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Théorèmes de Bézout et de Gauss
Identité de Bézout démontrée et algorithme d’Euclide étendu, théorème de Bézout et entiers premiers entre eux, théorème de Gauss et son corollaire, équations diophantiennes ax + by = c, inverse modulo n et systèmes de deux congruences.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
D’après le théorème de Bézout, deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers u et v tels que :
- A. au + bv = 1
- B. au + bv = 0
- C. au + bv = ab
- D. au + bv = a + b
Réponse
A. au + bv = 1 — C’est l’énoncé exact du théorème de Bézout. Les trois autres égalités ont toujours des solutions (u = v = 0, ou u = b et v = 0, ou u = v = 1), même quand a et b ne sont pas premiers entre eux.
La valeur de pgcd(26 ; 45) est :
- A. 2
- B. 1
- C. 5
- D. 13
Réponse
B. 1 — 45 = 1 × 26 + 19, 26 = 1 × 19 + 7, 19 = 2 × 7 + 5, 7 = 1 × 5 + 2, 5 = 2 × 2 + 1 : le dernier reste non nul vaut 1.
Un couple d’entiers (u ; v) tel que 7u + 4v = 1 est :
- A. (1 ; 2)
- B. (2 ; −3)
- C. (−1 ; 2)
- D. (3 ; −4)
Réponse
C. (−1 ; 2) — 7 × (−1) + 4 × 2 = −7 + 8 = 1. Les couples (1 ; 2), (2 ; −3) et (3 ; −4) donnent respectivement 15, 2 et 5.
Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux, le théorème de Gauss permet d’affirmer que :
- A. a divise b
- B. a divise b + c
- C. a divise bc + 1
- D. a divise c
Réponse
D. a divise c — C’est la conclusion du théorème de Gauss : on « simplifie » par le facteur b, premier avec a.
Un entier a est inversible modulo n (n ≥ 2) si et seulement si :
- A. a est strictement inférieur à n
- B. a et n sont premiers entre eux
- C. a divise n
- D. n est un nombre pair
Réponse
B. a et n sont premiers entre eux — au ≡ 1 [n] équivaut à l’existence d’un entier v tel que au + nv = 1, donc, par le théorème de Bézout, à pgcd(a ; n) = 1.
Dans ℤ², l’équation 6x + 9y = 5 :
- A. n’admet aucune solution
- B. admet une solution
- C. admet exactement deux solutions
- D. admet une infinité de solutions
Réponse
A. n’admet aucune solution — pgcd(6 ; 9) = 3 et 3 ne divise pas 5 : 6x + 9y = 3(2x + 3y) est toujours un multiple de 3.
Si a et b divisent c et si a et b sont premiers entre eux, alors :
- A. a + b divise c
- B. c divise ab
- C. a divise b
- D. ab divise c
Réponse
D. ab divise c — C’est le corollaire du théorème de Gauss ; l’hypothèse « premiers entre eux » y est indispensable.
Le nombre de couples d’entiers relatifs (u ; v) tels que 5u + 3v = 1 est :
- A. nul
- B. égal à 1
- C. infini
- D. égal à 2
Réponse
C. infini — 5 et 3 sont premiers entre eux, donc il y a des couples, par exemple (2 ; −3), et avec un couple (u₀ ; v₀), tous les (u₀ + 3k ; v₀ − 5k) conviennent : il y en a une infinité.
On peut affirmer que 39 et 25 sont premiers entre eux, car :
- A. 39 et 25 sont tous deux impairs
- B. 39 − 25 = 14 est un nombre pair
- C. 39 × 9 − 25 × 14 = 1
- D. ni 39 ni 25 n’est un nombre premier
Réponse
C. 39 × 9 − 25 × 14 = 1 — 351 − 350 = 1 est une relation de Bézout : le théorème de Bézout conclut. Deux impairs peuvent avoir un diviseur commun (9 et 15), et des entiers non premiers aussi (4 et 6).
