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Mouvement : vitesse et vecteur vitesse
Vitesse moyenne et vitesse instantanée, vitesse instantanée sur une chronophotographie, vecteur vitesse (point d’application, direction, sens, valeur à l’échelle), nature d’un mouvement d’après ses vecteurs vitesse, graphiques distance-temps et vitesse-temps.
À propos de cette page
Vitesse moyenne et vitesse instantanée
Sur l’autoroute, le compteur d’une voiture affiche 130 km/h ; à l’arrivée, le GPS annonce une vitesse moyenne de 95 km/h. Les deux nombres sont justes : ils ne mesurent pas la même chose.
• La vitesse moyenne résume tout un trajet, ou tout un tronçon : elle ne dit pas comment la vitesse a varié pendant le parcours.
• La vitesse instantanée est la vitesse à un instant précis : c’est celle qu’indique un compteur, ou que mesure un radar fixe au passage d’un véhicule.
• Pour approcher la vitesse instantanée, on calcule une vitesse moyenne sur une durée très courte autour de cet instant : plus la durée est courte, meilleure est l’approximation.
• Pendant un trajet, la vitesse instantanée est tantôt plus grande, tantôt plus petite que la vitesse moyenne ; elle lui reste égale à chaque instant seulement si le mouvement est uniforme.
Deux radars, deux vitesses
| Appareil | Ce qu’il mesure | Vitesse obtenue |
|---|---|---|
| compteur de la voiture | la vitesse à chaque instant | instantanée |
| radar fixe | la vitesse au moment où le véhicule passe devant lui | instantanée |
| radar tronçon | la durée mise pour parcourir plusieurs kilomètres entre deux points de contrôle | moyenne sur le tronçon |
Une voiture parcourt un tronçon de 4,5 km en 2 min 30 s, soit 150 s = 150 ÷ 3 600 h. Le radar tronçon calcule v = 4,5 × 3 600 ÷ 150 = 108 km/h. Il ne voit que cette moyenne : même si le compteur a affiché 120 km/h pendant quelques secondes, la vitesse moyenne reste inférieure à une limite de 110 km/h.
Vitesse moyenne. Un cycliste fait une boucle de 45 km en 2 h 30 min : 45 ÷ 2,5 = 18 km/h de moyenne. Dans les descentes, son compteur dépasse 18 km/h ; dans les montées, il descend en dessous.
Approcher une vitesse instantanée. Au passage d’une ligne, une skieuse parcourt les 10 m suivants en 0,4 s : sa vitesse instantanée à cet endroit vaut environ 10 ÷ 0,4 = 25 m/s, soit 25 × 3,6 = 90 km/h.
Laquelle ? Le chauffeur d’un bus lit 40 km/h sur son compteur : vitesse instantanée. La ligne fait 12 km en 45 min, soit 0,75 h : 12 ÷ 0,75 = 16 km/h de vitesse moyenne, arrêts compris.
Réflexe — je me demande si l’on mesure la vitesse à un instant (instantanée : compteur, radar fixe) ou si l’on divise une distance par une durée (moyenne : radar tronçon, trajet entier).
Attention — une vitesse moyenne inférieure à la limite ne prouve pas que la limite n’a jamais été dépassée : à certains instants, la vitesse instantanée a pu être plus grande.
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Calculer une vitesse instantanée sur une chronophotographie
Sur une chronophotographie, il n’y a pas de compteur à lire : on calcule la vitesse instantanée à partir des positions voisines.
• Avec un stroboscope de fréquence f (en hertz, Hz : nombre d’éclairs par seconde) ou une caméra qui prend f images par seconde : τ = 1 ÷ f. Par exemple, 25 Hz donnent τ = 1 ÷ 25 = 0,04 s.
• La vitesse instantanée en Mn s’approche par la vitesse moyenne entre les deux positions voisines Mn−1 et Mn+1, séparées par 2τ : v(Mn) ≈ Mn−1Mn+1 ÷ (2τ).
• On convertit avant de diviser : la distance en mètres, la durée en secondes ; la vitesse est alors en m/s.
