Arithmétique — nombres premiers et décomposition

Exercice 1 — Décomposition et diviseurs
Corrigé :
1) $756 = 2 \times 378 = 2^2 \times 189 = 2^2 \times 3^3 \times 7$.
2) Nombre de diviseurs $= (2+1)(3+1)(1+1) = 3 \times 4 \times 2 = 24$.
3) Les diviseurs carrés parfaits sont de la forme $2^a \times 3^b \times 7^c$ avec $a \in \{0,2\}$, $b \in \{0,2\}$, $c = 0$ (car l'exposant de $7$ est $1$, on ne peut pas avoir $c$ pair et $\geq 2$). Ce sont : $1, 4, 9, 36$ (soit $2^0 3^0$, $2^2 3^0$, $2^0 3^2$, $2^2 3^2$).

Exercice 2 — PGCD et PPCM
Corrigé :
1) $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$ et $630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7$.
2) $\mathrm{PGCD} = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 210$.
$\mathrm{PPCM} = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 1260$.
3) $\mathrm{PGCD} \times \mathrm{PPCM} = 210 \times 1260 = 264\,600 = 420 \times 630$. ✓

Exercice 3 — Primalité et lemme d'Euclide
Corrigé :
1) $\sqrt{143} \approx 11{,}96$. On teste $2, 3, 5, 7, 11$ : $143 = 11 \times 13$. Donc $143$ est composé.
2) Si $p \mid n^2 = n \times n$, le lemme d'Euclide donne $p \mid n$ ou $p \mid n$, donc $p \mid n$. $\square$
3) Par la question 2, $p \mid n$ et $p \mid m$, donc $p \mid nm$. $\square$

Exercice 4 — Infinité des nombres premiers
Corrigé :
1) Il existe une infinité de nombres premiers.
2) Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de premiers $p_1, \ldots, p_k$. Posons $N = p_1 \cdots p_k + 1$. Alors $N \geq 2$ admet un diviseur premier $p$. Pour tout $i$, $p_i \mid p_1\cdots p_k$ donc $p_i \nmid N$ (sinon $p_i \mid 1$). Ainsi $p \neq p_i$ pour tout $i$ : contradiction avec la liste exhaustive. $\square$
3) $\sqrt{43} \approx 6{,}6$. On teste $2$ (impair), $3$ ($4+3=7$, non div. par $3$), $5$ (ne finit pas par $0$ ou $5$) : aucun ne divise $43$. Donc $43$ est premier.

Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
1) $98 = 2 \times 7^2$. Pour que $98n$ soit un carré parfait, il faut que tous les exposants soient pairs. L'exposant de $2$ est $1$ (impair), il faut multiplier par $2$. L'exposant de $7$ est déjà $2$ (pair). Donc $n = 2$ et $98 \times 2 = 196 = 14^2$. ✓
2) Supposons $\sqrt{2} = p/q$ avec $\mathrm{PGCD}(p,q)=1$, $q\neq0$. Alors $p^2 = 2q^2$, donc $2\mid p^2$. Lemme d'Euclide : $2\mid p$. Écrivons $p=2k$. Alors $4k^2=2q^2$, soit $q^2=2k^2$, donc $2\mid q$. Mais $2\mid p$ et $2\mid q$ contredit $\mathrm{PGCD}(p,q)=1$. $\square$