L’inverse de 3 modulo 20, compris entre 0 et 19, est :
- A. 17
- B. 13
- C. 3
- D. 7
Réponse
D. 7 — 3 × 7 = 21 = 20 + 1, donc 3 × 7 ≡ 1 [20]. Les autres produits valent 51 ≡ 11, 39 ≡ 19 et 9 modulo 20.
Lors de la remontée de l’algorithme d’Euclide, la ligne « 50 = 2 × 18 + 14 » sert à exprimer :
- A. le reste 14 à l’aide de 50 et de 18
- B. le quotient 2 à l’aide de 50 et de 14
- C. le diviseur 18 à l’aide de 50 et de 2
- D. le PGCD de 50 et de 18
Réponse
A. le reste 14 à l’aide de 50 et de 18 — On isole le reste : 14 = 50 − 2 × 18, puis on remplace 14 par cette expression dans la ligne suivante. Le PGCD, lui, est le dernier reste non nul (ici 2).
Un entier divisible par 5 et par 9 est toujours divisible par :
- A. 90
- B. 45
- C. 18
- D. 14
Réponse
B. 45 — 2 × 5 − 9 = 1 : 5 et 9 sont premiers entre eux, donc 45 divise l’entier (corollaire de Gauss). L’entier 45 lui-même n’est divisible ni par 90, ni par 18, ni par 14.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Sachant que 56 et 33 sont premiers entre eux, un couple (u ; v) tel que 56u + 33v = 1 est :
- A. (10 ; −17)
- B. (−10 ; 17)
- C. (−17 ; 10)
- D. (17 ; −10)
Réponse
B. (−10 ; 17) — 56 × (−10) + 33 × 17 = −560 + 561 = 1. Les autres couples donnent −1, −622 et 622.
L’inverse de 9 modulo 22, compris entre 0 et 21, est :
- A. 5
- B. 3
- C. 7
- D. 13
Réponse
A. 5 — 9 × 5 = 45 = 2 × 22 + 1. Les autres produits valent 27 ≡ 5, 63 ≡ 19 et 117 ≡ 7 modulo 22.
Les solutions dans ℤ² de l’équation 4x + 7y = 1 sont les couples :
- A. (2 + 4k ; −1 − 7k), k ∈ ℤ
- B. (2 + 7k ; −1 + 4k), k ∈ ℤ
- C. (−1 + 7k ; 2 − 4k), k ∈ ℤ
- D. (2 + 7k ; −1 − 4k), k ∈ ℤ
Réponse
D. (2 + 7k ; −1 − 4k), k ∈ ℤ — (2 ; −1) est solution (8 − 7 = 1), et comme pgcd(4 ; 7) = 1, le pas est 7 pour x et −4 pour y.
Dans ℤ², l’équation 15x + 25y = 40 :
- A. n’admet aucune solution
- B. admet une seule solution
- C. admet une infinité de solutions
- D. admet exactement cinq solutions
Réponse
C. admet une infinité de solutions — pgcd(15 ; 25) = 5 et 40 = 8 × 5 : la condition d’existence est vérifiée, et à une solution on peut ajouter (5k ; −3k).
L’ensemble des solutions de l’équation 5x ≡ 3 [14] est décrit par :
- A. x ≡ 9 [14]
- B. x ≡ 3 [14]
- C. x ≡ 6 [14]
- D. x ≡ 11 [14]
Réponse
A. x ≡ 9 [14] — L’inverse de 5 modulo 14 est 3, car 15 ≡ 1 [14] ; donc x ≡ 3 × 3 = 9 [14]. Contrôle : 5 × 9 = 45 = 42 + 3.
Si 13 divise 6n, où n est un entier relatif, alors nécessairement :
- A. 13 divise 6
- B. n divise 13
- C. 13 divise n
- D. n est un multiple de 6
Réponse
C. 13 divise n — pgcd(13 ; 6) = 1 (13 − 2 × 6 = 1), donc le théorème de Gauss s’applique : 13 divise n.
Un entier n vérifie n ≡ 1 [6] et n ≡ 4 [5]. On peut alors affirmer que :
- A. n ≡ 9 [30]
- B. n ≡ 19 [30]
- C. n ≡ 14 [30]
- D. n ≡ 24 [30]
Réponse
B. n ≡ 19 [30] — 19 = 3 × 6 + 1 et 19 = 3 × 5 + 4 ; comme 5 et 6 sont premiers entre eux, les solutions sont les entiers congrus à 19 modulo 30. Les restes de 9, 14 et 24 modulo 6 valent 3, 2 et 0.
