Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Primitives et intégration
Primitives des fonctions usuelles et premières propriétés de l'intégrale (programme de Terminale — option Maths complémentaires)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Quelle est une primitive de $f(x) = 6x$ ?
- A. $3x^2$
- B. $6x^2$
- C. $6$
- D. $3x^2 + 1$
Réponse
A. $3x^2$ — $(3x^2)' = 6x$. On divise le coefficient par 2 : primitive de $6x$ est $3x^2$.
Quelle est une primitive de $f(x) = e^x$ ?
- A. $e^x + x$
- B. $e^{x+1}$
- C. $e^x$
- D. $\frac{e^x}{x}$
Réponse
C. $e^x$ — La primitive de $e^x$ est $e^x$ elle-même.
Quelle est une primitive de $f(x) = \cos x$ ?
- A. $-\sin x$
- B. $\cos x$
- C. $\sin x$
- D. $\tan x$
Réponse
C. $\sin x$ — $(\sin x)' = \cos x$, donc $F(x) = \sin x$.
$\displaystyle\int_1^1 x^3\,dx = $ ?
- A. $1$
- B. $0$
- C. $\frac{1}{4}$
- D. indéfini
Réponse
B. $0$ — L'intégrale de $a$ à $a$ est toujours nulle.
Quelle est une primitive de $f(x) = \sin x$ ?
- A. $\cos x$
- B. $-\cos x$
- C. $\sin x$
- D. $-\sin x$
Réponse
B. $-\cos x$ — $(-\cos x)' = \sin x$. La primitive de $\sin x$ est $-\cos x$.
$\displaystyle\int_0^1 1\,dx = $ ?
- A. $0$
- B. $x$
- C. $1$
- D. $\frac{1}{2}$
Réponse
C. $1$ — Primitive de $1$ est $x$. $[x]_0^1 = 1 - 0 = 1$.
Toutes les primitives de $f$ sur $I$ diffèrent :
- A. d'une puissance
- B. d'un produit
- C. d'une constante
- D. d'une dérivée
Réponse
C. d'une constante — Si $F$ est une primitive, les autres sont $F(x)+C$ avec $C \in \mathbb{R}$.
Quelle est une primitive de $f(x) = \frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ ?
- A. $\frac{1}{x^2}$
- B. $\ln|x|$
- C. $-\frac{1}{x^2}$
- D. $e^x$
Réponse
B. $\ln|x|$ — $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$, donc $F(x) = \ln x$.
$[F(x)]_a^b$ signifie :
- A. $F(a)+F(b)$
- B. $F(a)-F(b)$
- C. $F(b)-F(a)$
- D. $F(b) \cdot F(a)$
Réponse
C. $F(b)-F(a)$ — Par définition, $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Quelle est une primitive de $f(x) = 3$ ?
- A. $3x+1$
- B. $0$
- C. $3x$
- D. $\frac{3}{x}$
Réponse
C. $3x$ — Primitive d'une constante $k$ est $kx$. Ici $F(x) = 3x$.
$\displaystyle\int_0^2 0\,dx = $ ?
- A. $2$
- B. $-2$
- C. $0$
- D. indéfini
Réponse
C. $0$ — Primitive de $0$ est $0$. $[0]_0^2 = 0 - 0 = 0$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $F+5$ est :
- A. une autre primitive de $f$
- B. une primitive de $f+5$
- C. une dérivée de $f$
- D. pas une primitive de $f$
Réponse
A. une autre primitive de $f$ — $(F+5)' = F' = f$. Ajouter une constante ne change pas la dérivée.
Niveau moyen — 12 questions
$\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = $ ?
- A. $9$
- B. $3$
- C. $\frac{27}{3}=9$
- D. $\frac{9}{2}$
Réponse
A. $9$ — $[\frac{x^3}{3}]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9$.
Une primitive de $f(x) = 2e^x - 3\cos x$ est :
- A. $2e^x - 3\sin x$
- B. $2e^x + 3\sin x$
- C. $e^x - 3\cos x$
- D. $2e^x - 3\cos x$
Réponse
A. $2e^x - 3\sin x$ — Primitive de $2e^x$ est $2e^x$ ; primitive de $-3\cos x$ est $-3\sin x$.
La relation de Chasles donne : $\displaystyle\int_0^5 f = \int_0^3 f + $...
