Fonction logarithme népérien

1. a)D’après les propriétés de l’exponentielle, ${\left(e^x\right)}^3=e^{3x}$, puis ${\displaystyle \frac{e^{3x}}{e^{x+2}}}=e^{3x-(x+2)}$ $=e^{2x-2}$. Donc $a=2$ et $b=-2$. (1)
2. b)$200=2^3\times 5^2$. Par les propriétés du produit et de la puissance : $\ln 200=\ln \left(2^3\right)+\ln \left(5^2\right)$ $=3\ln 2+2\ln 5$. (1)
3. c)$\ln \left(e^2\right)=2$, donc $3\ln \left(e^2\right)=6$. ${\displaystyle \frac{1}{e}}=e^{-1}$, donc $\ln {\displaystyle \frac{1}{e}}=-1$. Ainsi $A=6-(-1)=7$. (1)
4. d)$2\ln 3=\ln \left(3^2\right)=\ln 9$. Donc $B=\ln 9-\ln 6+\ln 4=\ln {\displaystyle \frac{9\times 4}{6}}$ $=\ln {\displaystyle \frac{36}{6}}=\ln 6$ : $k=6$. (1)

Repère — Produit ↔ somme, quotient ↔ différence, puissance ↔ coefficient : les mêmes règles valent pour exp et ln, dans les deux sens.

1. a)L’équation a un sens si $3x>0$, soit $x>0$. Alors $\ln (3x)=4⟺3x=e^4⟺x={\displaystyle \frac{e^4}{3}}$, qui est bien strictement positif. $𝒮=\left\{{\displaystyle \frac{e^4}{3}}\right\}$, avec ${\displaystyle \frac{e^4}{3}}\approx 18,20$. (1)
2. b)$0,45>0$, donc $e^{-0,5x}=0,45⟺-0,5x=\ln 0,45⟺x=-2\ln 0,45$. $𝒮=\{-2\ln 0,45\}$, avec $-2\ln 0,45\approx 1,597$ (positif, car $\ln 0,45<0$). (1)
3. c)Conditions : $2x-1>0$ et $x+6>0$, soit $x>{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Sur $]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty [$, $\ln$ étant strictement croissante : $\ln (2x-1)=\ln (x+6)⟺2x-1=x+6⟺x=7$. Comme $7>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $𝒮=\{7\}$. (1)
4. d)$\ln A=-1$ équivaut à $A=e^{-1}$, et non à $A=-e^{-1}$ : l’élève a mis le signe « $-$ » devant l’exponentielle au lieu de le laisser dans l’exposant. Son résultat est d’ailleurs impossible : $3-{\displaystyle \frac{1}{e}}<3$, et $\ln (x-3)$ n’existe pas pour $x<3$. Correction : condition $x>3$ ; $\ln (x-3)=-1⟺x-3=e^{-1}⟺x=3+e^{-1}$, qui vérifie $x>3$. $𝒮=\{3+e^{-1}\}$, avec $3+e^{-1}\approx 3,368$. (1)

Repère — Une équation avec ln commence toujours par ses conditions d’existence, et se termine par le tri des solutions.

1. a)L’inéquation a un sens pour $x>0$. La fonction exponentielle étant strictement croissante, $\ln x>-0,5⟺x>e^{-0,5}$, et alors $x>0$ est automatique. $𝒮=]e^{-0,5};+\infty [$, avec $e^{-0,5}\approx 0,607$. (1)
2. b)Conditions : $4-x>0$ et $2x+1>0$, soit $-{\displaystyle \frac{1}{2}}<x<4$. Sur cet intervalle, $\ln$ est strictement croissante : $\ln (4-x)⩾\ln (2x+1)⟺4-x⩾2x+1⟺3⩾3x⟺x⩽1$. En tenant compte des conditions : $𝒮=]-{\displaystyle \frac{1}{2}};1]$. (1)
3. c)La fonction $\ln$ est strictement croissante : $1,{015}^n>1,2⟺n\ln 1,015>\ln 1,2$. Comme $1,015>1$, $\ln 1,015>0$ : on divise sans changer le sens, $n>{\displaystyle \frac{\ln 1,2}{\ln 1,015}}$, avec ${\displaystyle \frac{\ln 1,2}{\ln 1,015}}\approx 12,25$. Le plus petit entier est $n=13$. (1)
4. d)$0,{93}^n⩽0,25⟺n\ln 0,93⩽\ln 0,25$. Comme $0<0,93<1$, $\ln 0,93<0$ : en divisant, le sens change, $n⩾{\displaystyle \frac{\ln 0,25}{\ln 0,93}}$, avec ${\displaystyle \frac{\ln 0,25}{\ln 0,93}}\approx 19,10$. Le plus petit entier est $n=20$ (contrôle : $0,{93}^{19}\approx 0,252$ et $0,{93}^{20}\approx 0,234$). (1)