Le plus petit entier naturel x vérifiant 8x ≡ 1 [27] est :
- A. 7
- B. 10
- C. 20
- D. 17
Réponse
D. 17 — 8 × 17 = 136 = 5 × 27 + 1 : 17 est l’inverse de 8 modulo 27. Les autres produits valent 56 ≡ 2, 80 ≡ 26 et 160 ≡ 25 modulo 27.
Pour tout entier n, pgcd(2n + 1 ; 3n + 1) vaut :
- A. n
- B. 2n + 1
- C. n + 1
- D. 1
Réponse
D. 1 — 3(2n + 1) − 2(3n + 1) = 1 : d’après le théorème de Bézout, les deux entiers sont premiers entre eux pour tout n.
Les solutions dans ℤ² de l’équation 6x + 10y = 4 sont les couples :
- A. (−1 + 10k ; 1 − 6k), k ∈ ℤ
- B. (−1 + 5k ; 1 − 3k), k ∈ ℤ
- C. (−1 + 3k ; 1 − 5k), k ∈ ℤ
- D. (−1 + 5k ; 1 + 3k), k ∈ ℤ
Réponse
B. (−1 + 5k ; 1 − 3k), k ∈ ℤ — pgcd(6 ; 10) = 2 : on se ramène à 3x + 5y = 2, de solution (−1 ; 1), avec le pas 5 = 10 ÷ 2 et −3 = −6 ÷ 2. Le pas (10 ; −6) ne donne qu’une solution sur deux.
Si un entier a est premier avec 10 et premier avec 21, alors a est premier avec :
- A. 31
- B. 11
- C. 210
- D. 2a
Réponse
C. 210 — 210 = 10 × 21 : un entier premier avec deux entiers l’est avec leur produit. Pour les autres : a = 31 et a = 11 sont premiers avec 10 et 21 mais pas avec 31 ni 11 ; et pgcd(a ; 2a) = |a|, qui vaut 13 pour a = 13.
Le nombre de couples d’entiers naturels (x ; y) tels que 5x + 7y = 100 est :
- A. 3
- B. 2
- C. 4
- D. infini
Réponse
A. 3 — 7y = 100 − 5x est un multiple de 5, donc 5 divise y (Gauss, car pgcd(5 ; 7) = 1). Avec y = 0, 5, 10 on obtient x = 20, 13, 6 ; y = 15 donne 105 > 100.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Un élève calcule 10 × 2 + 4 × (−1) = 16 et en conclut que pgcd(10 ; 4) = 16. En réalité :
- A. ce PGCD est égal à 16
- B. ce PGCD est égal à 8
- C. 16 est un multiple de ce PGCD
- D. le calcul de l’élève est faux
Réponse
C. 16 est un multiple de ce PGCD — Le calcul est juste, mais une combinaison de a et b est seulement un multiple du PGCD : ici pgcd(10 ; 4) = 2 et 16 = 8 × 2.
Pour que ab divise c, il suffit que a et b divisent c et que :
- A. a et b soient tous deux impairs
- B. a divise b
- C. c soit un multiple de a + b
- D. a et b soient premiers entre eux
Réponse
D. a et b soient premiers entre eux — C’est l’hypothèse du corollaire du théorème de Gauss. Sans elle : 3 et 9 divisent 9, mais 27 ne divise pas 9 ; 3 et 3 divisent 6, multiple de 3 + 3, mais 9 ne divise pas 6 ; 2 divise 4 et 4 divise 4, mais 8 ne divise pas 4.
L’affirmation « si a divise bc, alors a divise b ou a divise c » est :
- A. fausse : 10 divise 4 × 5 sans diviser 4 ni 5
- B. vraie pour tous les entiers
- C. vraie seulement lorsque a est pair
- D. vraie dès que b et c sont premiers entre eux
Réponse
A. fausse : 10 divise 4 × 5 sans diviser 4 ni 5 — Il manque une hypothèse : 10 divise 20 mais ni 4 ni 5. Avec a = 6, b = 2 et c = 3 (premiers entre eux), 6 divise bc sans diviser b ni c.