- A. $\int_3^5 f$
- B. $\int_5^3 f$
- C. $\int_0^{-3} f$
- D. $\int_3^0 f$
Réponse
A. $\int_3^5 f$ — Par Chasles : $\int_0^5 f = \int_0^3 f + \int_3^5 f$.
Si $\int_0^4 f = 7$ et $\int_0^2 f = 3$, alors $\int_2^4 f = $ ?
- A. $10$
- B. $4$
- C. $21$
- D. $3$
Réponse
B. $4$ — $\int_2^4 f = \int_0^4 f - \int_0^2 f = 7 - 3 = 4$.
Une primitive de $e^{2x}$ est :
- A. $2e^{2x}$
- B. $\frac{e^{2x}}{2}$
- C. $e^{2x}$
- D. $\frac{e^{2x+1}}{2x+1}$
Réponse
B. $\frac{e^{2x}}{2}$ — Primitive de $e^{ax}$ est $\frac{e^{ax}}{a}$. Ici $a=2$, donc $\frac{e^{2x}}{2}$.
$\displaystyle\int_1^e \frac{2}{x}\,dx = $ ?
- A. $2\ln(e)=2$
- B. $2\ln(e-1)$
- C. $2e$
- D. $\ln(2)$
Réponse
A. $2\ln(e)=2$ — $[2\ln x]_1^e = 2\ln(e) - 2\ln(1) = 2 - 0 = 2$.
Si $f \geq 0$ sur $[a;b]$, que dire de $\int_a^b f\,dx$ ?
- A. Elle est négative
- B. Elle est nulle
- C. Elle est positive ou nulle
- D. On ne peut rien dire
Réponse
C. Elle est positive ou nulle — Par positivité de l'intégrale : si $f \geq 0$, alors $\int_a^b f\,dx \geq 0$.
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^a f(x)\,dx = $ ?
- A. $2\int_a^b f$
- B. $0$
- C. $\int_a^a f$
- D. $1$
Réponse
B. $0$ — $\int_b^a f = -\int_a^b f$, donc la somme vaut $0$.
Une primitive de $f(x) = 4x^3 + \frac{1}{x^2}$ sur $]0;+\infty[$ est :
- A. $x^4 - \frac{1}{x}$
- B. $12x^2 - \frac{2}{x^3}$
- C. $x^4 + \frac{1}{x}$
- D. $x^4 + 2x^{-1}$
Réponse
A. $x^4 - \frac{1}{x}$ — Primitive de $4x^3$ est $x^4$. Primitive de $x^{-2}$ est $\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$. Donc $x^4 - \frac{1}{x}$.
$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos x\,dx = $ ?
- A. $0$
- B. $2$
- C. $\pi$
- D. $-1$
Réponse
A. $0$ — $[\sin x]_{-\pi}^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(-\pi) = 0 - 0 = 0$.
La primitive de $f(ax+b)$ (avec $a \neq 0$) est :
- A. $a \cdot F(ax+b)$
- B. $F(ax+b)$
- C. $\frac{1}{a}F(ax+b)$
- D. $F(a)+F(b)$
Réponse
C. $\frac{1}{a}F(ax+b)$ — Par dérivation en chaîne : $\left(\frac{1}{a}F(ax+b)\right)' = \frac{1}{a} \cdot a \cdot F'(ax+b) = f(ax+b)$.
La primitive de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0;+\infty[$ est :
- A. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
- B. $\frac{-1}{2x^{3/2}}$
- C. $2\sqrt{x}$
- D. $\sqrt{x}$
Réponse
C. $2\sqrt{x}$ — $(2\sqrt{x})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Niveau difficile — 12 questions
Si $F$ est la primitive de $f$ avec $F(0) = 2$ et $f(x) = e^x$, alors $F(1) = $ ?
