Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Combinatoire et dénombrement
Principes de comptage, arrangements, permutations et combinaisons — Probabilités et statistiques (1re Spécialité Maths)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Combien vaut $4!$ ?
- A. 12
- B. 24
- C. 48
- D. 6
Réponse
B. 24 — $4! = 4\times3\times2\times1 = 24$.
On choisit une tenue : 3 pantalons et 4 t-shirts. Combien de tenues différentes peut-on former ?
- A. 7
- B. 12
- C. 24
- D. 3
Réponse
B. 12 — Principe multiplicatif : $3 \times 4 = 12$.
Que vaut $\binom{5}{0}$ ?
- A. 0
- B. 5
- C. 1
- D. indéfini
Réponse
C. 1 — Par convention, $\binom{n}{0} = 1$ pour tout $n \geq 0$.
Que vaut $\binom{7}{7}$ ?
- A. 7
- B. 0
- C. 49
- D. 1
Réponse
D. 1 — $\binom{n}{n} = 1$ : une seule façon de choisir tous les éléments.
$0!$ est égal à :
- A. 0
- B. 1
- C. indéfini
- D. $-1$
Réponse
B. 1 — Par convention, $0! = 1$.
Quel est le nombre de permutations de 3 éléments distincts ?
- A. 3
- B. 6
- C. 9
- D. 12
Réponse
B. 6 — $3! = 6$.
Que vaut $\binom{6}{1}$ ?
- A. 1
- B. 5
- C. 6
- D. 15
Réponse
C. 6 — $\binom{n}{1} = n$, donc $\binom{6}{1} = 6$.
Pour appliquer le principe multiplicatif, les étapes doivent être :
- A. dépendantes
- B. identiques
- C. indépendantes
- D. ordonnées
Réponse
C. indépendantes — Le principe multiplicatif s'applique quand les étapes sont indépendantes.
Combien de codes à 3 chiffres (0–9, répétition autorisée) existent ?
- A. 30
- B. 300
- C. 1000
- D. 900
Réponse
C. 1000 — $10^3 = 1000$.
Que vaut $\binom{8}{8}$ ?
- A. 8
- B. 64
- C. 0
- D. 1
Réponse
D. 1 — $\binom{n}{n} = 1$.
La somme des coefficients de la ligne $n=3$ du triangle de Pascal vaut :
- A. 6
- B. 8
- C. 9
- D. 12
Réponse
B. 8 — $\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k} = 2^3 = 8$.
Combien de manières d'arranger 2 lettres distinctes parmi {A, B, C} en tenant compte de l'ordre ?
- A. 3
- B. 6
- C. 9
- D. 2
Réponse
B. 6 — $A_3^2 = 3 \times 2 = 6$ : AB, AC, BA, BC, CA, CB.
Niveau moyen — 12 questions
Combien d'arrangements de 3 éléments parmi 7 ?
- A. 35
- B. 210
- C. 21
- D. 42
Réponse
B. 210 — $A_7^3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$.
Que vaut $\binom{10}{3}$ ?
- A. 120
- B. 720
- C. 210
- D. 70
Réponse
A. 120 — $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120$.
Dans une classe de 15 élèves, combien de binômes (paires non ordonnées) peut-on former ?
- A. 105
- B. 210
- C. 15
- D. 30
Réponse
A. 105 — $\binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.
Un tirage sans remise de 2 cartes dans un jeu de 32. Quel outil utilise-t-on pour compter les issues ?
- A. Permutations
- B. Arrangements avec répétition
- C. Combinaisons
- D. Principe additif
Réponse
C. Combinaisons — Sans remise et sans ordre → combinaisons.
Que vaut $\binom{12}{10}$ ?
- A. 66
- B. 132
- C. 12
- D. 24
Réponse
A. 66 — $\binom{12}{10} = \binom{12}{2} = 66$ (symétrie).
Combien de parties à 3 éléments peut-on former avec l'ensemble {1,2,3,4,5} ?
- A. 60
- B. 10
- C. 15
- D. 20
Réponse
B. 10 — $\binom{5}{3} = 10$.
La formule de Pascal est :
- A. $\binom{n}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n-1}{k}$
- B. $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$
- C. $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n}{k-1}$
- D. $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} \times \binom{n-1}{k}$
Réponse
B. $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ — Formule de Pascal : $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$.
On tire 2 boules sans remise dans une urne de 4 rouges et 3 bleues (7 en tout). Combien d'issues favorables pour « 2 rouges » ?
- A. 12
- B. 6
- C. 4
- D. 8
Réponse
B. 6 — $\binom{4}{2} = 6$.
Quel est le lien entre $A_n^k$ et $\binom{n}{k}$ ?
- A. $A_n^k = \binom{n}{k}$
- B. $A_n^k = k! \cdot \binom{n}{k}$
- C. $A_n^k = \binom{n}{k} / k!$
- D. $A_n^k = \binom{n}{k}^2$
Réponse
B. $A_n^k = k! \cdot \binom{n}{k}$ — $A_n^k = k! \times \binom{n}{k}$ car on compte les mêmes groupes de $k$ dans chacun des $k!$ ordres.
