Primitives et intégration

Exercice 1 — Primitives des fonctions usuelles
Corrigé :
1) $F(x) = x^5 - \frac{3x^2}{2} + 2x$ (en appliquant la règle $\frac{ax^{n+1}}{n+1}$ terme à terme).
2) $G(x) = 2\ln x - \cos x$ (primitive de $\frac{2}{x}$ est $2\ln x$ ; primitive de $\sin x$ est $-\cos x$).
3) Primitive de $e^{4x}$ est $\frac{e^{4x}}{4} + C$. Condition : $F(0) = \frac{1}{4} + C = 1 \Rightarrow C = \frac{3}{4}$. Donc $F(x) = \frac{e^{4x}}{4} + \frac{3}{4}$.

Exercice 2 — Calcul d'intégrales
Corrigé :
1) $\Big[\frac{x^4}{4} - x^2\Big]_0^2 = (4 - 4) - 0 = 0$.
2) $\Big[3\ln x - e^x\Big]_1^e = (3 - e^e) - (0 - e) = 3 - e^e + e$. (Valeur exacte : $3 + e - e^e$.)
3) $\Big[\sin x\Big]_0^{\pi/3} = \sin(\pi/3) - \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Exercice 3 — Propriétés de l'intégrale et relation de Chasles
Corrigé :
1) Par Chasles : $\int_0^6 f = \int_0^4 f + \int_4^6 f$, donc $\int_0^4 f = 15 - 5 = 10$.
2) Sur $[0;1]$, $0 \leq x \leq 1$ donc $x^3 \leq x^2$. Par croissance de l'intégrale : $\int_0^1 x^3\,dx \leq \int_0^1 x^2\,dx$.
3) Pour $f$ paire : $\int_{-2}^2 f = 2\int_0^2 f = 2 \times 7 = 14$.

Exercice 4 — Aire entre deux courbes
Corrigé :
1) $f(x) - g(x) = x + 2 - x^2 = -(x^2 - x - 2) = -(x-2)(x+1)$. Sur $[0;2]$, $(x-2) \leq 0$ et $(x+1) \geq 0$, donc $-(x-2)(x+1) \geq 0$ : $f \geq g$.
2) $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 (f-g)\,dx = \int_0^2 (x+2-x^2)\,dx = \Big[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\Big]_0^2 = (2+4-\frac{8}{3}) - 0 = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$ unités d'aire.

Exercice 5 — Problème de modélisation
Corrigé :
a) $\displaystyle\int_0^4 (-t^2+4t)\,dt = \Big[-\frac{t^3}{3}+2t^2\Big]_0^4 = (-\frac{64}{3}+32) - 0 = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$ m.
b) $v(t) = -t^2+4t = t(4-t)$. Sur $[0;4]$, $t \geq 0$ et $4-t \geq 0$, donc $v(t) \geq 0$. Le véhicule avance toujours, et l'intégrale représente directement la distance parcourue : $\frac{32}{3}$ m.