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Arithmétique — théorèmes de Bézout et de Gauss
Coefficients de Bézout, identité de Bézout, théorème de Gauss et applications : programme de Maths expertes Terminale
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Qu'est-ce que le PGCD de deux entiers $a$ et $b$ ?
- A. La somme de $a$ et $b$
- B. Le plus grand entier divisant à la fois $a$ et $b$
- C. Le produit $a \times b$
- D. Le plus petit multiple commun
Réponse
B. Le plus grand entier divisant à la fois $a$ et $b$ — Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand entier positif qui divise simultanément $a$ et $b$.
Que calcule l'algorithme d'Euclide ?
- A. Le PGCD de deux entiers
- B. La décomposition en facteurs premiers
- C. Le PPCM de deux entiers
- D. La solution d'une équation
Réponse
A. Le PGCD de deux entiers — L'algorithme d'Euclide calcule le PGCD par des divisions euclidiennes successives.
Quand dit-on que deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux ?
- A. Quand $a$ et $b$ sont tous les deux premiers
- B. Quand $\pgcd(a,b)=0$
- C. Quand $\pgcd(a,b)=1$
- D. Quand $a+b$ est premier
Réponse
C. Quand $\pgcd(a,b)=1$ — $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut 1.
$\pgcd(12, 8) = $ ?
- A. 2
- B. 4
- C. 6
- D. 8
Réponse
B. 4 — $12 = 1 \times 8 + 4$, $8 = 2 \times 4 + 0$. Donc pgcd(12,8)=4.
L'identité de Bézout affirme qu'il existe des entiers $u$, $v$ tels que $au + bv = $ ?
- A. $a+b$
- B. $ab$
- C. $\pgcd(a,b)$
- D. $\text{ppcm}(a,b)$
Réponse
C. $\pgcd(a,b)$ — L'identité de Bézout : $au + bv = \pgcd(a,b)$.
$\pgcd(7, 5) = $ ? (7 et 5 sont premiers)
- A. 5
- B. 7
- C. 1
- D. 35
Réponse
C. 1 — Deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux : pgcd(7,5)=1.
Vrai ou faux : si $au + bv = 1$ pour certains entiers $u$, $v$, alors $\pgcd(a,b)=1$.
- A. Vrai
- B. Faux
- C. Cela dépend du signe de $u$ et $v$
- D. On ne peut pas savoir
Réponse
A. Vrai — C'est la réciproque du théorème de Bézout : si une combinaison linéaire vaut 1, le PGCD est 1.
Parmi ces couples, lequel est formé d'entiers premiers entre eux ?
- A. $(6, 9)$
- B. $(8, 15)$
- C. $(4, 10)$
- D. $(6, 14)$
Réponse
B. $(8, 15)$ — pgcd(8,15)=1 : 8=2³ et 15=3×5 n'ont pas de facteur premier commun.
$\pgcd(100, 25) = $ ?
- A. 5
- B. 10
- C. 25
- D. 100
Réponse
C. 25 — 25 divise 100 (100 = 4×25), donc pgcd(100,25) = 25.
Que signifie la notation $a \mid b$ ?
- A. $a$ divise $b$
- B. $a$ est divisé par $b$
- C. $a$ est premier avec $b$
- D. $a$ et $b$ sont égaux
Réponse
A. $a$ divise $b$ — $a \mid b$ signifie que $a$ divise $b$, i.e. il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $b = ak$.
Si $\pgcd(a,b) = d$, les entiers $a/d$ et $b/d$ sont :
- A. Tous les deux premiers
- B. Premiers entre eux
- C. Divisibles par $d$
- D. Négatifs
Réponse
B. Premiers entre eux — Si on divise $a$ et $b$ par leur PGCD, les quotients sont premiers entre eux.
Parmi ces calculs, lequel donne $\pgcd(18,24)$ correctement ?
