Primitives

1. a)Par linéarité, $9x^2$ donne $9\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}=3x^3$, $-4x$ donne $-4\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}=-2x^2$ et $7$ donne $7x$. Une primitive est $F(x)=3x^3-2x^2+7x$. Vérification : $F\prime (x)=9x^2-4x+7=f(x)$. (1)
2. b)Sur $]0;+\infty [$, une primitive de ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ est $\ln x$ et une primitive de ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ est $-{\displaystyle \frac{1}{x}}$. Par linéarité, $G(x)=7\ln x-2\times (-{\displaystyle \frac{1}{x}})=7\ln x+{\displaystyle \frac{2}{x}}$. Vérification : $G\prime (x)={\displaystyle \frac{7}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}=g(x)$. (1)
3. c)Forme $e^{ax+b}$ avec $a=-3$ et $b=2$ : une primitive est $H(x)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{-3x+2}$. Vérification : $H\prime (x)$ $=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\times (-3)e^{-3x+2}$ $=e^{-3x+2}$. (1)
4. d)Une primitive de ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ est $2\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty [$, donc $K(x)=3\times 2\sqrt{x}=6\sqrt{x}$. Vérification : $K\prime (x)=6\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x}}}$. (1)

Repère — On sort les coefficients, on primitive terme à terme, et la dérivée du résultat doit redonner la fonction de départ.

1. a)On pose $u(x)=5x^2-4x$, dérivable sur $ℝ$, avec $u\prime (x)=10x-4$. Donc $f=u\prime e^u$ et une primitive est $F(x)=e^{5x^2-4x}$. (1)
2. b)Pour $x⩾0$, $x^3⩾0$ donc $x^3+7⩾7>0$. Avec $u(x)=x^3+7$, $u\prime (x)=3x^2$, donc $x^2={\displaystyle \frac{1}{3}}u\prime (x)$ et $g={\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$. Comme $u>0$ sur $[0;+\infty [$, une primitive est $G(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}\ln (x^3+7)$. (1)
3. c)On pose $u(x)=x^2+3x-2$ : $u\prime (x)=2x+3$ et $6x+9=3u\prime (x)$. Donc $h=3u\prime u={\displaystyle \frac{3}{2}}\times 2u\prime u$, et une primitive de $2u\prime u$ est $u^2$ : $H(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}(x^2+3x-2{)}^2$. Vérification : $H\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{3}{2}}\times 2(2x+3)(x^2+3x-2)$ $=(6x+9)(x^2+3x-2)$. (1)
4. d)On pose $u(x)=e^{2x}+6$ : $u(x)>6>0$ pour tout réel $x$, et $u\prime (x)=2e^{2x}$. Donc $k={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ et une primitive est $K(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (e^{2x}+6)$. (1)

Repère — On compare u′ au facteur présent : on n’ajuste qu’une constante, et ln u exige u > 0.

1. a)Les primitives de $f$ sur $ℝ$ sont les fonctions $x\mapsto x^4+3x^2+k$. $F(-1)=1+3+k=4+k$, et $F(-1)=0$ donne $k=-4$. Conclusion : $F(x)=x^4+3x^2-4$. (1)
2. b)Sur $]0;+\infty [$, les primitives de $g$ sont les fonctions $x\mapsto \ln x+x^2+k$. $G(1)=0+1+k=1+k$, et $G(1)=7$ donne $k=6$. Conclusion : $G(x)=\ln x+x^2+6$. (1)
3. c)$H$ est dérivable sur $ℝ$ comme produit de fonctions dérivables, avec $u(x)=3x-5$, $u\prime (x)=3$, $v(x)=e^{2x}$, $v\prime (x)=2e^{2x}$. Pour tout réel $x$ : $H\prime (x)=3e^{2x}+2(3x-5)e^{2x}$ $=(3+6x-10)e^{2x}$ $=(6x-7)e^{2x}$ $=h(x)$. Donc $H$ est une primitive de $h$ sur $ℝ$. (1)
4. d)Les primitives de $h$ sur l’intervalle $ℝ$ sont les fonctions $x\mapsto (3x-5)e^{2x}+k$. En $0$ : $(0-5)e^0+k=-5+k$, et $-5+k=0$ donne $k=5$. La primitive cherchée est $x\mapsto (3x-5)e^{2x}+5$. (1)

Repère — On écrit la forme générale avec + k avant de remplacer x : la condition fixe une seule constante.

