← Retour aux ressources
Spécialité Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Géométrie dans le plan et le repère

Vecteurs, droites, cercles et transformations dans le plan cartésien — programme de Spécialité Maths 1re

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Géométrie dans le plan et le repère » en première permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Repère orthonormé du plan, Vecteurs et coordonnées, Équation d'une droite, Positions relatives de droites. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Distance, milieu et alignement

/ 4 pts
  1. Soient $A(-1, 2)$, $B(3, 5)$ et $C(7, 8)$. Calcule $AB$ et $BC$ (forme exacte simplifiée).
  2. Détermine le milieu $I$ de $[AC]$.
  3. Montre que $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Exercice 2 — Droites dans le repère

/ 5 pts
  1. Détermine l'équation réduite de la droite $(d_1)$ passant par $P(2, 1)$ et $Q(-1, 7)$.
  2. Détermine l'équation de la droite $(d_2)$ perpendiculaire à $(d_1)$ et passant par $P(2, 1)$.
  3. Calcule les coordonnées du point d'intersection de $(d_1)$ et $(d_2)$, et vérifie.

Exercice 3 — Cercle et appartenance

/ 5 pts
  1. On donne le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $x^2+y^2-6x+4y-3=0$. Détermine son centre $I$ et son rayon $r$ en complétant les carrés.
  2. Vérifie si le point $A(7, -2)$ appartient à $\mathcal{C}$.
  3. Écris l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ (si $A \in \mathcal{C}$). Indice : la tangente est perpendiculaire au rayon $[IA]$.

Exercice 4 — Transformations du plan

/ 4 pts
  1. Soit $T$ la translation de vecteur $\vec{t}(2,-3)$ et $S$ la symétrie centrale de centre $\Omega(1,1)$. Calcule l'image de $M(0,4)$ par $T$, notée $M'$.
  2. Calcule l'image de $M'$ par $S$, notée $M''$.
  3. Quel est le vecteur $\overrightarrow{MM''}$ ? Quelle transformation directe cela correspond-il ?

Exercice 5 — Vecteur directeur et équation de droite

/ 2 pts
  1. Donne un vecteur directeur et un vecteur normal de la droite $d : 5x - 2y + 4 = 0$.
  2. Écris l'équation de la droite passant par $A(0,3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(4,-1)$.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Distance, milieu et alignement
Corrigé :
1. $AB = \sqrt{(3-(-1))^2+(5-2)^2} = \sqrt{16+9} = 5$. $BC = \sqrt{(7-3)^2+(8-5)^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
2. $I = \left(\frac{-1+7}{2}, \frac{2+8}{2}\right) = (3, 5)$. On remarque que $I = B$, donc $B$ est le milieu de $[AC]$.
3. $\overrightarrow{AB}(4,3)$ et $\overrightarrow{AC}(8,6) = 2\overrightarrow{AB}$. Comme $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Exercice 2 — Droites dans le repère
Corrigé :
1. $m_1 = \frac{7-1}{-1-2} = \frac{6}{-3} = -2$. $p_1 = 1-(-2)(2) = 1+4 = 5$. Équation : $y = -2x+5$.
2. $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{1}{2}$. $p_2 = 1 - \frac{1}{2}(2) = 0$. Équation : $y = \frac{1}{2}x$.
3. Intersection : $(d_1)$ et $(d_2)$ se croisent en $P(2,1)$ (point commun par construction). Vérification : $y=-2(2)+5=1$ ✓ et $y=\frac{1}{2}(2)=1$ ✓.

Exercice 3 — Cercle et appartenance
Corrigé :
1. $(x-3)^2-9+(y+2)^2-4-3=0 \Rightarrow (x-3)^2+(y+2)^2=16$. Centre $I(3,-2)$, rayon $r=4$.
2. $(7-3)^2+(-2+2)^2=16+0=16$ ✓ donc $A(7,-2) \in \mathcal{C}$.
3. $\overrightarrow{IA}(4,0)$ est le vecteur normal à la tangente en $A$. La tangente passe par $A(7,-2)$ avec vecteur normal $(4,0)$ (i.e. horizontale) : $0(x-7)+4... $ Non : vecteur normal $(4,0)$ signifie que la tangente est verticale ! Équation : $x = 7$.

Exercice 4 — Transformations du plan
Corrigé :
1. $M'=(0+2, 4-3)=(2,1)$.
2. $M''=(2\times1-2, 2\times1-1)=(0, 1)$.
3. $\overrightarrow{MM''}=(0-0, 1-4)=(0,-3)$. C'est une translation de vecteur $(0,-3)$. (La composition d'une translation et d'une symétrie centrale est une symétrie centrale, mais ici on observe que $M \to M''$ correspond à la translation $(0,-3)$ — cela illustre la composition de transformations.)

Exercice 5 — Vecteur directeur et équation de droite
Corrigé :
1. Vecteur normal : $\vec{n}(5,-2)$. Vecteur directeur : $\vec{u}(2,5)$ (on permute et change un signe).
2. $4(x-0)+(-1)(y-3)=0 \Rightarrow 4x-y+3=0$ (ou $y=4x+3$ en forme réduite).

→Continuer ce chapitre
📖 Cours ✏️ Exercices 🧩 Problèmes ❓ QCM
↔Autres chapitres
← Produit scalaire Combinatoire et dénombrement →
Bloqué sur ce chapitre ?

Cours particuliers de spécialité mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.

Réserver un 1er cours → Voir les tarifs