Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu — applications aux calculs de longueurs et d'angles (programme de 2nde générale)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Rapports trigonométriques dans un triangle 3-4-5
/ 4 ptsDans le triangle ABC rectangle en C, on donne AC = 3 cm, BC = 4 cm et AB = 5 cm.
- Calculer cos(Â), sin(Â) et tan(Â). Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.
- En déduire la valeur de l'angle  en degrés (arrondi à l'unité).
- Vérifier que cos²(Â) + sin²(Â) = 1.
Exercice 2 — Calcul de longueurs
/ 5 ptsDans le triangle PQR rectangle en R, on donne P̂ = 38° et PQ = 18 cm.
- Calculer la longueur PR (côté adjacent à P̂), arrondie au dixième de cm.
- Calculer la longueur QR (côté opposé à P̂), arrondie au dixième de cm.
- Vérifier le résultat en utilisant le théorème de Pythagore (arrondi au dixième).
Exercice 3 — Calcul d'angle et situation géométrique
/ 4 ptsUn poteau téléphonique vertical AB (B au sol) est maintenu par un câble de 12 m allant du sommet A à un point C sur le sol, à 7 m du pied B (BC = 7 m).
- Calculer la hauteur AB du poteau, arrondie au dixième de mètre.
- Calculer l'angle ACB que fait le câble avec le sol, arrondi à l'unité.
Exercice 4 — Utilisation de la relation fondamentale
/ 4 ptsOn sait que sin(α) = 7/25 avec α un angle aigu.
- Calculer cos(α). Donner la réponse sous forme de fraction irréductible.
- Calculer tan(α). Donner la réponse sous forme de fraction irréductible.
- On considère maintenant un triangle rectangle en C tel que sin(Â) = 7/25. Donner les longueurs des trois côtés si AB = 25 cm.
Exercice 5 — Problème ouvert — visée d'un phare
/ 3 ptsUn bateau B se trouve en mer. Il observe le sommet S d'un phare avec un angle d'élévation de 12°. La hauteur du phare est PS = 45 m (P = pied du phare au niveau de la mer). Le bateau est au même niveau que la mer.
- Représenter la situation par un schéma légendé.
- Calculer la distance BP du bateau au phare, arrondie au mètre.
- Calculer la distance BS (bateau au sommet du phare), arrondie au mètre.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Rapports trigonométriques dans un triangle 3-4-5
a) AC est adjacent à Â, BC est opposé à Â, AB est l'hypoténuse.
• cos(Â) = AC/AB = 3/5
• sin(Â) = BC/AB = 4/5
• tan(Â) = BC/AC = 4/3
b) cos(Â) = 3/5 = 0,6 ⟹ Â = cos⁻¹(0,6) ≈ 53°
c) cos²(Â) + sin²(Â) = (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1 ✓
Exercice 2 — Calcul de longueurs
a) cos(38°) = PR/PQ ⟹ PR = PQ × cos(38°) = 18 × 0,7880 ≈ 14,2 cm
b) sin(38°) = QR/PQ ⟹ QR = PQ × sin(38°) = 18 × 0,6157 ≈ 11,1 cm
c) PR² + QR² = 14,2² + 11,1² = 201,64 + 123,21 = 324,85 ≈ 18² = 324 cm² ✓ (légère différence due aux arrondis)
Exercice 3 — Calcul d'angle et situation géométrique
a) Le triangle ABC est rectangle en B (poteau vertical, sol horizontal).
AB² = AC² − BC² = 144 − 49 = 95
AB = √95 ≈ 9,7 m
b) cos(ACB) = BC/AC = 7/12 ≈ 0,5833
ACB = cos⁻¹(0,5833) ≈ 54°
Ou par la tangente : tan(ACB) = AB/BC = √95/7 ≈ 9,747/7 ≈ 1,393 ⟹ ACB ≈ 54°
Exercice 4 — Utilisation de la relation fondamentale
a) cos²(α) = 1 − sin²(α) = 1 − 49/625 = 576/625
cos(α) = 24/25 (α aigu donc cosinus positif)
b) tan(α) = sin(α)/cos(α) = (7/25)/(24/25) = 7/24
c) AB est l'hypoténuse : AB = 25 cm.
sin(Â) = BC/AB = 7/25 ⟹ BC = 7 cm
cos(Â) = AC/AB = 24/25 ⟹ AC = 24 cm
Vérification : 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² ✓
Exercice 5 — Problème ouvert — visée d'un phare
a) Schéma : triangle rectangle BPS rectangle en P. B sur la mer, P pied du phare, S sommet. Angle en B = 12°.
b) tan(12°) = PS/BP ⟹ BP = PS/tan(12°) = 45/tan(12°) ≈ 45/0,2126 ≈ 212 m
c) sin(12°) = PS/BS ⟹ BS = PS/sin(12°) = 45/0,2079 ≈ 216 m
Ou par Pythagore : BS² = BP² + PS² ≈ 212² + 45² = 44944 + 2025 = 46969 ⟹ BS ≈ 217 m
Ce contrôle de mathématiques 2ⁿᵈᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Trigonométrie dans le triangle rectangle » : 5 exercices, 50 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Rapports trigonométriques dans un triangle 3-4-5/ 4 pts
- Exercice 2 — Calcul de longueurs/ 5 pts
- Exercice 3 — Calcul d'angle et situation géométrique/ 4 pts
- Exercice 4 — Utilisation de la relation fondamentale/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème ouvert — visée d'un phare/ 3 pts
Notions évaluées
Le triangle rectangle et ses éléments, Cosinus d'un angle aigu, Sinus d'un angle aigu, Tangente d'un angle aigu, Tableau des valeurs remarquables, Calculer une longueur inconnue.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 50 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Trigonométrie dans le triangle rectangle » ?
- 50 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 50 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Trigonométrie dans le triangle rectangle » du programme officiel de mathématiques en seconde, soit Le triangle rectangle et ses éléments, Cosinus d'un angle aigu, Sinus d'un angle aigu, Tangente d'un angle aigu.
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