Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Fonction exponentielle
Définition, propriétés algébriques et applications de la fonction exponentielle (programme Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Calcul algébrique et propriétés
/ 4 pts- Simplifier les expressions suivantes :
(a) $A = e^{3x+2} \times e^{1-x}$
(b) $B = \dfrac{(e^x)^4}{e^{2x+3}}$
(c) $C = e^{2x} \times e^{-x} \times e^{3}$
Exercice 2 — Dérivées
/ 5 pts- Calculer la dérivée de chaque fonction :
(a) $f(x) = e^{5x-2}$
(b) $g(x) = x^2 e^x$
(c) $h(x) = \dfrac{e^x}{2x+1}$ (pour $x \neq -1/2$)
(d) $k(x) = e^{\cos x}$
Exercice 3 — Équations et inéquations
/ 4 pts- Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
(a) $e^{3x-2} = e^{x+4}$
(b) $e^{2x} - 7e^x + 6 = 0$
(c) $e^{x-1} \leq e^{2x}$
Exercice 4 — Étude complète d'une fonction
/ 5 pts- Soit $f(x) = (2x+1)e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$.
- 1. Calculer $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.
- 2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
- 3. Donner le maximum de $f$ (valeur exacte et abscisse).
Exercice 5 — Problème de modélisation
/ 2 pts- La concentration en médicament dans le sang est modélisée par $C(t) = 8te^{-0{,}5t}$ (en mg/L, $t$ en heures, $t \geq 0$).
- 1. Déterminer l'heure à laquelle la concentration est maximale.
- 2. Calculer la concentration maximale (valeur exacte).
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Calcul algébrique et propriétés
Corrigé :
(a) $A = e^{(3x+2)+(1-x)} = e^{2x+3}$.
(b) $B = \dfrac{e^{4x}}{e^{2x+3}} = e^{4x-(2x+3)} = e^{2x-3}$.
(c) $C = e^{2x+(-x)+3} = e^{x+3}$.
Exercice 2 — Dérivées
Corrigé :
(a) $f'(x) = 5e^{5x-2}$.
(b) Produit : $g'(x) = 2xe^x + x^2 e^x = x(x+2)e^x$.
(c) Quotient : $h'(x) = \dfrac{e^x(2x+1) - 2e^x}{(2x+1)^2} = \dfrac{(2x-1)e^x}{(2x+1)^2}$.
(d) $k'(x) = -\sin x \cdot e^{\cos x}$.
Exercice 3 — Équations et inéquations
Corrigé :
(a) Par injectivité : $3x - 2 = x + 4 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$.
(b) Posons $X = e^x \gt 0$ : $X^2 - 7X + 6 = 0 \Rightarrow (X-1)(X-6) = 0$.
$X = 1 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ ; $X = 6 \Rightarrow e^x = 6 \Rightarrow x = \ln 6$.
(c) Par croissance de $e^x$ : $x - 1 \leq 2x \Rightarrow -1 \leq x$, soit $x \geq -1$. Ensemble solution : $[-1 ; +\infty[$.
Exercice 4 — Étude complète d'une fonction
Corrigé :
1. Produit : $f'(x) = 2e^{-x} + (2x+1)(-e^{-x}) = e^{-x}[2 - (2x+1)] = (1-2x)e^{-x}$.
$e^{-x} \gt 0$ toujours. $f'(x) \gt 0 \iff 1-2x \gt 0 \iff x \lt 1/2$.
$f$ est croissante sur $]-\infty ; 1/2]$, décroissante sur $[1/2 ; +\infty[$.
2. En $-\infty$ : $e^{-x} \to +\infty$ et $(2x+1) \to -\infty$. Forme $(-\infty) \times (+\infty)$. On écrit $f(x) = \frac{2x+1}{e^x} \to 0^-$... En fait $(2x+1)e^{-x}$ : quand $x \to -\infty$, $e^{-x} \to +\infty$ et $2x+1 \to -\infty$, donc $f(x) \to -\infty$.
En $+\infty$ : $(2x+1) \to +\infty$ mais $e^{-x} \to 0$ et l'exponentielle l'emporte : $f(x) \to 0^+$.
3. Maximum en $x = 1/2$ : $f(1/2) = 2 \cdot e^{-1/2} = 2e^{-1/2} = \dfrac{2}{\sqrt{e}}$.
Exercice 5 — Problème de modélisation
Corrigé :
1. $C'(t) = 8e^{-0{,}5t} + 8t \cdot (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = 8e^{-0{,}5t}(1 - 0{,}5t)$.
$C'(t) = 0 \iff 1 - 0{,}5t = 0 \iff t = 2$.
La concentration est maximale à $t = 2$ heures.
2. $C(2) = 8 \times 2 \times e^{-1} = 16e^{-1} = \dfrac{16}{e} \approx 5{,}89$ mg/L.
Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Fonction exponentielle » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Calcul algébrique et propriétés/ 4 pts
- Exercice 2 — Dérivées/ 5 pts
- Exercice 3 — Équations et inéquations/ 4 pts
- Exercice 4 — Étude complète d'une fonction/ 5 pts
- Exercice 5 — Problème de modélisation/ 2 pts
Notions évaluées
Rappels et motivation : la croissance exponentielle, Définition et caractérisation de la fonction exponentielle, Propriétés algébriques de l'exponentielle, Dérivée de la fonction exponentielle et applications, Variations et représentation graphique, Limites et comparaison avec les fonctions puissance.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Fonction exponentielle » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Fonction exponentielle » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit Rappels et motivation : la croissance exponentielle, Définition et caractérisation de la fonction exponentielle, Propriétés algébriques de l'exponentielle, Dérivée de la fonction exponentielle et applications.
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