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Maths complémentaires (option Tle) · Classe de Terminale

Primitives et intégration

Primitives des fonctions usuelles et premières propriétés de l'intégrale (programme de Terminale — option Maths complémentaires)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Primitives et intégration » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths complémentaires (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Notion de primitive, Primitives des fonctions usuelles, Opérations sur les primitives, Définition de l'intégrale. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths complémentaires (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Primitives des fonctions usuelles

/ 4 pts
  1. Déterminer une primitive de $f(x) = 5x^4 - 3x + 2$ sur $\mathbb{R}$.
  2. Déterminer une primitive de $g(x) = \dfrac{2}{x} + \sin x$ sur $]0;+\infty[$.
  3. Déterminer la primitive $F$ de $h(x) = e^{4x}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 1$.

Exercice 2 — Calcul d'intégrales

/ 5 pts
  1. Calculer $\displaystyle\int_0^2 (x^3 - 2x)\,dx$.
  2. Calculer $\displaystyle\int_1^e \left(\dfrac{3}{x} - e^x\right)\,dx$.
  3. Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/3} \cos x\,dx$.

Exercice 3 — Propriétés de l'intégrale et relation de Chasles

/ 4 pts
  1. On sait que $\displaystyle\int_0^6 f(x)\,dx = 15$ et $\displaystyle\int_4^6 f(x)\,dx = 5$. Calculer $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$.
  2. Montrer que $\displaystyle\int_0^1 x^3\,dx \leq \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ sans calculer les intégrales.
  3. Soit $f$ une fonction paire continue sur $[-2;2]$ telle que $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 7$. Calculer $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$.

Exercice 4 — Aire entre deux courbes

/ 4 pts
  1. Les fonctions $f(x) = x + 2$ et $g(x) = x^2$ sont données sur $[0 ; 2]$. Vérifier que $f(x) \geq g(x)$ sur cet intervalle.
  2. Calculer l'aire de la région délimitée par les courbes de $f$ et $g$ sur $[0;2]$.

Exercice 5 — Problème de modélisation

/ 3 pts
  1. La vitesse d'un véhicule (en m/s) est modélisée par $v(t) = -t^2 + 4t$ pour $t \in [0;4]$ (temps en secondes).
  2. a) Calculer le déplacement total du véhicule entre $t = 0$ et $t = 4$ s.
  3. b) Vérifier que $v(t) \geq 0$ sur $[0;4]$, et interpréter le résultat.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Primitives des fonctions usuelles
Corrigé :
1) $F(x) = x^5 - \frac{3x^2}{2} + 2x$ (en appliquant la règle $\frac{ax^{n+1}}{n+1}$ terme à terme).
2) $G(x) = 2\ln x - \cos x$ (primitive de $\frac{2}{x}$ est $2\ln x$ ; primitive de $\sin x$ est $-\cos x$).
3) Primitive de $e^{4x}$ est $\frac{e^{4x}}{4} + C$. Condition : $F(0) = \frac{1}{4} + C = 1 \Rightarrow C = \frac{3}{4}$. Donc $F(x) = \frac{e^{4x}}{4} + \frac{3}{4}$.

Exercice 2 — Calcul d'intégrales
Corrigé :
1) $\Big[\frac{x^4}{4} - x^2\Big]_0^2 = (4 - 4) - 0 = 0$.
2) $\Big[3\ln x - e^x\Big]_1^e = (3 - e^e) - (0 - e) = 3 - e^e + e$. (Valeur exacte : $3 + e - e^e$.)
3) $\Big[\sin x\Big]_0^{\pi/3} = \sin(\pi/3) - \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Exercice 3 — Propriétés de l'intégrale et relation de Chasles
Corrigé :
1) Par Chasles : $\int_0^6 f = \int_0^4 f + \int_4^6 f$, donc $\int_0^4 f = 15 - 5 = 10$.
2) Sur $[0;1]$, $0 \leq x \leq 1$ donc $x^3 \leq x^2$. Par croissance de l'intégrale : $\int_0^1 x^3\,dx \leq \int_0^1 x^2\,dx$.
3) Pour $f$ paire : $\int_{-2}^2 f = 2\int_0^2 f = 2 \times 7 = 14$.

Exercice 4 — Aire entre deux courbes
Corrigé :
1) $f(x) - g(x) = x + 2 - x^2 = -(x^2 - x - 2) = -(x-2)(x+1)$. Sur $[0;2]$, $(x-2) \leq 0$ et $(x+1) \geq 0$, donc $-(x-2)(x+1) \geq 0$ : $f \geq g$.
2) $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 (f-g)\,dx = \int_0^2 (x+2-x^2)\,dx = \Big[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\Big]_0^2 = (2+4-\frac{8}{3}) - 0 = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$ unités d'aire.

Exercice 5 — Problème de modélisation
Corrigé :
a) $\displaystyle\int_0^4 (-t^2+4t)\,dt = \Big[-\frac{t^3}{3}+2t^2\Big]_0^4 = (-\frac{64}{3}+32) - 0 = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$ m.
b) $v(t) = -t^2+4t = t(4-t)$. Sur $[0;4]$, $t \geq 0$ et $4-t \geq 0$, donc $v(t) \geq 0$. Le véhicule avance toujours, et l'intégrale représente directement la distance parcourue : $\frac{32}{3}$ m.

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