• En comparant les vitesses instantanées en plusieurs positions, on sait si le mouvement est uniforme, accéléré ou ralenti.
Un mobile autoporteur sur une table inclinée
Un stroboscope de fréquence 25 Hz éclaire un mobile qui descend une table inclinée : τ = 0,04 s. On lit ses positions sur la règle.
| Position | Positions voisines | Distance | Durée | Vitesse instantanée |
|---|---|---|---|---|
| M2 | M1 à 2 cm, M3 à 9 cm | 7 cm = 0,07 m | 2 × 0,04 = 0,08 s | 0,07 ÷ 0,08 = 0,875 m/s |
| M4 | M3 à 9 cm, M5 à 20 cm | 11 cm = 0,11 m | 0,08 s | 0,11 ÷ 0,08 = 1,375 m/s |
La vitesse instantanée passe de 0,875 m/s en M2 à 1,375 m/s en M4 : le mouvement du mobile est rectiligne accéléré.
Durée entre deux voisines. Une caméra prend 10 images par seconde : τ = 1 ÷ 10 = 0,1 s ; entre M3 et M5, il s’écoule 2τ = 0,2 s.
Avec des millimètres et des millisecondes. τ = 20 ms = 0,02 s et M6M8 = 30 mm = 0,03 m : v(M7) ≈ 0,03 ÷ 0,04 = 0,75 m/s.
Retrouver une distance. Si v(M2) = 1,5 m/s et τ = 0,1 s, alors M1M3 ≈ 1,5 × 0,2 = 0,3 m, soit 30 cm.
Réflexe — je trouve τ = 1 ÷ f, je mesure la distance entre les deux voisines de la position, je convertis en m et en s, puis je divise par 2τ.
Attention — entre Mn−1 et Mn+1, il s’écoule 2τ : diviser par τ donne une vitesse deux fois trop grande.
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Le vecteur vitesse : point d’application, direction, sens, valeur
Dire « 8 m/s » ne suffit pas à décrire un mouvement : vers où ? En 4ᵉ, on a décrit la vitesse par sa direction, son sens et sa valeur ; en 3ᵉ, on rassemble ces informations dans une flèche : le vecteur vitesse.
– son point d’application : la position de l’objet à cet instant (la flèche part de ce point) ;
– sa direction : la tangente à la trajectoire en ce point (la droite qui suit la trajectoire au plus près en ce point ; pour un cercle, la perpendiculaire au rayon ; sur une trajectoire rectiligne, la trajectoire elle-même) ;
– son sens : celui du mouvement ;
– sa valeur : la vitesse instantanée, représentée par la longueur de la flèche grâce à une échelle.
• Longueur de la flèche = valeur ÷ échelle ; valeur = longueur × échelle. Une échelle s’écrit par exemple « 1 cm ↔ 5 m/s ».
• Une vitesse en km/h se convertit en m/s (÷ 3,6) avant d’utiliser une échelle en m/s.
Tracer un vecteur vitesse
Un objet M tourne sur un cercle dans le sens indiqué par les pointes, à 8 m/s. Échelle : 1 carreau ↔ 2 m/s.
| Caractéristique | Pour l’objet M |
|---|---|
| point d’application | le point M |
| direction | la tangente au cercle en M : horizontale, en haut du cercle |
| sens | celui du mouvement : vers la droite |
| longueur | 8 ÷ 2 = 4 carreaux |
Une longueur. Un vélo roule à 10 m/s ; échelle 1 cm ↔ 4 m/s : flèche de 10 ÷ 4 = 2,5 cm, dans le prolongement de la route, vers l’avant.
Convertir d’abord. Une moto roule à 72 km/h, soit 72 ÷ 3,6 = 20 m/s ; échelle 1 cm ↔ 5 m/s : flèche de 20 ÷ 5 = 4 cm.
Lire une flèche. Échelle 1 cm ↔ 3 m/s ; une flèche de 4,5 cm représente 4,5 × 3 = 13,5 m/s.
