Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques
Géométrie dans l'espace
Solides usuels, sections planes et calculs de volumes — programme de 2nde générale
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Combien d'arêtes possède un cube ?
- A. 6
- B. 8
- C. 12
- D. 4
Réponse
C. 12 — Un cube a 12 arêtes (4 par face, 3 groupes de 4 arêtes parallèles).
Quelle est la formule du volume d'un cylindre de rayon r et hauteur h ?
- A. V = 2πrh
- B. V = πr²h
- C. V = (1/3)πr²h
- D. V = 4πr³/3
Réponse
B. V = πr²h — Le volume du cylindre est π r² h (aire du disque × hauteur).
Un cube de côté 3 cm a pour volume :
- A. 9 cm³
- B. 18 cm³
- C. 27 cm³
- D. 81 cm³
Réponse
C. 27 cm³ — V = 3³ = 27 cm³.
La génératrice d'un cône, c'est :
- A. le rayon
- B. la hauteur
- C. le segment joignant le sommet à un point du cercle de base
- D. la cirférence de la base
Réponse
C. le segment joignant le sommet à un point du cercle de base — La génératrice relie le sommet (apex) à un point quelconque du cercle de base.
Combien de faces planes possède un cylindre ?
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 3
Réponse
C. 2 — Un cylindre a 2 faces planes (les deux disques) et une face courbe.
Le volume d'une pyramide est égal à :
- A. A_base × h
- B. (1/2) × A_base × h
- C. (1/3) × A_base × h
- D. (2/3) × A_base × h
Réponse
C. (1/3) × A_base × h — V = (1/3) × A_base × h. Le facteur 1/3 distingue la pyramide du prisme correspondant.
Une sphère de rayon R a pour aire totale :
- A. 2πR²
- B. πR²
- C. 4πR²
- D. (4/3)πR³
Réponse
C. 4πR² — L'aire de la sphère est 4πR².
Combien de sommets a une pyramide à base carrée ?
- A. 4
- B. 5
- C. 6
- D. 8
Réponse
B. 5 — Elle a 4 sommets à la base + 1 sommet (apex) = 5 sommets.
La diagonale de l'espace d'un cube de côté a vaut :
- A. a√2
- B. a√3
- C. 2a
- D. a√6
Réponse
B. a√3 — d = √(a² + a² + a²) = a√3.
Une pyramide à base triangulaire (tétraèdre) a combien de faces ?
- A. 3
- B. 4
- C. 5
- D. 6
Réponse
B. 4 — Un tétraèdre a 4 faces triangulaires (base + 3 faces latérales).
Le volume d'une sphère de rayon 1 cm vaut :
- A. π cm³
- B. (4/3)π cm³
- C. 4π cm³
- D. (2/3)π cm³
Réponse
B. (4/3)π cm³ — V = (4/3)π × 1³ = (4/3)π cm³.
La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe est :
- A. un rectangle
- B. un cercle
- C. une ellipse
- D. un triangle
Réponse
B. un cercle — Un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre donne un disque (cercle).
Niveau moyen — 12 questions
Un pavé droit mesure 5 cm × 4 cm × 3 cm. Sa diagonale de l'espace vaut :
- A. √50 cm
- B. √41 cm
- C. 5√2 cm
- D. √60 cm
Réponse
A. √50 cm — d = √(25 + 16 + 9) = √50 = 5√2 cm.
Une pyramide à base carrée de côté 6 cm et hauteur 9 cm a pour volume :
- A. 162 cm³
- B. 108 cm³
- C. 54 cm³
- D. 324 cm³
Réponse
B. 108 cm³ — V = (1/3) × 36 × 9 = 108 cm³.
Un cône de rayon 4 cm et hauteur 3 cm. Sa génératrice vaut :
