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Spécialité Mathématiques · Classe de Terminale

Fonction exponentielle

Définition, propriétés algébriques et analytiques, dérivée — programme de Spécialité Maths Terminale

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Fonction exponentielle » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Définition et premières propriétés, Propriétés algébriques, Dérivée — fonctions composées avec exp, Sens de variation et représentation graphique. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Calculs algébriques

/ 4 pts
  1. Simplifier sous la forme $e^k$ : $\dfrac{e^5 \times e^{-2}}{e}$. (1 pt)
  2. Simplifier : $\left(e^{-1}\right)^3 \times e^4$. (1 pt)
  3. Résoudre $e^{x+2} = e^{3x-4}$. (1 pt)
  4. Résoudre l'inéquation $e^{2-x} \leq e^{1+x}$. (1 pt)

Exercice 2 — Dérivées et dérivée d'une composée

/ 5 pts
  1. Calculer la dérivée de $f(x) = e^{2x^2 - 3x}$. (2 pts)
  2. Calculer la dérivée de $g(x) = (3x - 2)e^x$. Factoriser le résultat. (2 pts)
  3. Calculer la dérivée de $h(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}$. (1 pt)

Exercice 3 — Étude de la fonction $f(x) = (x-2)e^x + 1$

/ 6 pts
  1. Calculer $f'(x)$ et le factoriser. (2 pts)
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. (2 pts)
  3. Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Justifier. (1 pt)
  4. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement une solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ et donner un encadrement au dixième. On donne $f(-1) \approx -0{,}27$ et $f(0) = -1$, $f(1) \approx -0{,}28$, $f(2) = 1$. (1 pt)

Exercice 4 — Limites et croissances comparées

/ 5 pts
  1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^4 + 2x}{e^x}$. Justifier. (1 pt)
  2. Calculer $\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x)e^x$. Justifier. (1 pt)
  3. En déduire la limite de $f(x) = (x^2 + x)e^x - 3$ en $-\infty$. (1 pt)
  4. Justifier que $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{x} = 3$. (2 pts)
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Calculs algébriques
Corrigé :
1. $\dfrac{e^5 \times e^{-2}}{e} = \dfrac{e^{5-2}}{e^1} = \dfrac{e^3}{e} = e^{3-1} = e^2$.
2. $(e^{-1})^3 \times e^4 = e^{-3} \times e^4 = e^{-3+4} = e^1 = e$.
3. $e^{x+2} = e^{3x-4} \Leftrightarrow x+2 = 3x-4 \Leftrightarrow 6 = 2x \Leftrightarrow x = 3$.
4. $e^{2-x} \leq e^{1+x} \Leftrightarrow 2-x \leq 1+x \Leftrightarrow 1 \leq 2x \Leftrightarrow x \geq \dfrac{1}{2}$. Solution : $x \in \left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

Exercice 2 — Dérivées et dérivée d'une composée
Corrigé :
1. $u = 2x^2 - 3x$, $u' = 4x - 3$, donc $f'(x) = (4x-3)e^{2x^2-3x}$.
2. $g'(x) = 3e^x + (3x-2)e^x = (3x+1)e^x$.
3. $h'(x) = \dfrac{e^x(x^2+1) - e^x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{(x-1)^2 e^x}{(x^2+1)^2}$.

Exercice 3 — Étude de la fonction $f(x) = (x-2)e^x + 1$
Corrigé :
1. $f'(x) = e^x + (x-2)e^x = (x-1)e^x$.
2. $e^x > 0$ toujours. $f'(x) < 0$ si $x < 1$, $f'(1) = 0$, $f'(x) > 0$ si $x > 1$. Tableau : $f$ décroissante sur $]-\infty;1]$, croissante sur $[1;+\infty[$. Minimum $f(1) = (1-2)e + 1 = 1 - e \approx -1{,}72$.
3. $\lim_{x \to -\infty} (x-2)e^x = 0$ (croissances comparées), donc $f(x) \to 1$. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (car $(x-2)e^x \to +\infty$).
4. $f$ est continue. Elle décroît de $1$ vers le min $\approx -1{,}72$ puis croît vers $+\infty$. En $x \to -\infty$, $f \to 1 > 0$, et min $< 0$. Par TVI, $f$ s'annule une fois sur $]-\infty;1[$ et une fois sur $]1;+\infty[$. Chercher sur $]1;2[$ : $f(1) \approx -1{,}72 < 0$ et $f(2) = 1 > 0$, donc $\alpha \in ]1;2[$. Encadrement : $\alpha \in ]1{,}5 ; 2[$ (ou plus précis selon les valeurs fournies).

Exercice 4 — Limites et croissances comparées
Corrigé :
1. Croissances comparées avec $n = 4$ : $\frac{x^4+2x}{e^x} \leq \frac{x^4 + 2x^4}{e^x} = \frac{3x^4}{e^x} \to 0$ pour $x$ grand. Limite = $0$.
2. $(x^2+x)e^x = x^2 e^x + xe^x$. Croissances comparées : $x^n e^x \to 0$ en $-\infty$. Limite = $0$.
3. $f(x) = (x^2+x)e^x - 3 \to 0 - 3 = -3$.
4. $\frac{e^{3x}-1}{x} = 3 \cdot \frac{e^{3x}-1}{3x}$. En posant $t = 3x$, $t \to 0$ quand $x \to 0$, et $\frac{e^t - 1}{t} \to 1$ (taux d'accroissement de $\exp$ en $0$). Donc la limite vaut $3 \times 1 = 3$.

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