1. a)Faux. $F$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ comme produit, et $F\prime (x)=2x\ln x+x^2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}=2x\ln x+x$. Donc $F\prime (x)=f(x)+x\ne f(x)$ pour tout $x>0$ : par exemple $F\prime (1)=1$ alors que $f(1)=0$. (1)
2. b)Faux. Contre-exemple : $f(x)=g(x)=1$, avec $F(x)=G(x)=x$. Alors $F\times G=x^2$, dont la dérivée est $2x$, alors que $f\times g=1$. Il n’existe pas de règle du produit pour les primitives. (1)
3. c)Vrai. Pour tout réel $x$, $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1⩾1>0$, donc $\ln (x^2+2x+2)$ est défini et dérivable sur $ℝ$. Avec $u(x)=x^2+2x+2$, $u\prime (x)=2x+2$, et la dérivée de $\ln u$ est ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}={\displaystyle \frac{2x+2}{x^2+2x+2}}$. (1)
4. d)Faux. Les primitives de $x\mapsto 3x^2$ sur $ℝ$ sont les fonctions $F:x\mapsto x^3+k$. La courbe passe par $A$ si $F(0)=k=1$ : c’est la seule primitive possible, $F(x)=x^3+1$. Mais alors $F(1)=2\ne 3$ : sa courbe ne passe pas par $B$. Aucune primitive ne convient. (1)

Repère — Pour prouver qu’une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit ; pour prouver qu’une primitive est juste, on dérive.

1. a)Le débit est la vitesse de variation du volume : $V\prime =r$ sur $[0;30]$, donc $V$ est la primitive de $r$ qui s’annule en $0$. Avec $u(t)=t^2+4>0$ et $u\prime (t)=2t$ : $r=10\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$, donc $V(t)=10\ln (t^2+4)+k$. $V(0)=10\ln 4+k=0$ donne $k=-10\ln 4$, soit $V(t)$ $=10\ln (t^2+4)-10\ln 4$ $=10\ln \left({\displaystyle \frac{t^2+4}{4}}\right)$. (1)
2. b)$V(10)$ $=10\ln \left({\displaystyle \frac{104}{4}}\right)$ $=10\ln 26$ $\approx 32,6$ litres. (1)
3. c)Le volume ajouté entre $t=10$ et $t=20$ est $V(20)-V(10)$ $=10\ln \left({\displaystyle \frac{404}{4}}\right)-10\ln 26$ $=10\ln 101-10\ln 26$ $=10\ln \left({\displaystyle \frac{101}{26}}\right)$ $\approx 13,6$ litres. (1)
4. d)$r$ est dérivable sur $[0;30]$ comme quotient : $r\prime (t)$ $={\displaystyle \frac{20(t^2+4)-20t\times 2t}{(t^2+4{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{20(4-t^2)}{(t^2+4{)}^2}}$. Sur $[0;30]$, $4-t^2=(2-t)(2+t)$ est du signe de $2-t$ : $r\prime ⩾0$ sur $[0;2]$ et $r\prime ⩽0$ sur $[2;30]$. Donc $r$ est maximal en $t=2$, avec $r(2)={\displaystyle \frac{40}{8}}=5$ litres par minute. (1)

Repère — Débit → volume : le volume est la primitive du débit fixée par le volume initial ; ce qui s’ajoute entre a et b vaut V(b) − V(a).