Dans ℤ², l’équation 12x + 18y = 9 :
- A. admet une infinité de solutions
- B. n’admet aucune solution
- C. admet exactement trois solutions
- D. admet une seule solution
Réponse
B. n’admet aucune solution — pgcd(12 ; 18) = 6 ne divise pas 9 : 12x + 18y est toujours pair, alors que 9 est impair.
Si a est premier avec b et premier avec c, on peut affirmer que :
- A. pgcd(a ; b + c) = 1
- B. pgcd(b ; c) = 1
- C. a divise bc
- D. pgcd(a ; bc) = 1
Réponse
D. pgcd(a ; bc) = 1 — On multiplie deux relations de Bézout. Avec a = 5, b = 2 et c = 3, b + c = 5 n’est pas premier avec a ; avec a = 1 et b = c = 2, b et c ne sont pas premiers entre eux.
Si p est un inverse de a modulo n, les solutions de ax ≡ b [n] sont les entiers vérifiant :
- A. x ≡ ab [n]
- B. x ≡ pb [n]
- C. x ≡ p + b [n]
- D. x ≡ b − p [n]
Réponse
B. x ≡ pb [n] — On multiplie les deux membres par p : pax ≡ pb [n], et pa ≡ 1 [n] donne x ≡ pb [n] ; réciproquement, a × pb ≡ b [n].
Les couples d’entiers naturels (x ; y) vérifiant 3x + 5y = 22 sont :
- A. aucun couple
- B. les couples (4 ; 2) et (9 ; 1)
- C. le seul couple (4 ; 2)
- D. une infinité de couples
Réponse
C. le seul couple (4 ; 2) — Les solutions entières sont les (4 + 5k ; 2 − 3k) ; x ≥ 0 et y ≥ 0 imposent k = 0. Le couple (9 ; 1) donne 32.
L’ensemble des entiers n tels que n ≡ 2 [10] et n ≡ 5 [15] est :
- A. vide
- B. celui des n ≡ 5 [30]
- C. celui des n ≡ 20 [30]
- D. celui des n ≡ 25 [30]
Réponse
A. vide — La première congruence donne n ≡ 2 [5] et la seconde n ≡ 0 [5] : c’est contradictoire. Ici pgcd(10 ; 15) = 5 ne divise pas 5 − 2 = 3.
Le nombre de couples (u ; v) tels que 21u + 8v = 1 et |u| ≤ 10 est :
- A. 2
- B. 1
- C. 3
- D. infini
Réponse
A. 2 — 21 × (−3) + 8 × 8 = 1, donc les couples sont les (−3 + 8k ; 8 − 21k). |u| ≤ 10 laisse u = −3 et u = 5 seulement.
L’inverse de 23 modulo 64, compris entre 0 et 63, est :
- A. 25
- B. 41
- C. 39
- D. 47
Réponse
C. 39 — Euclide étendu : 1 = 9 × 64 − 25 × 23, donc l’inverse est −25 ≡ 39 [64] ; contrôle : 23 × 39 = 897 = 14 × 64 + 1. Piège : 25 est l’opposé de l’inverse (23 × 25 ≡ −1).
Si a et b sont premiers entre eux, alors pgcd(a + b ; ab) vaut :
- A. a + b
- B. 1
- C. ab
- D. a
Réponse
B. 1 — Avec au + bv = 1 : a(u − v) + (a + b)v = 1, donc a est premier avec a + b ; de même b. Premier avec a et avec b, a + b l’est avec ab.
Pour tout entier naturel n, pgcd(n² + n ; 2n + 1) vaut :
- A. n + 1
- B. 2
- C. 2n + 1
- D. 1
Réponse
D. 1 — (2n + 1) − 2n = 1 et 2(n + 1) − (2n + 1) = 1 : 2n + 1 est premier avec n et avec n + 1, donc avec leur produit n² + n.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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