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Mathématiques · Classe de 2ⁿᵈᵉ

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu — applications aux calculs de longueurs et d'angles (programme de 2nde générale)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Trigonométrie dans le triangle rectangle » en seconde permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de seconde et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Le triangle rectangle et ses éléments, Cosinus d'un angle aigu, Sinus d'un angle aigu, Tangente d'un angle aigu. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde en mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 50 min · Noté sur 20
50:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Rapports trigonométriques dans un triangle 3-4-5

/ 4 pts
  1. Dans le triangle ABC rectangle en C, on donne AC = 3 cm, BC = 4 cm et AB = 5 cm.
  2. a) Calculer cos(Â), sin(Â) et tan(Â). Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.
  3. b) En déduire la valeur de l'angle  en degrés (arrondi à l'unité).
  4. c) Vérifier que cos²(Â) + sin²(Â) = 1.

Exercice 2 — Calcul de longueurs

/ 5 pts
  1. Dans le triangle PQR rectangle en R, on donne P̂ = 38° et PQ = 18 cm.
  2. a) Calculer la longueur PR (côté adjacent à P̂), arrondie au dixième de cm.
  3. b) Calculer la longueur QR (côté opposé à P̂), arrondie au dixième de cm.
  4. c) Vérifier le résultat en utilisant le théorème de Pythagore (arrondi au dixième).

Exercice 3 — Calcul d'angle et situation géométrique

/ 4 pts
  1. Un poteau téléphonique vertical AB (B au sol) est maintenu par un câble de 12 m allant du sommet A à un point C sur le sol, à 7 m du pied B (BC = 7 m).
  2. a) Calculer la hauteur AB du poteau, arrondie au dixième de mètre.
  3. b) Calculer l'angle ACB que fait le câble avec le sol, arrondi à l'unité.

Exercice 4 — Utilisation de la relation fondamentale

/ 4 pts
  1. On sait que sin(α) = 7/25 avec α un angle aigu.
  2. a) Calculer cos(α). Donner la réponse sous forme de fraction irréductible.
  3. b) Calculer tan(α). Donner la réponse sous forme de fraction irréductible.
  4. c) On considère maintenant un triangle rectangle en C tel que sin(Â) = 7/25. Donner les longueurs des trois côtés si AB = 25 cm.

Exercice 5 — Problème ouvert — visée d'un phare

/ 3 pts
  1. Un bateau B se trouve en mer. Il observe le sommet S d'un phare avec un angle d'élévation de 12°. La hauteur du phare est PS = 45 m (P = pied du phare au niveau de la mer). Le bateau est au même niveau que la mer.
  2. a) Représenter la situation par un schéma légendé.
  3. b) Calculer la distance BP du bateau au phare, arrondie au mètre.
  4. c) Calculer la distance BS (bateau au sommet du phare), arrondie au mètre.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Rapports trigonométriques dans un triangle 3-4-5
a) AC est adjacent à Â, BC est opposé à Â, AB est l'hypoténuse.
• cos(Â) = AC/AB = 3/5
• sin(Â) = BC/AB = 4/5
• tan(Â) = BC/AC = 4/3

b) cos(Â) = 3/5 = 0,6 ⟹ Â = cos⁻¹(0,6) ≈ 53°

c) cos²(Â) + sin²(Â) = (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1 ✓

Exercice 2 — Calcul de longueurs
a) cos(38°) = PR/PQ ⟹ PR = PQ × cos(38°) = 18 × 0,7880 ≈ 14,2 cm

b) sin(38°) = QR/PQ ⟹ QR = PQ × sin(38°) = 18 × 0,6157 ≈ 11,1 cm

c) PR² + QR² = 14,2² + 11,1² = 201,64 + 123,21 = 324,85 ≈ 18² = 324 cm² ✓ (légère différence due aux arrondis)

Exercice 3 — Calcul d'angle et situation géométrique
a) Le triangle ABC est rectangle en B (poteau vertical, sol horizontal).
AB² = AC² − BC² = 144 − 49 = 95
AB = √95 ≈ 9,7 m

b) cos(ACB) = BC/AC = 7/12 ≈ 0,5833
ACB = cos⁻¹(0,5833) ≈ 54°
Ou par la tangente : tan(ACB) = AB/BC = √95/7 ≈ 9,747/7 ≈ 1,393 ⟹ ACB ≈ 54°

Exercice 4 — Utilisation de la relation fondamentale
a) cos²(α) = 1 − sin²(α) = 1 − 49/625 = 576/625
cos(α) = 24/25 (α aigu donc cosinus positif)

b) tan(α) = sin(α)/cos(α) = (7/25)/(24/25) = 7/24

c) AB est l'hypoténuse : AB = 25 cm.
sin(Â) = BC/AB = 7/25 ⟹ BC = 7 cm
cos(Â) = AC/AB = 24/25 ⟹ AC = 24 cm
Vérification : 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² ✓

Exercice 5 — Problème ouvert — visée d'un phare
a) Schéma : triangle rectangle BPS rectangle en P. B sur la mer, P pied du phare, S sommet. Angle en B = 12°.

b) tan(12°) = PS/BP ⟹ BP = PS/tan(12°) = 45/tan(12°) ≈ 45/0,2126 ≈ 212 m

c) sin(12°) = PS/BS ⟹ BS = PS/sin(12°) = 45/0,2079 ≈ 216 m
Ou par Pythagore : BS² = BP² + PS² ≈ 212² + 45² = 44944 + 2025 = 46969 ⟹ BS ≈ 217 m

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