- A. $24 = 1\times18+6$, $18=3\times6+0$ → pgcd=6
- B. $24-18=6$ donc pgcd=6
- C. pgcd=18 car 18<24
- D. pgcd=2 car 18 et 24 sont pairs
Réponse
A. $24 = 1\times18+6$, $18=3\times6+0$ → pgcd=6 — L'algorithme d'Euclide donne bien pgcd(18,24)=6 en deux étapes.
Niveau moyen — 12 questions
Parmi les expressions suivantes, laquelle est une identité de Bézout pour $\pgcd(15,6)=3$ ?
- A. $15\times1+6\times(-2)=3$
- B. $15\times2+6\times(-5)=0$
- C. $15\times(-1)+6\times2=3$
- D. $15+6=21$
Réponse
C. $15\times(-1)+6\times2=3$ — $15\times(-1)+6\times2=-15+12=-3$... En fait $15\times1+6\times(-2)=15-12=3$ ✓. La réponse A est correcte.
Si $\pgcd(a,b)=1$ et $a \mid bc$, que peut-on déduire ?
- A. $a \mid b$
- B. $a \mid c$
- C. $a \mid b+c$
- D. Rien
Réponse
B. $a \mid c$ — Par le théorème de Gauss : pgcd(a,b)=1 et a|bc implique a|c.
L'équation $6x + 4y = 5$ a-t-elle des solutions entières ?
- A. Oui, une unique solution
- B. Oui, une infinité
- C. Non
- D. Oui, exactement deux
Réponse
C. Non — pgcd(6,4)=2 et 2 ne divise pas 5, donc pas de solution entière.
L'équation $6x + 4y = 8$ admet des solutions entières car :
- A. $\pgcd(6,4)=2$ et $2\mid8$
- B. $6+4=10$ divise 8
- C. $6\mid8$
- D. Toujours des solutions
Réponse
A. $\pgcd(6,4)=2$ et $2\mid8$ — La condition est pgcd(a,b)|c : pgcd(6,4)=2 et 2|8, donc oui.
Les coefficients de Bézout $(u,v)$ d'un couple $(a,b)$ :
- A. Sont uniques
- B. Peuvent être négatifs
- C. Sont toujours positifs
- D. Ont toujours la même somme
Réponse
B. Peuvent être négatifs — Les coefficients de Bézout peuvent très bien être négatifs (et il en existe une infinité de paires).
Si $(x_0,y_0)$ est solution de $ax+by=c$ ($\pgcd(a,b)=d$, $a=da'$, $b=db'$), la solution générale est :
- A. $x=x_0+ka'$, $y=y_0-kb'$
- B. $x=x_0+kb'$, $y=y_0-ka'$
- C. $x=x_0+kc$, $y=y_0+kc$
- D. $x=x_0+k$, $y=y_0+k$
Réponse
B. $x=x_0+kb'$, $y=y_0-ka'$ — Solution générale : $x=x_0+kb'$, $y=y_0-ka'$ avec $k\in\mathbb{Z}$, où $a'=a/d$, $b'=b/d$.
Pour trouver les coefficients de Bézout, on utilise :
- A. La formule $u=a$, $v=-b$
- B. La remontée des étapes de l'algorithme d'Euclide
- C. La décomposition en facteurs premiers
- D. Le PPCM
Réponse
B. La remontée des étapes de l'algorithme d'Euclide — On remonte les étapes de l'algorithme d'Euclide pour exprimer le PGCD comme combinaison linéaire.
Si $3 \mid 2n$ et $\pgcd(3,2)=1$, alors :
- A. $3 \mid 2$
- B. $3 \mid n$
- C. $2 \mid n$
- D. On ne peut rien conclure
Réponse
B. $3 \mid n$ — Par Gauss : pgcd(3,2)=1 et 3|2n donc 3|n.
Quelle est une solution particulière de $5x+7y=1$ ?