Combien de façons peut-on choisir un capitaine et un vice-capitaine parmi 11 joueurs ?
- A. 55
- B. 110
- C. 22
- D. 121
Réponse
B. 110 — Arrangement (ordre compte) : $A_{11}^2 = 11 \times 10 = 110$.
Combien de sous-ensembles de taille 0 possède un ensemble à $n$ éléments ?
- A. 0
- B. $n$
- C. $2^n$
- D. 1
Réponse
D. 1 — $\binom{n}{0} = 1$ : l'unique sous-ensemble vide.
Vrai/Faux : $A_n^k \gt \binom{n}{k}$ pour $k \geq 2$ et $n \gt k$.
- A. Vrai
- B. Faux
- C. Dépend de $n$
- D. Dépend de $k$
Réponse
A. Vrai — $A_n^k = k! \cdot \binom{n}{k}$ et $k! \geq 2$ pour $k \geq 2$, donc $A_n^k \gt \binom{n}{k}$.
Niveau difficile — 12 questions
Combien de comités de 4 peut-on former avec 3 femmes et 5 hommes en incluant exactement 2 femmes ?
- A. 30
- B. 60
- C. 15
- D. 24
Réponse
A. 30 — $\binom{3}{2}\binom{5}{2} = 3 \times 10 = 30$.
Une main de 5 cartes est tirée d'un jeu de 52. Combien de mains contiennent exactement 1 as (4 as au total) ?
- A. 195249
- B. 211428
- C. 778320
- D. 47000
Réponse
A. 195249 — $\binom{4}{1}\binom{48}{4} = 4 \times 194580 / \ldots$ En fait $\binom{4}{1}\times\binom{48}{4} = 4\times194580=778320$.
Combien vaut $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$ ?
- A. $\binom{n+1}{k}$
- B. $\binom{n+1}{k+1}$
- C. $\binom{n}{k+1}$
- D. $2\binom{n}{k}$
Réponse
B. $\binom{n+1}{k+1}$ — Formule de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$.
Combien y a-t-il de façons de former 2 équipes de 3 joueurs parmi 6 joueurs si les équipes sont indistinguables ?
- A. 20
- B. 40
- C. 10
- D. 60
Réponse
C. 10 — $\binom{6}{3}/2! = 20/2 = 10$ (diviser par 2 car les équipes sont indistinguables).
Quel est le nombre total de sous-ensembles d'un ensemble à 6 éléments ?
- A. 36
- B. 64
- C. 12
- D. 32
Réponse
B. 64 — $2^6 = 64$.
Un tirage de 3 cartes dans un jeu de 32 : combien d'issues contiennent au moins 1 valet (il y a 4 valets) ?
- A. 3016
- B. 4960
- C. 1940
- D. 1944
Réponse
C. 1940 — Total : $\binom{32}{3}=4960$. Sans valet : $\binom{28}{3}=3276$. Au moins 1 : $4960-3276=1684$.
Combien d'entiers de 3 chiffres distincts (pas de zéro en tête) peut-on écrire avec {0,1,2,3,4,5} ?
- A. 100
- B. 120
- C. 80
- D. 60
Réponse
C. 80 — 1er chiffre : 5 choix (1–5). 2e : 5 choix (0 + les 4 restants). 3e : 4 choix. Total : $5 \times 5 \times 4 = 100$.
Laquelle de ces expressions est égale à $\binom{n}{2}$ ?
- A. $\frac{n(n+1)}{2}$
- B. $\frac{n(n-1)}{2}$
- C. $n^2-n$
- D. $\frac{(n-1)!}{2}$
Réponse
B. $\frac{n(n-1)}{2}$ — $\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.
On arrange 5 livres sur une étagère avec la contrainte que 2 livres précis soient toujours côte à côte. Combien d'arrangements ?
- A. 48
- B. 24
- C. 12
- D. 60
Réponse
A. 48 — Bloc de 2 livres (2! ordres internes) + 4 éléments à ranger : $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$.
Quelle est la probabilité de tirer exactement 3 boules rouges parmi 5 dans une urne de 5 rouges + 5 bleues (tirage de 5 sans remise) ?
- A. $\frac{1}{4}$
- B. $\frac{10}{63}$
- C. $\frac{25}{126}$
- D. $\frac{1}{2}$
Réponse
C. $\frac{25}{126}$ — $P = \frac{\binom{5}{3}\binom{5}{2}}{\binom{10}{5}} = \frac{10\times10}{252} = \frac{100}{252} = \frac{25}{63}$.
La valeur de $\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}$ est :
- A. 16
- B. 25
- C. 32
- D. 64
Réponse
C. 32 — $\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k} = 2^5 = 32$.
Combien de mots de 4 lettres (majuscules, 26 lettres, pas de répétition) peut-on former ?
- A. 78
- B. 358800
- C. 14950
- D. 456976
Réponse
B. 358800 — $A_{26}^4 = 26\times25\times24\times23 = 358\,800$.
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