Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Arithmétique — théorèmes de Bézout et de Gauss
Coefficients de Bézout, identité de Bézout, théorème de Gauss et applications : programme de Maths expertes Terminale
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Algorithme d'Euclide et coefficients de Bézout
/ 5 pts- Calcule $\pgcd(126, 70)$ en détaillant toutes les étapes de l'algorithme d'Euclide.
- En remontant les étapes, trouve des entiers $u$ et $v$ tels que $126u + 70v = \pgcd(126, 70)$. Vérifie ton résultat.
- Les entiers $\frac{126}{\pgcd(126,70)}$ et $\frac{70}{\pgcd(126,70)}$ sont-ils premiers entre eux ? Justifie.
Exercice 2 — Théorème de Gauss — Application
/ 5 pts- Soit $n$ un entier. Sachant que $7 \mid 4n$ et que $\pgcd(7,4)=1$, montre que $7 \mid n$.
- Montrons que $\pgcd(n, n+3)$ divise 3. En déduire que si $n$ et $n+3$ sont premiers entre eux, alors $\pgcd(n,3)$ vaut 1 ou 3.
- Donne un exemple d'entiers $a$, $b$, $c$ avec $a \mid bc$ mais $a \nmid c$ (et $a \nmid b$). Pourquoi le théorème de Gauss ne s'applique-t-il pas ?
Exercice 3 — Équation diophantienne
/ 5 pts- L'équation $15x + 21y = 9$ admet-elle des solutions entières ? Justifie en calculant $\pgcd(15,21)$.
- Simplifie l'équation et trouve une solution particulière $(x_0, y_0)$.
- Donne l'ensemble complet des solutions entières de l'équation $15x + 21y = 9$.
Exercice 4 — Démonstration et raisonnement
/ 5 pts- Démontre que pour tout entier $n$, les entiers $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux. (Utilise l'identité de Bézout.)
- Soit $p$ un nombre premier et $a$ un entier. Montre que si $p \mid a^2$, alors $p \mid a$. Cite le théorème utilisé.
- Déduis de la question précédente que $\sqrt{2}$ est irrationnel : si $\sqrt{2} = p/q$ avec $\pgcd(p,q)=1$, alors $p^2 = 2q^2$ implique $2 \mid p$, puis $2 \mid q$, contradiction.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Algorithme d'Euclide et coefficients de Bézout
Corrigé :
1. Algorithme d'Euclide :
$126 = 1 \times 70 + 56$
$70 = 1 \times 56 + 14$
$56 = 4 \times 14 + 0$
Donc $\pgcd(126,70) = 14$. (1,5 pt)
2. Remontée :
$14 = 70 - 1 \times 56$
$= 70 - 1 \times (126 - 70) = 2 \times 70 - 126$
Donc $u = -1$, $v = 2$ : $126 \times (-1) + 70 \times 2 = -126 + 140 = 14$ ✓ (2 pt)
3. $126/14 = 9$ et $70/14 = 5$. On a $9 \times 1 + 5 \times (-2) = 9 - 10 = -1$... non. Mais $\pgcd(9,5)=1$ car $9=1\times5+4$, $5=1\times4+1$ → pgcd = 1. Oui, 9 et 5 sont premiers entre eux. (1,5 pt)
Exercice 2 — Théorème de Gauss — Application
Corrigé :
1. On a $\pgcd(7,4)=1$ (7 est premier et ne divise pas 4). $7 \mid 4n$. Par le théorème de Gauss : si $a \mid bc$ et $\pgcd(a,b)=1$, alors $a \mid c$. Ici $a=7$, $b=4$, $c=n$. Conclusion : $7 \mid n$. (2 pt)
2. Soit $d = \pgcd(n,n+3)$. Alors $d \mid n$ et $d \mid n+3$, donc $d \mid (n+3)-n = 3$. Ainsi $d \in \{1,3\}$. Si $\pgcd(n,n+3)=1$, alors $d=1$. Quant à $\pgcd(n,3)$ : il divise 3 donc vaut 1 ou 3. (1,5 pt)
3. Exemple : $a=6$, $b=4$, $c=3$. $6 \mid 4\times3=12$ : vrai. Mais $6\nmid4$ et $6\nmid3$. Gauss ne s'applique pas car $\pgcd(6,4)=2\neq1$ : la condition de coprimalité n'est pas satisfaite. (1,5 pt)
Exercice 3 — Équation diophantienne
Corrigé :
1. $21 = 1 \times 15 + 6$, $15 = 2 \times 6 + 3$, $6 = 2 \times 3 + 0$. Donc $\pgcd(15,21) = 3$. Comme $3 \mid 9$, l'équation admet des solutions entières. (1,5 pt)
2. On divise par 3 : $5x + 7y = 3$. Par inspection ou remontée : $5 \times (-4) + 7 \times 4 = -20+28=8 \neq 3$. Essayons $5\times2+7\times(-1)=10-7=3$ ✓. Solution particulière : $(x_0,y_0)=(2,-1)$. (2 pt)
3. Solutions générales ($a'=5$, $b'=7$) : $x = 2 + 7k$, $y = -1 - 5k$ pour $k \in \mathbb{Z}$. Vérif pour $k=0$ : $5\times2+7\times(-1)=3$ ✓, donc $15\times2+21\times(-1)=30-21=9$ ✓. (1,5 pt)
Exercice 4 — Démonstration et raisonnement
Corrigé :
1. On a $n \times (-1) + (n+1) \times 1 = -n + n + 1 = 1$. Par la réciproque du théorème de Bézout, $\pgcd(n, n+1) = 1$. Donc $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux pour tout entier $n$. (1,5 pt)
2. $p \mid a^2 = a \times a$. Si $\pgcd(p,a) = 1$ (i.e. $p \nmid a$), par le théorème de Gauss : $p \mid a$, contradiction. Donc $\pgcd(p,a) \neq 1$, et comme $p$ est premier, $\pgcd(p,a) = p$, i.e. $p \mid a$. Théorème utilisé : théorème de Gauss. (2 pt)
3. $p^2 = 2q^2 \Rightarrow 2 \mid p^2 \Rightarrow 2 \mid p$ (d'après la Q2 avec le premier 2). Donc $p = 2k$, d'où $4k^2 = 2q^2$, $2k^2 = q^2$, $2 \mid q^2$, donc $2 \mid q$. Mais $\pgcd(p,q)=1$ et $2 \mid p$ et $2 \mid q$ : contradiction. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel. (1,5 pt)
Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Arithmétique — théorèmes de Bézout et de Gauss » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Algorithme d'Euclide et coefficients de Bézout/ 5 pts
- Exercice 2 — Théorème de Gauss — Application/ 5 pts
- Exercice 3 — Équation diophantienne/ 5 pts
- Exercice 4 — Démonstration et raisonnement/ 5 pts
Notions évaluées
Rappels : PGCD et algorithme d'Euclide, Théorème de Bézout et identité de Bézout, Algorithme de remontée : calculer les coefficients de Bézout, Entiers premiers entre eux, Théorème de Gauss, Applications : équations diophantiennes.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Arithmétique — théorèmes de Bézout et de Gauss » ?
- 60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Arithmétique — théorèmes de Bézout et de Gauss » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit Rappels : PGCD et algorithme d'Euclide, Théorème de Bézout et identité de Bézout, Algorithme de remontée : calculer les coefficients de Bézout, Entiers premiers entre eux.
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