← Retour aux ressources
Maths expertes (option Tle) · Classe de Terminale

Matrices — suites récurrentes et itération

Application des matrices à la représentation et au calcul de suites définies par récurrence linéaire (programme officiel option Maths expertes Tle)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Matrices — suites récurrentes et itération » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths expertes (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Suite récurrente linéaire d'ordre 1, Suite récurrente linéaire d'ordre 2 : représentation matricielle, Système de suites récurrentes et matrice de transition, Itération matricielle et puissances de matrices. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths expertes (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Mise sous forme matricielle

/ 4 pts
  1. Soit la suite $(w_n)$ définie par $w_{n+2} = 4w_{n+1} - 3w_n$, avec $w_0 = 1$ et $w_1 = 2$.
    a) Déterminer la matrice compagnon $A$ de cette récurrence.
  2. b) Écrire l'équation matricielle $U_{n+1} = A\,U_n$ en précisant $U_n$.
  3. c) Calculer $U_2$ et $U_3$ par itération matricielle.
  4. d) Vérifier que $w_3 = 4w_2 - 3w_1$.

Exercice 2 — Puissance de matrice et terme général

/ 5 pts
  1. Soit $A = \begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}$ et $V_0 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.
  2. a) Calculer $A^2$ et $A^3$.
  3. b) Conjecturer la forme de $A^n$ (pour $n \geq 1$) et vérifier par récurrence.
  4. c) Exprimer $V_n = A^n V_0$ explicitement, et donner les deux composantes de $V_n$ en fonction de $n$.

Exercice 3 — Modèle de transfert et état stable

/ 5 pts
  1. Un opérateur téléphonique dispose de deux forfaits : « Basique » (B) et « Premium » (P). Chaque mois, 15 % des abonnés Basique passent au Premium et 5 % des abonnés Premium reviennent au Basique. En janvier, il y a 800 abonnés Basique et 200 abonnés Premium.
  2. a) Écrire la matrice de transition $A$ et le vecteur initial $V_0$.
  3. b) Calculer $V_1$ (état en février).
  4. c) Déterminer l'état stable $(B^*, P^*)$ sachant que la population totale reste 1000.

Exercice 4 — Suite de Lucas et matrice

/ 3 pts
  1. La suite de Lucas vérifie $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$, $L_0 = 2$, $L_1 = 1$. La matrice compagnon est $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$.
  2. a) Calculer $A^2$.
  3. b) Quel est le vecteur initial $U_0 = \begin{pmatrix}L_1\\L_0\end{pmatrix}$ ?
  4. c) Calculer $A^2\,U_0$ et identifier les deux composantes.

Exercice 5 — Problème de synthèse

/ 3 pts
  1. Une population de bactéries se développe selon le modèle : $x_{n+1} = 2x_n - y_n$ et $y_{n+1} = x_n$ (où $x_n$ est la population en milliards à l'heure $n$ et $y_n$ est la valeur de l'heure précédente, servant de mémoire).
  2. a) Quelle est la matrice de transition $A$ ?
  3. b) Avec $x_0 = 1$ et $y_0 = 0$, calculer $x_1, x_2, x_3$ par itération.
  4. c) Que peut-on dire du comportement de $(x_n)$ ?
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Mise sous forme matricielle
Corrigé :
a) $A = \begin{pmatrix}4&-3\\1&0\end{pmatrix}$.
b) $U_n = \begin{pmatrix}w_{n+1}\\w_n\end{pmatrix}$, $U_0 = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, et $U_{n+1} = A\,U_n$.
c) $U_1 = A\,U_0 = \begin{pmatrix}4\cdot2-3\cdot1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$, donc $w_2=5$.
$U_2 = A\,U_1 = \begin{pmatrix}4\cdot5-3\cdot2\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix}$, donc $w_3=14$.
d) $4w_2-3w_1 = 4\cdot5-3\cdot2=20-6=14=w_3$. ✓

Exercice 2 — Puissance de matrice et terme général
Corrigé :
a) $A^2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$. Donc $A^3 = A^2\cdot A = I\cdot A = A = \begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}$.
b) On observe : $A^1=A$, $A^2=I$, $A^3=A$, $A^4=I$, … La matrice est d'ordre 2 ($A^2=I$). Pour $n$ pair $A^n = I$, pour $n$ impair $A^n = A$. (Preuve par récurrence : init. $A^2=I$ ✓ ; si $A^{2k}=I$ alors $A^{2(k+1)}=A^{2k}\cdot A^2=I$.)
c) Pour $n$ pair : $V_n = I\,V_0 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$. Pour $n$ impair : $V_n = A\,V_0 = \begin{pmatrix}1+2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$.

Exercice 3 — Modèle de transfert et état stable
Corrigé :
a) $A = \begin{pmatrix}0{,}85 & 0{,}05 \\ 0{,}15 & 0{,}95\end{pmatrix}$, $V_0 = \begin{pmatrix}800\\200\end{pmatrix}$.
b) $V_1 = A\,V_0 = \begin{pmatrix}0{,}85\times800+0{,}05\times200\\0{,}15\times800+0{,}95\times200\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}680+10\\120+190\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}690\\310\end{pmatrix}$.
c) L'état stable vérifie $A\,V^*=V^*$ : $-0{,}15B^*+0{,}05P^*=0 \Rightarrow P^*=3B^*$. Avec $B^*+P^*=1000$ : $B^*+3B^*=1000$, soit $B^*=250$ et $P^*=750$.

Exercice 4 — Suite de Lucas et matrice
Corrigé :
a) $A^2 = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$.
b) $U_0 = \begin{pmatrix}L_1\\L_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.
c) $A^2\,U_0 = \begin{pmatrix}2\cdot1+1\cdot2\\1\cdot1+1\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$. La première composante est $L_3=4$ et la deuxième est $L_2=3$. On vérifie : $L_2=L_1+L_0=1+2=3$ ✓, $L_3=L_2+L_1=3+1=4$ ✓.

Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
a) $A = \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}$.
b) $V_0 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$. $V_1 = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, donc $x_1=2$. $V_2 = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$, $x_2=3$. $V_3=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$, $x_3=4$.
c) La récurrence $x_{n+2}=2x_{n+1}-x_n$ avec $x_0=1$, $x_1=2$ est une progression arithmétique de raison 1. On a $x_n = n+1$. La suite croît linéairement (et non exponentiellement) — la matrice a une valeur propre double égale à 1.

→Continuer ce chapitre
📖 Cours ✏️ Exercices 🧩 Problèmes ❓ QCM
↔Autres chapitres
← Matrices — matrice inverse et résolution de systèmes Graphes — vocabulaire et propriétés →
Bloqué sur ce chapitre ?

Cours particuliers de maths expertes (option tle) à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.

Réserver un 1er cours → Voir les tarifs