← Retour aux ressources
Maths complémentaires (option Tle) · Classe de Terminale

Fonction exponentielle

Définition, propriétés algébriques et applications de la fonction exponentielle (programme Maths complémentaires Terminale)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Fonction exponentielle » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths complémentaires (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Rappels et motivation : la croissance exponentielle, Définition et caractérisation de la fonction exponentielle, Propriétés algébriques de l'exponentielle, Dérivée de la fonction exponentielle et applications. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths complémentaires (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Calcul algébrique et propriétés

/ 4 pts
  1. Simplifier les expressions suivantes :
    (a) $A = e^{3x+2} \times e^{1-x}$
    (b) $B = \dfrac{(e^x)^4}{e^{2x+3}}$
    (c) $C = e^{2x} \times e^{-x} \times e^{3}$

Exercice 2 — Dérivées

/ 5 pts
  1. Calculer la dérivée de chaque fonction :
    (a) $f(x) = e^{5x-2}$
    (b) $g(x) = x^2 e^x$
    (c) $h(x) = \dfrac{e^x}{2x+1}$ (pour $x \neq -1/2$)
    (d) $k(x) = e^{\cos x}$

Exercice 3 — Équations et inéquations

/ 4 pts
  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
    (a) $e^{3x-2} = e^{x+4}$
    (b) $e^{2x} - 7e^x + 6 = 0$
    (c) $e^{x-1} \leq e^{2x}$

Exercice 4 — Étude complète d'une fonction

/ 5 pts
  1. Soit $f(x) = (2x+1)e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$.
  2. 1. Calculer $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.
  3. 2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
  4. 3. Donner le maximum de $f$ (valeur exacte et abscisse).

Exercice 5 — Problème de modélisation

/ 2 pts
  1. La concentration en médicament dans le sang est modélisée par $C(t) = 8te^{-0{,}5t}$ (en mg/L, $t$ en heures, $t \geq 0$).
  2. 1. Déterminer l'heure à laquelle la concentration est maximale.
  3. 2. Calculer la concentration maximale (valeur exacte).
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Calcul algébrique et propriétés
Corrigé :
(a) $A = e^{(3x+2)+(1-x)} = e^{2x+3}$.
(b) $B = \dfrac{e^{4x}}{e^{2x+3}} = e^{4x-(2x+3)} = e^{2x-3}$.
(c) $C = e^{2x+(-x)+3} = e^{x+3}$.

Exercice 2 — Dérivées
Corrigé :
(a) $f'(x) = 5e^{5x-2}$.
(b) Produit : $g'(x) = 2xe^x + x^2 e^x = x(x+2)e^x$.
(c) Quotient : $h'(x) = \dfrac{e^x(2x+1) - 2e^x}{(2x+1)^2} = \dfrac{(2x-1)e^x}{(2x+1)^2}$.
(d) $k'(x) = -\sin x \cdot e^{\cos x}$.

Exercice 3 — Équations et inéquations
Corrigé :
(a) Par injectivité : $3x - 2 = x + 4 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$.
(b) Posons $X = e^x > 0$ : $X^2 - 7X + 6 = 0 \Rightarrow (X-1)(X-6) = 0$.
$X = 1 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ ; $X = 6 \Rightarrow e^x = 6 \Rightarrow x = \ln 6$.
(c) Par croissance de $e^x$ : $x - 1 \leq 2x \Rightarrow -1 \leq x$, soit $x \geq -1$. Ensemble solution : $[-1 ; +\infty[$.

Exercice 4 — Étude complète d'une fonction
Corrigé :
1. Produit : $f'(x) = 2e^{-x} + (2x+1)(-e^{-x}) = e^{-x}[2 - (2x+1)] = (1-2x)e^{-x}$.
$e^{-x} > 0$ toujours. $f'(x) > 0 \iff 1-2x > 0 \iff x < 1/2$.
$f$ est croissante sur $]-\infty ; 1/2]$, décroissante sur $[1/2 ; +\infty[$.
2. En $-\infty$ : $e^{-x} \to +\infty$ et $(2x+1) \to -\infty$. Forme $(-\infty) \times (+\infty)$. On écrit $f(x) = \frac{2x+1}{e^x} \to 0^-$... En fait $(2x+1)e^{-x}$ : quand $x \to -\infty$, $e^{-x} \to +\infty$ et $2x+1 \to -\infty$, donc $f(x) \to -\infty$.
En $+\infty$ : $(2x+1) \to +\infty$ mais $e^{-x} \to 0$ et l'exponentielle l'emporte : $f(x) \to 0^+$.
3. Maximum en $x = 1/2$ : $f(1/2) = 2 \cdot e^{-1/2} = 2e^{-1/2} = \dfrac{2}{\sqrt{e}}$.

Exercice 5 — Problème de modélisation
Corrigé :
1. $C'(t) = 8e^{-0{,}5t} + 8t \cdot (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = 8e^{-0{,}5t}(1 - 0{,}5t)$.
$C'(t) = 0 \iff 1 - 0{,}5t = 0 \iff t = 2$.
La concentration est maximale à $t = 2$ heures.
2. $C(2) = 8 \times 2 \times e^{-1} = 16e^{-1} = \dfrac{16}{e} \approx 5{,}89$ mg/L.

→Continuer ce chapitre
📖 Cours ✏️ Exercices 🧩 Problèmes ❓ QCM
↔Autres chapitres
← Convexité Primitives et intégration →
Bloqué sur ce chapitre ?

Cours particuliers de maths complémentaires (option tle) à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.

Réserver un 1er cours → Voir les tarifs