Réflexe — je place la flèche sur l’objet, le long de la tangente, dans le sens du mouvement, et je calcule sa longueur : valeur en m/s ÷ échelle.
Attention — une vitesse en km/h utilisée telle quelle avec une échelle en m/s donne une flèche 3,6 fois trop longue.
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Vecteurs vitesse et nature du mouvement
Sur une chronophotographie, on peut tracer le vecteur vitesse en plusieurs positions. La suite de ces flèches raconte le mouvement.
• Rectiligne uniforme : toutes les flèches sont identiques (même direction, même sens, même longueur) : le vecteur vitesse est constant.
• Rectiligne accéléré : même direction et même sens, flèches de plus en plus longues ; rectiligne ralenti : flèches de plus en plus courtes.
• Circulaire uniforme : flèches de même longueur, tangentes au cercle : leur direction tourne, le vecteur vitesse change.
• Le vecteur vitesse est constant seulement si le mouvement est rectiligne uniforme : une valeur constante ne suffit pas, la direction et le sens doivent aussi rester les mêmes.
Ce que montrent les flèches
| Mouvement | Vecteurs vitesse successifs | Exemple |
|---|---|---|
| rectiligne uniforme | identiques | un bateau-mouche qui avance en ligne droite à vitesse constante |
| rectiligne accéléré | même direction et même sens, de plus en plus longs | une fusée qui décolle à la verticale |
| rectiligne ralenti | même direction et même sens, de plus en plus courts | une moto qui freine en ligne droite avant un feu rouge |
| circulaire uniforme | même longueur, direction qui tourne | la pointe de l’aiguille des minutes d’une horloge |
Même valeur, vecteur différent. Une voiture fait le tour d’un rond-point à 8 m/s constants : la valeur ne change pas, mais la flèche tourne avec la route : le vecteur vitesse n’est pas constant.
Direction et sens. Deux mobiles ont des flèches de même longueur, l’une vers le nord, l’autre vers le sud : même direction (la droite nord-sud) et même valeur, mais sens contraires.
Des flèches qui raccourcissent. Une balle de ping-pong roule tout droit sur la table en ralentissant : flèches de même direction et de même sens, de plus en plus courtes : mouvement rectiligne ralenti.
Réflexe — je regarde la trajectoire (droite ou cercle), puis la longueur des flèches (la même, de plus en plus grande, de plus en plus petite).
Attention — « uniforme » ne parle que de la valeur : en mouvement circulaire uniforme, le vecteur vitesse change, car sa direction tourne.
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Lire un graphique distance-temps ou vitesse-temps
Un capteur ou une application peut enregistrer un mouvement sous forme de graphique. Deux graphiques sont courants : la distance parcourue en fonction du temps, et la vitesse en fonction du temps.
• Sur une phase uniforme, vitesse = distance parcourue pendant la phase ÷ durée de la phase. Une courbe de plus en plus raide indique un mouvement accéléré, de moins en moins raide un mouvement ralenti.
• Graphique vitesse-temps : on lit directement la vitesse instantanée à chaque instant. Un palier horizontal indique un mouvement uniforme (un arrêt s’il est à 0), une montée un mouvement accéléré, une descente un mouvement ralenti.
• Sur un graphique distance-temps, la vitesse moyenne de tout l’enregistrement vaut la distance finale ÷ la durée totale, arrêts compris.
La sortie d’une joggeuse (distance-temps)
Phase A : 180 m en 60 s, v = 180 ÷ 60 = 3 m/s. Phase B : palier, la joggeuse est arrêtée 30 s à un feu. Phase C : de 180 m à 420 m entre 90 s et 150 s, soit 240 m en 60 s : v = 4 m/s. La droite C est plus raide que la droite A.
Un tramway entre deux stations (vitesse-temps)
Phase A : la vitesse passe de 0 à 8 m/s, mouvement accéléré. Phase B : palier à 8 m/s pendant 30 s, mouvement uniforme. Phase C : la vitesse retombe à 0, mouvement ralenti jusqu’à l’arrêt en station.
Lire une vitesse. Sur le graphique du tramway, à t = 25 s, on lit 8 m/s, soit 8 × 3,6 = 28,8 km/h.