- A. 5 cm
- B. 7 cm
- C. √7 cm
- D. 4 cm
Réponse
A. 5 cm — l = √(16 + 9) = √25 = 5 cm.
Une pyramide de hauteur 12 cm est coupée par un plan parallèle à la base à 4 cm du sommet. Le rapport des côtés de la section et de la base vaut :
- A. 1/4
- B. 1/3
- C. 1/2
- D. 2/3
Réponse
B. 1/3 — Le rapport est k = 4/12 = 1/3.
L'aire totale d'un cube de côté 5 cm vaut :
- A. 25 cm²
- B. 100 cm²
- C. 125 cm²
- D. 150 cm²
Réponse
D. 150 cm² — A = 6 × 5² = 6 × 25 = 150 cm².
Un cylindre a un rayon de 2 cm et une aire latérale de 40π cm². Sa hauteur vaut :
- A. 5 cm
- B. 10 cm
- C. 20 cm
- D. 40 cm
Réponse
B. 10 cm — A_lat = 2πrh ⟹ 40π = 2π × 2 × h ⟹ h = 10 cm.
Un cône de rayon 6 cm et génératrice 10 cm. Sa hauteur vaut :
- A. 4 cm
- B. 6 cm
- C. 8 cm
- D. 12 cm
Réponse
C. 8 cm — h = √(l² - r²) = √(100 - 36) = √64 = 8 cm.
Volume d'une sphère de rayon 3 cm (en terme de π) :
- A. 12π cm³
- B. 24π cm³
- C. 36π cm³
- D. 48π cm³
Réponse
C. 36π cm³ — V = (4/3)π × 27 = 36π cm³.
La section d'un cône par un plan parallèle à la base est :
- A. un triangle
- B. un rectangle
- C. un disque
- D. une ellipse
Réponse
C. un disque — Tout plan parallèle à la base d'un cône donne un disque (cercle).
Un prisme droit à base triangulaire de côtés 3, 4, 5 cm (triangle rectangle) et de hauteur 10 cm a pour volume :
- A. 60 cm³
- B. 120 cm³
- C. 30 cm³
- D. 600 cm³
Réponse
A. 60 cm³ — Aire base = (1/2) × 3 × 4 = 6 cm². V = 6 × 10 = 60 cm³.
L'aire latérale d'un cône de rayon 5 cm et génératrice 13 cm vaut :
- A. 65π cm²
- B. 13π cm²
- C. 5π cm²
- D. 130π cm²
Réponse
A. 65π cm² — A_lat = πrl = π × 5 × 13 = 65π cm².
Un pavé droit a une diagonale de l'espace de 5√2 cm et mesure 3 cm × 4 cm × h. Quelle est la hauteur h ?
- A. 3 cm
- B. 4 cm
- C. 5 cm
- D. √43 cm
Réponse
C. 5 cm — (5√2)² = 9 + 16 + h² ⟹ 50 = 25 + h² ⟹ h² = 25 ⟹ h = 5 cm.
Niveau difficile — 13 questions
Deux sphères ont des rayons de ratio 1:2. Quel est le ratio de leurs volumes ?
- A. 1:2
- B. 1:4
- C. 1:6
- D. 1:8
Réponse
D. 1:8 — Les volumes varient comme le cube des rayons : (1/2)³ = 1/8, donc le ratio est 1:8.
Une pyramide est coupée à mi-hauteur par un plan parallèle à la base. Le rapport du volume de la petite pyramide au volume total vaut :
- A. 1/2
- B. 1/4
- C. 1/8
- D. 1/3
Réponse
C. 1/8 — Le rapport des volumes = k³ = (1/2)³ = 1/8 (similitude de rapport 1/2).
Une sphère de rayon R est inscrite dans un cylindre droit (touches les bases et la surface latérale). Le rapport V_sphère / V_cylindre vaut :
