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Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Géométrie dans l'espace

Solides usuels, sections planes et calculs de volumes — programme de 2nde générale

À propos de cette page
Ce devoir surveillé sur « Géométrie dans l'espace » en seconde permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de seconde et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Vocabulaire et représentation des solides, Le cube et le pavé droit, La pyramide et le cône de révolution, Le cylindre de révolution et la sphère. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde en mathématiques.
Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 55 min · Noté sur 20
55:00

Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Devoir surveillé · Mathématiques
Géométrie dans l'espace
Classe de 2ⁿᵈᵉ
Durée : 55 min
Barème : / 20 points
Nom : ……………………………………………
Prénom : ……………………………………………

Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Formule d'Euler et éléments d'un solide

/ 3 pts
  1. Énumère les sommets, arêtes et faces d'une pyramide à base carrée ABCDS.
  2. Vérifie la formule d'Euler pour ce solide.
  3. Une pyramide à base pentagonale (5 côtés) possède combien d'arêtes ? Justifie avec Euler.

Exercice 2 — Volume et aire d'un cône

/ 5 pts
  1. Un cône a un rayon de base r = 5 cm et une hauteur h = 12 cm.
  2. Calcule la longueur de la génératrice l.
  3. Calcule le volume du cône. Donne la réponse en terme de π puis une valeur approchée (π ≈ 3,14).
  4. Calcule l'aire totale du cône (base + surface latérale). Donne la réponse en terme de π.

Exercice 3 — Sections d'une pyramide

/ 4 pts
  1. Une pyramide à base carrée ABCDS a une base de côté a = 10 cm et une hauteur SO = 15 cm (O centre de la base).
  2. Un plan (P) parallèle à la base ABCD passe par un point à 5 cm du sommet S.
  3. Détermine le rapport de similitude k entre la section et la base.
  4. Calcule le côté et l'aire de la section.
  5. Calcule le volume de la petite pyramide au-dessus de (P) et le volume du tronc en dessous.

Exercice 4 — Comparaison de volumes

/ 4 pts
  1. Un fabricant produit deux récipients de même hauteur h = 9 cm :
  2. — Récipient A : cylindre de rayon r = 3 cm.
  3. — Récipient B : cône de rayon r = 3 cm.
  4. 1. Calcule les volumes de A et B en terme de π.
  5. 2. Quelle fraction du récipient A représente le récipient B ?
  6. 3. Un troisième récipient C est une sphère de même volume que A. Calcule son rayon (arrondi au mm).

Exercice 5 — Problème ouvert — Objet de design

/ 4 pts
  1. Un designer crée un objet décoratif composé d'un cylindre de rayon 4 cm et hauteur 6 cm, surmonté d'une demi-sphère de même rayon.
  2. 1. Calcule le volume total de l'objet en terme de π.
  3. 2. L'objet est creux : l'épaisseur de la paroi est négligeable. On remplit l'objet d'eau. En litres (1 L = 1000 cm³), combien de litres contient-il (arrondi au centième, π ≈ 3,14) ?
  4. 3. Calcule l'aire extérieure de l'objet (fond du cylindre + surface latérale du cylindre + demi-sphère), en terme de π.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie

Exercice 1 — Formule d'Euler et éléments d'un solide
Corrigé :
1. Pyramide à base carrée ABCDS : S = 5 sommets (A, B, C, D, S), A = 8 arêtes (4 de la base + 4 latérales), F = 5 faces (1 carré + 4 triangles).
2. Vérification : S − A + F = 5 − 8 + 5 = 2. ✓
3. Pyramide à base pentagonale : F = 6 (1 pentagone + 5 triangles), S = 6 (5 base + 1 sommet). Euler : 6 − A + 6 = 2 ⟹ A = 10 arêtes.

Exercice 2 — Volume et aire d'un cône
Corrigé :
Génératrice : l = √(r² + h²) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm.
Volume : V = (1/3)πr²h = (1/3) × π × 25 × 12 = 100π ≈ 314 cm³.
Aire latérale : Alat = πrl = π × 5 × 13 = 65π cm².
Aire base : Abase = πr² = 25π cm².
Aire totale : A = 65π + 25π = 90π cm² ≈ 282,6 cm².

Exercice 3 — Sections d'une pyramide
Corrigé :
Rapport : k = 5/15 = 1/3.
Côté de la section : 10 × (1/3) = 10/3 ≈ 3,33 cm.
Aire de la section : (10/3)² = 100/9 ≈ 11,1 cm².
Volume total : V = (1/3) × 100 × 15 = 500 cm³.
Volume petite pyramide : Vpetite = k³ × V = (1/3)³ × 500 = 500/27 ≈ 18,5 cm³.
Volume tronc : Vtronc = 500 − 500/27 = 500 × (26/27) ≈ 481,5 cm³.

Exercice 4 — Comparaison de volumes
Corrigé :
1. VA = π × 9 × 9 = 81π cm³. VB = (1/3) × π × 9 × 9 = 27π cm³.
2. VB / VA = 27π / 81π = 1/3. Le cône représente un tiers du cylindre.
3. (4/3)πR³ = 81π ⟹ R³ = 81 × 3/4 = 243/4 = 60,75 ⟹ R = ∛60,75 ≈ 3,93 cm ≈ 3,9 cm.

Exercice 5 — Problème ouvert — Objet de design
Corrigé :
1. Vcylindre = π × 16 × 6 = 96π cm³.
Vdemi-sphère = (1/2) × (4/3)π × 64 = 128π/3 cm³.
Vtotal = 96π + 128π/3 = (288π + 128π)/3 = 416π/3 cm³.
2. V ≈ 416 × 3,14 / 3 ≈ 1306,24 / 3 ≈ 435,4 cm³ ≈ 0,44 L.
3. Fond : πr² = 16π. Latéral cylindre : 2πrh = 2π × 4 × 6 = 48π. Demi-sphère : (1/2) × 4πr² = 2πr² = 32π.
Aire totale = 16π + 48π + 32π = 96π cm² ≈ 301,4 cm².

Ce contrôle de mathématiques 2ⁿᵈᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Géométrie dans l'espace » : 5 exercices, 55 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.

  • Exercice 1 — Formule d'Euler et éléments d'un solide/ 3 pts
  • Exercice 2 — Volume et aire d'un cône/ 5 pts
  • Exercice 3 — Sections d'une pyramide/ 4 pts
  • Exercice 4 — Comparaison de volumes/ 4 pts
  • Exercice 5 — Problème ouvert — Objet de design/ 4 pts

Notions évaluées

Vocabulaire et représentation des solides, Le cube et le pavé droit, La pyramide et le cône de révolution, Le cylindre de révolution et la sphère, Sections planes d'un solide, Volumes des solides usuels.

Pour préparer ce contrôle

  1. Relire le cours.
  2. Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
  3. Se tester avec le QCM (37 questions).
  4. Faire ce sujet en conditions réelles — 55 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet
Combien de temps dure ce contrôle sur « Géométrie dans l'espace » ?
55 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?
Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?
Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Géométrie dans l'espace » du programme officiel de mathématiques en seconde, soit Vocabulaire et représentation des solides, Le cube et le pavé droit, La pyramide et le cône de révolution, Le cylindre de révolution et la sphère.
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