Repère — Avant de diviser par ln q, on regarde son signe : négatif dès que 0 < q < 1.

1. a)$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln x=-\infty$, donc $\underset{x\to 0^{+}}{lim}4\ln x=-\infty$ ; et $\underset{x\to 0^{+}}{lim}(-x)=0$. Par somme, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=-\infty$. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et $f\prime (x)=4\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-1={\displaystyle \frac{4-x}{x}}$. (1)
2. b)Pour $x>0$, le dénominateur est positif : $f\prime (x)$ a le signe de $4-x$, positif sur $]0;4[$, nul en $4$, négatif sur $]4;+\infty [$. Donc $f$ est strictement croissante sur $]0;4]$ et strictement décroissante sur $[4;+\infty [$.

   $x$	$0$		$4$		$+\infty$
   $f\prime (x)$		$+$	$0$	$-$
   $f$	$-\infty$	↗	$8\ln 2-4$	↘

   (1)
3. c)Le maximum est atteint en $x=4$ : $f(4)=4\ln 4-4=4\ln \left(2^2\right)-4$ $=8\ln 2-4$. Valeur approchée : $8\ln 2-4\approx 1,545$. (1)
4. d)$f(1)=4\ln 1-1=-1$ et $f\prime (1)={\displaystyle \frac{4-1}{1}}=3$. La tangente a pour équation $y=f\prime (1)(x-1)+f(1)$ $=3(x-1)-1$, soit $y=3x-4$. (1)

Repère — Avec (ln x)′ = 1/x, on met la dérivée au même dénominateur x : sur ]0 ; +∞[, seul le numérateur décide du signe.

1. a)$p(5730)={\displaystyle \frac{1}{2}}⟺e^{-5730\lambda }={\displaystyle \frac{1}{2}}⟺-5730\lambda =\ln {\displaystyle \frac{1}{2}}=-\ln 2$ $⟺\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{5730}}$. Valeur approchée : $\lambda \approx 0,000121$, soit environ $1,21\times {10}^{-4}$ par an. (1)
2. b)$p(2000)=e^{-2000\lambda }$ avec $2000\lambda ={\displaystyle \frac{2000\ln 2}{5730}}\approx 0,242$. Donc $p(2000)\approx e^{-0,242}\approx 0,785$ : il reste environ $78,5\%$ du carbone 14 initial. (1)
3. c)On résout $p(t)=0,37$ : $e^{-\lambda t}=0,37⟺-\lambda t=\ln 0,37⟺t=-{\displaystyle \frac{\ln 0,37}{\lambda }}$ $=-{\displaystyle \frac{5730\ln 0,37}{\ln 2}}$. Or $-{\displaystyle \frac{5730\ln 0,37}{\ln 2}}\approx 8219$ : l’os a environ $8219$ ans. (1)
4. d)Pour tout entier $n$ : $p(5730n)=e^{-5730n\lambda }=e^{-n\ln 2}={\left(e^{-\ln 2}\right)}^n$ $={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$. Puis ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n<0,01⟺-n\ln 2<\ln 0,01=-\ln 100$ $⟺n>{\displaystyle \frac{\ln 100}{\ln 2}}$, avec ${\displaystyle \frac{\ln 100}{\ln 2}}\approx 6,64$. Il faut $7$ demi-vies, soit $7\times 5730=40110$ ans. (1)

Repère — Pour une décroissance exponentielle e^(−λt), la demi-vie vaut ln 2 / λ, quel que soit l’instant de départ.