- A. 1/2
- B. 2/3
- C. π/4
- D. 1/3
Réponse
B. 2/3 — V_sphère = (4/3)πR³ ; V_cylindre = πR² × 2R = 2πR³. Rapport = (4/3)πR³ / (2πR³) = 2/3.
Un cône est fondu et recast en une sphère de même rayon r. Si le cône avait hauteur h, la hauteur de la sphère de rayon R est (donne R en terme de r et h) :
- A. R = (3h)^(1/3) × r^(2/3)/4^(1/3)
- B. R = (h/4)^(1/3) × r^(2/3)
- C. R = ∛(r²h/4)
- D. R = r√(h/4)
Réponse
C. R = ∛(r²h/4) — V_cône = (1/3)πr²h = (4/3)πR³ ⟹ R³ = r²h/4 ⟹ R = ∛(r²h/4).
Le volume du tronc de pyramide (entre une coupe à k = 1/2 et la base) en fraction du volume total est :
- A. 1/2
- B. 3/4
- C. 7/8
- D. 6/8
Réponse
C. 7/8 — La petite pyramide prend 1/8 du volume total. Le tronc = 1 - 1/8 = 7/8.
Un cube de côté a contient une sphère inscrite (rayon a/2). L'espace libre entre le cube et la sphère représente quelle fraction du volume du cube ?
- A. 1 - π/4
- B. 1 - π/6
- C. 1 - π/3
- D. (6 - π)/6
Réponse
B. 1 - π/6 — V_sphère = (4/3)π(a/2)³ = πa³/6. Fraction libre = 1 - (πa³/6)/a³ = 1 - π/6.
Un cône et un cylindre ont le même rayon et la même hauteur. Le volume du cône vaut quelle fraction du volume du cylindre ?
- A. 1/2
- B. 1/3
- C. 2/3
- D. 1/4
Réponse
B. 1/3 — V_cône = (1/3)πr²h = (1/3) V_cylindre.
La section d'une sphère de rayon R par un plan à distance d du centre (d < R) est un disque de rayon :
- A. √(R² - d²)
- B. √(R² + d²)
- C. R - d
- D. √(2Rd)
Réponse
A. √(R² - d²) — Par Pythagore dans le triangle formé par le rayon, la distance d et le rayon de la section : r_section = √(R² - d²).
Deux cylindres ont le même volume. Le premier a rayon r₁ et hauteur h₁ = 4 cm. Le second a rayon r₂ = 2r₁ et hauteur h₂ = ?
- A. h₂ = 1 cm
- B. h₂ = 2 cm
- C. h₂ = 8 cm
- D. h₂ = 16 cm
Réponse
A. h₂ = 1 cm — πr₁²×4 = π(2r₁)²×h₂ ⟹ 4r₁² = 4r₁²×h₂ ⟹ h₂ = 1 cm.
Formule d'Euler : pour un octaèdre régulier (8 faces triangulaires, 6 sommets), le nombre d'arêtes est :
- A. 10
- B. 12
- C. 14
- D. 16
Réponse
B. 12 — S - A + F = 2 ⟹ 6 - A + 8 = 2 ⟹ A = 12.
Une pyramide à base carrée de côté 6 cm et hauteur 4 cm est posée sur une table. L'apothème (hauteur d'une face latérale) vaut :
- A. 4 cm
- B. 5 cm
- C. √13 cm
- D. √52 cm
Réponse
B. 5 cm — L'apothème = √(h² + (a/2)²) = √(16 + 9) = √25 = 5 cm.
Un solide a 12 sommets, 30 arêtes. Combien de faces possède-t-il selon Euler ?
- A. 18
- B. 20
- C. 22
- D. 24
Réponse
B. 20 — S - A + F = 2 ⟹ 12 - 30 + F = 2 ⟹ F = 20. C'est un icosaèdre.
Si on double le rayon d'une sphère, son volume est multiplié par :
- A. 2
- B. 4
- C. 6
- D. 8
Réponse
D. 8 — V ∝ R³, donc si R double, V est multiplié par 2³ = 8.
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