- A. $e+1$
- B. $e$
- C. $e+2$
- D. $e-1$
Réponse
A. $e+1$ — $F(x) = e^x + C$. $F(0) = 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1$. $F(1) = e + 1$.
$\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx$ (par intégration par parties, si vue) vaut :
- A. $1$
- B. $e-1$
- C. $e+1$
- D. $2-e$
Réponse
A. $1$ — Par IPP : $[xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1$.
L'aire délimitée par $f(x) = x^2 - 1$ et l'axe des abscisses sur $[-1;1]$ vaut :
- A. $0$
- B. $-\frac{4}{3}$
- C. $\frac{4}{3}$
- D. $2$
Réponse
C. $\frac{4}{3}$ — $f \leq 0$ sur $[-1;1]$. Aire $= \int_{-1}^1 (1-x^2)\,dx = [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^1 = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Si $f$ est paire et continue, $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = $ ?
- A. $0$
- B. $2\int_0^a f(x)\,dx$
- C. $\int_0^a f(x)\,dx$
- D. $-2\int_0^a f(x)\,dx$
Réponse
B. $2\int_0^a f(x)\,dx$ — Pour $f$ paire : $\int_{-a}^a f = 2\int_0^a f$.
Si $f$ est impaire et continue, $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = $ ?
- A. $2\int_0^a f$
- B. $0$
- C. $\int_0^a f$
- D. indéfini
Réponse
B. $0$ — Pour $f$ impaire : $\int_{-a}^a f = 0$.
La valeur de $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 x\,dx$ (en utilisant $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$) est :
- A. $\frac{\pi}{4}$
- B. $\frac{\pi}{2}$
- C. $0$
- D. $1$
Réponse
A. $\frac{\pi}{4}$ — $\int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx = [\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4}]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}$.
Parmi ces expressions, laquelle est une primitive de $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ ?
- A. $\ln(x^2+1)$
- B. $\frac{\ln(x^2+1)}{2}$
- C. $\frac{1}{2(x^2+1)}$
- D. $\arctan(x)$
Réponse
B. $\frac{\ln(x^2+1)}{2}$ — $(\frac{\ln(x^2+1)}{2})' = \frac{2x}{2(x^2+1)} = \frac{x}{x^2+1}$.
$\displaystyle\int_2^3 f(x)\,dx = -\displaystyle\int_{?}^{2} f(x)\,dx$
- A. $3$
- B. $2$
- C. $0$
- D. $-3$
Réponse
A. $3$ — Par la propriété $\int_a^b f = -\int_b^a f$ : $\int_2^3 f = -\int_3^2 f$. Donc le bas de borne vide est $3$.
L'expression $F(b) - F(a)$ ne dépend pas du choix de la constante $C$ car :
- A. $F$ n'a pas de constante
- B. $C - C = 0$
- C. $F(a) = 0$
- D. $b \gt a$
Réponse
B. $C - C = 0$ — $(F(b)+C)-(F(a)+C) = F(b)-F(a)$. La constante s'annule.
Si $f \leq g$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f\,dx$ par rapport à $\int_a^b g\,dx$ :
- A. $\int_a^b f \geq \int_a^b g$
- B. $\int_a^b f = \int_a^b g$
- C. $\int_a^b f \leq \int_a^b g$
- D. On ne peut comparer
Réponse
C. $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ — C'est la propriété de croissance de l'intégrale.
La primitive de $f(x) = \cos(3x)$ est :
- A. $-3\sin(3x)$
- B. $\sin(3x)$
- C. $\frac{\sin(3x)}{3}$
- D. $3\sin(3x)$
Réponse
C. $\frac{\sin(3x)}{3}$ — Primitive de $\cos(ax)$ est $\frac{\sin(ax)}{a}$. Ici $a=3$, donc $\frac{\sin(3x)}{3}$.
L'aire entre $f(x)=3$ et $g(x)=x$ sur $[0;3]$ ($f \geq g$) vaut :
- A. $\frac{9}{2}$
- B. $9$
- C. $3$
- D. $\frac{3}{2}$
Réponse
A. $\frac{9}{2}$ — $\int_0^3 (3-x)\,dx = [3x - \frac{x^2}{2}]_0^3 = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$.
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