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Maths expertes (option Tle) · Classe de Terminale

Arithmétique — théorèmes de Bézout et de Gauss

Coefficients de Bézout, identité de Bézout, théorème de Gauss et applications : programme de Maths expertes Terminale

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Arithmétique — théorèmes de Bézout et de Gauss » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths expertes (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Rappels : PGCD et algorithme d'Euclide, Théorème de Bézout et identité de Bézout, Algorithme de remontée : calculer les coefficients de Bézout, Entiers premiers entre eux. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths expertes (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Algorithme d'Euclide et coefficients de Bézout

/ 5 pts
  1. Calcule $\pgcd(126, 70)$ en détaillant toutes les étapes de l'algorithme d'Euclide.
  2. En remontant les étapes, trouve des entiers $u$ et $v$ tels que $126u + 70v = \pgcd(126, 70)$. Vérifie ton résultat.
  3. Les entiers $\frac{126}{\pgcd(126,70)}$ et $\frac{70}{\pgcd(126,70)}$ sont-ils premiers entre eux ? Justifie.

Exercice 2 — Théorème de Gauss — Application

/ 5 pts
  1. Soit $n$ un entier. Sachant que $7 \mid 4n$ et que $\pgcd(7,4)=1$, montre que $7 \mid n$.
  2. Montrons que $\pgcd(n, n+3)$ divise 3. En déduire que si $n$ et $n+3$ sont premiers entre eux, alors $\pgcd(n,3)$ vaut 1 ou 3.
  3. Donne un exemple d'entiers $a$, $b$, $c$ avec $a \mid bc$ mais $a \nmid c$ (et $a \nmid b$). Pourquoi le théorème de Gauss ne s'applique-t-il pas ?

Exercice 3 — Équation diophantienne

/ 5 pts
  1. L'équation $15x + 21y = 9$ admet-elle des solutions entières ? Justifie en calculant $\pgcd(15,21)$.
  2. Simplifie l'équation et trouve une solution particulière $(x_0, y_0)$.
  3. Donne l'ensemble complet des solutions entières de l'équation $15x + 21y = 9$.

Exercice 4 — Démonstration et raisonnement

/ 5 pts
  1. Démontre que pour tout entier $n$, les entiers $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux. (Utilise l'identité de Bézout.)
  2. Soit $p$ un nombre premier et $a$ un entier. Montre que si $p \mid a^2$, alors $p \mid a$. Cite le théorème utilisé.
  3. Déduis de la question précédente que $\sqrt{2}$ est irrationnel : si $\sqrt{2} = p/q$ avec $\pgcd(p,q)=1$, alors $p^2 = 2q^2$ implique $2 \mid p$, puis $2 \mid q$, contradiction.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Algorithme d'Euclide et coefficients de Bézout
Corrigé :
1. Algorithme d'Euclide :
$126 = 1 \times 70 + 56$
$70 = 1 \times 56 + 14$
$56 = 4 \times 14 + 0$
Donc $\pgcd(126,70) = 14$. (1,5 pt)

2. Remontée :
$14 = 70 - 1 \times 56$
$= 70 - 1 \times (126 - 70) = 2 \times 70 - 126$
Donc $u = -1$, $v = 2$ : $126 \times (-1) + 70 \times 2 = -126 + 140 = 14$ ✓ (2 pt)

3. $126/14 = 9$ et $70/14 = 5$. On a $9 \times 1 + 5 \times (-2) = 9 - 10 = -1$... non. Mais $\pgcd(9,5)=1$ car $9=1\times5+4$, $5=1\times4+1$ → pgcd = 1. Oui, 9 et 5 sont premiers entre eux. (1,5 pt)

Exercice 2 — Théorème de Gauss — Application
Corrigé :
1. On a $\pgcd(7,4)=1$ (7 est premier et ne divise pas 4). $7 \mid 4n$. Par le théorème de Gauss : si $a \mid bc$ et $\pgcd(a,b)=1$, alors $a \mid c$. Ici $a=7$, $b=4$, $c=n$. Conclusion : $7 \mid n$. (2 pt)

2. Soit $d = \pgcd(n,n+3)$. Alors $d \mid n$ et $d \mid n+3$, donc $d \mid (n+3)-n = 3$. Ainsi $d \in \{1,3\}$. Si $\pgcd(n,n+3)=1$, alors $d=1$. Quant à $\pgcd(n,3)$ : il divise 3 donc vaut 1 ou 3. (1,5 pt)

3. Exemple : $a=6$, $b=4$, $c=3$. $6 \mid 4\times3=12$ : vrai. Mais $6\nmid4$ et $6\nmid3$. Gauss ne s'applique pas car $\pgcd(6,4)=2\neq1$ : la condition de coprimalité n'est pas satisfaite. (1,5 pt)

Exercice 3 — Équation diophantienne
Corrigé :
1. $21 = 1 \times 15 + 6$, $15 = 2 \times 6 + 3$, $6 = 2 \times 3 + 0$. Donc $\pgcd(15,21) = 3$. Comme $3 \mid 9$, l'équation admet des solutions entières. (1,5 pt)

2. On divise par 3 : $5x + 7y = 3$. Par inspection ou remontée : $5 \times (-4) + 7 \times 4 = -20+28=8 \neq 3$. Essayons $5\times2+7\times(-1)=10-7=3$ ✓. Solution particulière : $(x_0,y_0)=(2,-1)$. (2 pt)

3. Solutions générales ($a'=5$, $b'=7$) : $x = 2 + 7k$, $y = -1 - 5k$ pour $k \in \mathbb{Z}$. Vérif pour $k=0$ : $5\times2+7\times(-1)=3$ ✓, donc $15\times2+21\times(-1)=30-21=9$ ✓. (1,5 pt)

Exercice 4 — Démonstration et raisonnement
Corrigé :
1. On a $n \times (-1) + (n+1) \times 1 = -n + n + 1 = 1$. Par la réciproque du théorème de Bézout, $\pgcd(n, n+1) = 1$. Donc $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux pour tout entier $n$. (1,5 pt)

2. $p \mid a^2 = a \times a$. Si $\pgcd(p,a) = 1$ (i.e. $p \nmid a$), par le théorème de Gauss : $p \mid a$, contradiction. Donc $\pgcd(p,a) \neq 1$, et comme $p$ est premier, $\pgcd(p,a) = p$, i.e. $p \mid a$. Théorème utilisé : théorème de Gauss. (2 pt)

3. $p^2 = 2q^2 \Rightarrow 2 \mid p^2 \Rightarrow 2 \mid p$ (d'après la Q2 avec le premier 2). Donc $p = 2k$, d'où $4k^2 = 2q^2$, $2k^2 = q^2$, $2 \mid q^2$, donc $2 \mid q$. Mais $\pgcd(p,q)=1$ et $2 \mid p$ et $2 \mid q$ : contradiction. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel. (1,5 pt)

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