- A. $x=3, y=-2$
- B. $x=-4, y=3$
- C. $x=3, y=-2$
- D. $x=1, y=0$
Réponse
B. $x=-4, y=3$ — $5\times(-4)+7\times3=-20+21=1$ ✓.
Si $\pgcd(a,n)=1$ et $\pgcd(b,n)=1$, alors $\pgcd(ab,n)=$ ?
- A. 2
- B. 0
- C. 1
- D. $n$
Réponse
C. 1 — Le produit de deux entiers premiers avec $n$ est encore premier avec $n$ : pgcd(ab,n)=1.
Si $p$ est premier et $p \mid a^2$, alors :
- A. $p^2 \mid a$
- B. $p \mid a$
- C. $a \mid p$
- D. $a=p$
Réponse
B. $p \mid a$ — $p|a\times a$. Si $p \nmid a$, pgcd(p,a)=1 et par Gauss p|a : contradiction. Donc p|a.
Laquelle de ces propriétés caractérise le PGCD ?
- A. pgcd(a,b) est le plus petit diviseur commun
- B. pgcd(a,b) divise tout multiple commun de a et b
- C. pgcd(a,b) est le produit des facteurs premiers communs
- D. pgcd(a,b) est toujours impair
Réponse
B. pgcd(a,b) divise tout multiple commun de a et b — Propriété fondamentale : tout diviseur commun de $a$ et $b$ divise pgcd(a,b). Réciproquement pgcd(a,b) divise tout multiple commun.
Niveau difficile — 13 questions
Soit $n \in \mathbb{Z}$. Alors $\pgcd(n, n+2)$ peut valoir :
- A. 1 ou 2 seulement
- B. 1, 2 ou 4
- C. n'importe quel entier
- D. Toujours 2
Réponse
A. 1 ou 2 seulement — pgcd(n,n+2) divise $(n+2)-n=2$, donc il vaut 1 ou 2. Il vaut 2 si $n$ est pair, 1 si $n$ est impair.
L'équation $12x + 9y = 6$ : après simplification par pgcd(12,9)=3, on obtient :
- A. $4x+3y=2$
- B. $12x+9y=2$
- C. $4x+3y=6$
- D. $12x+9y=3$
Réponse
A. $4x+3y=2$ — On divise tout par 3 : $12/3=4$, $9/3=3$, $6/3=2$. Équation réduite : $4x+3y=2$.
Pour $4x+3y=2$, une solution particulière est $(x_0,y_0)=(-1,2)$. La solution générale est :
- A. $x=-1+3k$, $y=2-4k$
- B. $x=-1+4k$, $y=2-3k$
- C. $x=-1+k$, $y=2-k$
- D. $x=2+3k$, $y=-1-4k$
Réponse
A. $x=-1+3k$, $y=2-4k$ — Avec $a'=4$, $b'=3$ : $x=x_0+b'k=-1+3k$, $y=y_0-a'k=2-4k$.
Si $a \mid c$, $b \mid c$ et $\pgcd(a,b)=1$, alors :
- A. $a+b \mid c$
- B. $ab \mid c$
- C. $a-b \mid c$
- D. $\text{ppcm}(a,b) \mid c^2$
Réponse
B. $ab \mid c$ — Si pgcd(a,b)=1, a|c et b|c, alors ab|c (résultat classique utilisant Gauss).
Résoudre $7x \equiv 1 \pmod{11}$ revient à trouver des entiers $x, y$ tels que :
- A. $7x = 11y + 1$
- B. $7x + 11y = 1$
- C. $11x + 7y = 1$
- D. $7x - 11y = 0$
Réponse
B. $7x + 11y = 1$ — $7x \equiv 1 \pmod{11}$ signifie $11 \mid 7x-1$, i.e. $7x-1=11y$ (un certain $y$), i.e. $7x+11(-y)=1$ → $7x+11y'=1$.
Combien l'équation $ax+by=c$ (avec $\pgcd(a,b)\mid c$) admet-elle de solutions entières ?
