Combinatoire et dénombrement

Exercice 1 — Principe multiplicatif et factorielle
Corrigé :
1. $6! = 720$ ; $\frac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56$.
2. Principe multiplicatif : $5 \times 6 \times 4 = 120$ menus.
3. Code de 4 chiffres distincts parmi 10 : $A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ codes.

Exercice 2 — Arrangements et permutations
Corrigé :
1. $A_{12}^3 = 12 \times 11 \times 10 = 1320$ podiums.
2. $6! = 720$ façons.
3. $A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$. On part de 8, et on multiplie en descendant autant de fois qu'on prend d'éléments (3 fois).

Exercice 3 — Coefficient binomial et triangle de Pascal
Corrigé :
1. $\binom{9}{3} = \dfrac{9!}{3! \cdot 6!} = \dfrac{9 \times 8 \times 7}{6} = \dfrac{504}{6} = 84$.
2. $\binom{15}{13} = \binom{15}{2} = \dfrac{15 \times 14}{2} = 105$.
3. Ligne 5 : $1, 5, 10, 10, 5, 1$.
4. La propriété $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$ vient du fait que $2^n$ compte tous les sous-ensembles d'un ensemble à $n$ éléments, et $\binom{n}{k}$ compte ceux de taille $k$ ; les tailles sont de 0 à $n$, les cas sont disjoints et exhaustifs.

Exercice 4 — Application aux probabilités
Corrigé :
a) $N = \binom{7}{3} = 35$.
b) Triplets avec somme $\leq 8$ : {1,2,3}(6), {1,2,4}(7), {1,2,5}(8), {1,3,4}(8) → 4 triplets. $P = 4/35$.
c) Boules impaires : 1, 3, 5, 7 (4 boules). Nb de triplets d'impaires : $\binom{4}{3} = 4$. $P = 4/35$.

Exercice 5 — Problème de dénombrement
Corrigé :
a) $\binom{14}{4} = \dfrac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{24} = 1001$.
b) $\binom{8}{3} \times \binom{6}{1} = 56 \times 6 = 336$.
c) Au moins 2 garçons :
— 2G+2F : $\binom{6}{2}\binom{8}{2} = 15 \times 28 = 420$.
— 3G+1F : $\binom{6}{3}\binom{8}{1} = 20 \times 8 = 160$.
— 4G+0F : $\binom{6}{4} = 15$.
Total : $420+160+15 = 595$. $P = 595/1001 = 85/143$.