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Spécialité Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Produit scalaire

Définition, propriétés et applications géométriques — programme de Spécialité Mathématiques 1re (lycée général)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Produit scalaire » en première permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Définition géométrique du produit scalaire, Propriétés algébriques, Expression analytique en repère orthonormé, Formule du cosinus et calcul d'angle. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Calcul de produits scalaires

/ 4 pts
  1. On donne $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$. Calcule $\vec{u}\cdot\vec{v}$.
  2. Calcule $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.
  3. En déduire $\cos\theta$ (angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$), puis $\theta$ en degrés (arrondi à l'unité).

Exercice 2 — Orthogonalité et vecteur normal

/ 4 pts
  1. On donne les points $A(1,3)$, $B(5,1)$ et $C(3,7)$. Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
  2. Calcule $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
  3. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? En quel sommet ? Justifie.
  4. Donne un vecteur normal à la droite $(AB)$.

Exercice 3 — Théorème d'Al-Kashi

/ 5 pts
  1. Dans le triangle $RST$, $RS=7$, $ST=5$ et $\widehat{RST}=45°$. Calcule $RT^2$ puis $RT$ (arrondi au centième).
  2. En déduire la valeur de $\overrightarrow{SR}\cdot\overrightarrow{ST}$.
  3. L'angle $\widehat{RST}$ est-il aigu ou obtus ? Justifie avec le signe du produit scalaire.

Exercice 4 — Cercle et angle droit

/ 4 pts
  1. On donne $A(-3,0)$ et $B(3,0)$. Le point $M(x,y)$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$. Exprime la condition $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ sous forme d'une équation en $x$ et $y$.
  2. Vérifie que $M(0,3)$ est sur ce cercle.
  3. Quel est le rayon du cercle ? Quel est son centre ?

Exercice 5 — Problème de géométrie

/ 3 pts
  1. On donne les points $P(2,1)$, $Q(6,3)$, $R(4,7)$. Montre, en calculant les trois produits scalaires $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}$, $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}$ et $\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}$, que le triangle est rectangle, et précise en quel sommet.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Calcul de produits scalaires
Corrigé :
1. $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times3+(-1)\times4=6-4=2$. (1 pt)
2. $\|\vec{u}\|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ ; $\|\vec{v}\|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. (1 pt)
3. $\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{5}\times5}=\frac{2}{5\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{25}\approx0{,}179$. Donc $\theta\approx\arccos(0{,}179)\approx79°$. (2 pts)

Exercice 2 — Orthogonalité et vecteur normal
Corrigé :
1. $\overrightarrow{AB}=(4,-2)$ ; $\overrightarrow{AC}=(2,4)$. (1 pt)
2. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times2+(-2)\times4=8-8=0$. (1 pt)
3. Le produit scalaire est nul, donc $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$ : le triangle est rectangle en $A$. (1 pt)
4. Un vecteur normal à $(AB)$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{AB}=(4,-2)$. On peut prendre $\vec{n}(2,4)$ (ou tout multiple). Vérification : $4\times2+(-2)\times4=0$. (1 pt)

Exercice 3 — Théorème d'Al-Kashi
Corrigé :
1. $RT^2=RS^2+ST^2-2\cdot RS\cdot ST\cdot\cos 45°=49+25-2\times7\times5\times\frac{\sqrt{2}}{2}=74-35\sqrt{2}\approx74-49{,}50=24{,}50$. Donc $RT\approx\sqrt{24{,}50}\approx4{,}95$. (2 pts)
2. $\overrightarrow{SR}\cdot\overrightarrow{ST}=RS\cdot ST\cdot\cos 45°=7\times5\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{35\sqrt{2}}{2}\approx24{,}75$. (2 pts)
3. Le produit scalaire est positif ($>0$), donc $\cos 45°>0$, l'angle est aigu. (1 pt)

Exercice 4 — Cercle et angle droit
Corrigé :
1. $\overrightarrow{MA}=(-3-x,-y)$ et $\overrightarrow{MB}=(3-x,-y)$. Produit scalaire : $(-3-x)(3-x)+(-y)(-y)=0$, soit $(x+3)(x-3)+y^2=0 \Rightarrow x^2-9+y^2=0 \Rightarrow x^2+y^2=9$. (2 pts)
2. Pour $M(0,3)$ : $0^2+3^2=9$ ✓. (1 pt)
3. L'équation $x^2+y^2=9$ correspond à un cercle de centre $O(0,0)$ et de rayon $R=3$. (1 pt)

Exercice 5 — Problème de géométrie
Corrigé :
$\overrightarrow{PQ}=(4,2)$, $\overrightarrow{PR}=(2,6)$, $\overrightarrow{QR}=(-2,4)$.
$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=4\times2+2\times6=8+12=20\neq0$.
$\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=(-4)(-2)+(-2)(4)=8-8=0$ ✓.
Le produit scalaire en $Q$ est nul, donc le triangle est rectangle en $Q$. (3 pts)

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