- A. Une seule
- B. Deux
- C. Un nombre fini
- D. Une infinité
Réponse
D. Une infinité — Si une solution particulière existe, on obtient une famille infinie paramétrée par $k \in \mathbb{Z}$.
Preuve du théorème de Gauss : on part de $\pgcd(a,b)=1$ (Bézout : $au+bv=1$). On multiplie par $c$ :
- A. $acu+bcv=c$ puis $a\mid acu$ et $a\mid bc$ donc $a\mid c$
- B. $ac+bc=c$ donc $a\mid c$
- C. $a\mid b$ donc $a\mid c$
- D. $au+bv=c$ donc $a\mid c$
Réponse
A. $acu+bcv=c$ puis $a\mid acu$ et $a\mid bc$ donc $a\mid c$ — C'est exactement la preuve du théorème de Gauss : $acu+bcv=c$, $a|acu$ et $a|bc$ (hypothèse), donc $a|c$.
Si $n^2 \equiv 0 \pmod{p}$ ($p$ premier), alors :
- A. $n \equiv 0 \pmod{p^2}$
- B. $n \equiv 0 \pmod{p}$
- C. $n \equiv 1 \pmod{p}$
- D. $p \equiv 0 \pmod{n}$
Réponse
B. $n \equiv 0 \pmod{p}$ — $p|n^2=n\times n$. pgcd(p,n) vaut 1 ou p. Si pgcd(p,n)=1, par Gauss p|n : contradiction. Donc pgcd(p,n)=p, i.e. p|n.
Vrai ou faux : si $p$ est premier et $p \mid ab$, alors $p \mid a$ ET $p \mid b$.
- A. Vrai
- B. Faux, on peut avoir $p\mid a$ ou $p\mid b$ seulement
- C. Faux, aucun ne doit être divisible
- D. Cela dépend du signe de $a$ et $b$
Réponse
B. Faux, on peut avoir $p\mid a$ ou $p\mid b$ seulement — Faux : il suffit que $p$ divise au moins l'un des deux. Ex : $2\mid3\times4$ mais $2\nmid3$.
L'entier $n = 3$ et $m = 5$ sont premiers entre eux. Une identité de Bézout est :
- A. $3\times2+5\times(-1)=1$
- B. $3\times5=15$
- C. $3+5=8$
- D. $3\times(-1)+5\times(-1)=-8$
Réponse
A. $3\times2+5\times(-1)=1$ — $3\times2+5\times(-1)=6-5=1$ ✓. C'est bien une identité de Bézout pour 3 et 5.
Parmi les entiers suivants, lequel est l'inverse de 5 modulo 13 ?
- A. 3
- B. 5
- C. 8
- D. 10
Réponse
C. 8 — $5\times8=40=3\times13+1\equiv1\pmod{13}$. Donc l'inverse de 5 modulo 13 est 8.
Si $\pgcd(a,b)=d$, l'équation $ax+by=c$ a des solutions entières si et seulement si :
- A. $c=d$
- B. $d\mid c$
- C. $c\mid d$
- D. $c\mid a$ et $c\mid b$
Réponse
B. $d\mid c$ — Condition nécessaire et suffisante : $\pgcd(a,b)=d$ divise $c$.
Soit $(u_0,v_0)$ une paire de coefficients de Bézout pour $(a,b)$ avec $\pgcd(a,b)=1$. Une autre paire est :
- A. $(u_0+a, v_0+b)$
- B. $(u_0+b, v_0-a)$
- C. $(u_0-b, v_0+a)$
- D. $(u_0+b, v_0-a)$ et $(u_0-b, v_0+a)$
Réponse
D. $(u_0+b, v_0-a)$ et $(u_0-b, v_0+a)$ — Les paires de coefficients de Bézout sont toutes de la forme $(u_0+kb, v_0-ka)$ pour $k\in\mathbb{Z}$, donc $k=\pm1$ donne les deux propositions.
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