Vitesse moyenne. La joggeuse parcourt 420 m en 150 s, arrêt compris : 420 ÷ 150 = 2,8 m/s.
Comparer deux phases. Phase A à 3 m/s et phase C à 4 m/s : sur le graphique distance-temps, la plus raide est la plus rapide.
Réflexe — je regarde d’abord l’axe vertical : distance ou vitesse ? Puis je décris chaque phase.
Attention — un palier horizontal veut dire « arrêt » sur un graphique distance-temps, mais « vitesse constante » sur un graphique vitesse-temps.
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Pour aller plus loin
Déjà vu en 4ᵉ. Les référentiels (terrestre, géocentrique, héliocentrique), la vitesse qui dépend du référentiel, la vitesse moyenne d’un trajet en plusieurs étapes, d = v × t et les conversions : voir le chapitre « Mouvement : référentiel, vitesse et chronophotographie ».
Pourquoi le vecteur vitesse change-t-il ? Un vecteur vitesse qui change de valeur ou de direction signale des actions qui ne se compensent pas : voir « Forces : modéliser une action et prévoir le mouvement ». La distance de freinage, liée à l’énergie cinétique, est étudiée dans « Énergie mécanique : cinétique, de position et conservation ».
- Vitesse moyenne = distance ÷ durée, sur tout un trajet ou un tronçon (radar tronçon) ; vitesse instantanée = vitesse à un instant précis (compteur, radar fixe).
- Chronophotographie : τ = 1 ÷ f ; v(Mn) ≈ Mn−1Mn+1 ÷ (2τ), avec la distance en m et la durée en s.
- Vecteur vitesse : point d’application = l’objet ; direction = tangente à la trajectoire ; sens = celui du mouvement ; longueur = valeur ÷ échelle.
- Flèches identiques : rectiligne uniforme (vecteur constant) ; qui s’allongent ou raccourcissent : accéléré ou ralenti ; même longueur et direction qui tourne : circulaire uniforme.
- Distance-temps : droite = uniforme, palier = arrêt ; vitesse-temps : palier = uniforme, montée = accéléré, descente = ralenti.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre vitesse moyenne et vitesse instantanée ?
La vitesse moyenne résume un trajet entier : distance parcourue ÷ durée. La vitesse instantanée est la vitesse à un instant précis, celle qu’indique un compteur ou que mesure un radar fixe. Un radar tronçon, lui, calcule une vitesse moyenne entre deux points de contrôle.
Comment calculer une vitesse instantanée sur une chronophotographie ?
On calcule τ = 1 ÷ f, on mesure la distance entre les deux positions voisines de la position étudiée, on la convertit en mètres, puis on la divise par 2τ, la durée qui sépare ces deux voisines. Par exemple, 7 cm entre M₁ et M₃ avec τ = 0,04 s donnent 0,07 ÷ 0,08 = 0,875 m/s en M₂.
Quelles sont les caractéristiques du vecteur vitesse ?
Le vecteur vitesse est une flèche qui part de la position de l’objet (point d’application), suit la tangente à la trajectoire (direction), pointe dans le sens du mouvement (sens) et dont la longueur représente la valeur de la vitesse à l’aide d’une échelle.
Comment reconnaître la nature d’un mouvement avec les vecteurs vitesse ?
Des flèches toutes identiques : mouvement rectiligne uniforme. Même direction et flèches qui s’allongent : rectiligne accéléré ; qui raccourcissent : rectiligne ralenti. Flèches de même longueur dont la direction tourne : circulaire uniforme, et le vecteur vitesse n’est alors pas constant.
Comment lire un graphique distance-temps ou vitesse-temps ?
Sur un graphique distance-temps, une droite qui monte indique un mouvement uniforme, d’autant plus rapide qu’elle est raide, et un palier horizontal un arrêt. Sur un graphique vitesse-temps, on lit la vitesse à chaque instant : un palier signifie une vitesse constante, une montée un mouvement accéléré, une descente un mouvement ralenti.
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