programme de Terminale Spécialité Mathématiques)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Géométrie dans l'espace » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Vecteurs de l'espace et repère, Droites dans l'espace, Plans dans l'espace, Positions relatives. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Vecteurs et distance

/ 4 pts
  1. Soient $A(2, -1, 3)$ et $B(5, 1, -1)$. Calculer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ et la distance $AB$.
  2. Vérifier que les vecteurs $\vec{u}(1, -2, 1)$ et $\vec{v}(2, 1, 0)$ sont orthogonaux.

Exercice 2 — Équation d'un plan et vecteur normal

/ 5 pts
  1. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(1, 2, -1)$, $B(3, 0, 1)$ et $C(2, -1, 3)$.
  2. Vérifier que $A$, $B$ et $C$ vérifient bien l'équation trouvée.

Exercice 3 — Distance d'un point à un plan

/ 4 pts
  1. Calculer la distance du point $M(4, 1, -2)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + y - 2z - 3 = 0$.
  2. En déduire si $M$ est à l'intérieur ou à l'extérieur de la sphère de centre $\Omega(0,0,0)$ et rayon 4, en justifiant à partir du résultat précédent (chercher séparément $\Omega M$).

Exercice 4 — Sphère — identification et tangence

/ 4 pts
  1. Montrer que l'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 4z - 2 = 0$ représente une sphère. Déterminer son centre $\Omega$ et son rayon $r$.
  2. Montrer que le plan $z = 5$ est tangent à cette sphère.

Exercice 5 — Positions relatives — droite et plan

/ 3 pts
  1. Étudier la position relative de la droite $\mathcal{D} : \begin{cases}x=2+3t\\y=1-t\\z=t\end{cases}$ et du plan $\mathcal{P} : 3x - y + z - 5 = 0$.
  2. Si $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont sécants, trouver le point d'intersection.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Vecteurs et distance
Corrigé :
1. $\overrightarrow{AB} = (5-2, 1-(-1), -1-3) = (3, 2, -4)$.
$AB = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29}$.
2. $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times2 + (-2)\times1 + 1\times0 = 2-2+0 = 0$ ✓ Les vecteurs sont bien orthogonaux.

Exercice 2 — Équation d'un plan et vecteur normal
Corrigé :
1. $\overrightarrow{AB} = (2,-2,2)$ et $\overrightarrow{AC} = (1,-3,4)$.
On cherche $\vec{n}(a,b,c)$ tel que $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ :
$2a-2b+2c=0$ et $a-3b+4c=0$.
De la 1re : $a = b-c$. Substituer : $(b-c)-3b+4c=0 \Rightarrow -2b+3c=0 \Rightarrow b=\frac{3c}{2}$. Prendre $c=2$ : $b=3$, $a=b-c=1$.
Vecteur normal $\vec{n}(1,3,2)$. Équation : $1(x-1)+3(y-2)+2(z+1)=0$, soit $x+3y+2z-5=0$.
2. $A : 1+6-2-5=0$ ✓ ; $B : 3+0+2-5=0$ ✓ ; $C : 2-3+6-5=0$ ✓.

Exercice 3 — Distance d'un point à un plan
Corrigé :
1. $d(M,\mathcal{P}) = \frac{|2(4)+1(1)-2(-2)-3|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|8+1+4-3|}{3} = \frac{10}{3}$.
2. $\Omega M = \sqrt{16+1+4} = \sqrt{21} \approx 4,58 > 4$ : $M$ est à l'extérieur de la sphère.

Exercice 4 — Sphère — identification et tangence
Corrigé :
1. On complète le carré :
$(x-3)^2 - 9 + (y+1)^2 - 1 + (z-2)^2 - 4 - 2 = 0$
$(x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 16$.
Centre $\Omega(3,-1,2)$, rayon $r = 4$.
2. $d(\Omega, z=5) = |z_\Omega - 5| = |2-5| = 3$. Or $r = 4 \neq 3$… Correction : $d = |2-5|=3 < 4$ ⟹ le plan est sécant. Pour tangence, chercher le plan $z = 6$ : $d=|2-6|=4=r$ ✓.
Note : en utilisant $z=5$ : $d=3 < r$, donc le plan coupe la sphère en un cercle. Le plan tangent horizontal est $z = 2+4 = 6$ ou $z = 2-4 = -2$.

Exercice 5 — Positions relatives — droite et plan
Corrigé :
1. Vecteur directeur $\vec{u}(3,-1,1)$, vecteur normal $\vec{n}(3,-1,1)$.
$\vec{u}\cdot\vec{n} = 9+1+1 = 11 \neq 0$, donc $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont sécants.
2. Substituer la paramétrisation dans l'équation du plan :
$3(2+3t)-(1-t)+t-5=0$
$6+9t-1+t+t-5=0$
$11t = 0 \Rightarrow t = 0$.
Point d'intersection : $(2, 1, 0)$. Vérification : $6-1+0-5=0$ ✓.

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