Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Statistiques : moyenne et écart-type
Indicateurs de position et de dispersion d'une série — programme de Mathématiques de 1re (sans spé)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Lecture d'un tableau d'effectifs
/ 4 pts- On relève le nombre de livres lus pendant l'année par $20$ élèves :
Nombre de livres $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ Effectif $2$ $3$ $5$ $6$ $3$ $1$ - 1. Vérifier que l'effectif total vaut bien $20$.
- 2. Calculer la fréquence (en %) des élèves ayant lu $3$ livres.
- 3. Calculer le nombre moyen de livres lus.
Exercice 2 — Médiane et quartiles
/ 5 pts- Les temps (en secondes) de $10$ nageurs sur $100$ m, triés, sont : $58,\ 61,\ 63,\ 64,\ 65,\ 67,\ 68,\ 70,\ 72,\ 80$.
- 1. Déterminer la médiane Me.
- 2. Déterminer $Q_1$ et $Q_3$.
- 3. Calculer l'étendue de la série.
- 4. Un nageur réalise $74$ s. Fait-il partie des plus lents (au-delà de $Q_3$) ? Justifier.
Exercice 3 — Moyenne, variance et écart-type
/ 5 pts- Les tailles (en cm) de $5$ élèves sont : $160,\ 165,\ 168,\ 170,\ 172$.
- 1. Calculer la moyenne $\bar{x}$.
- 2. Calculer la variance $V$ (arrondir au centième).
- 3. En déduire l'écart-type $\sigma$ (arrondir au centième).
- 4. Interpréter $\sigma$ dans le contexte.
Exercice 4 — Comparaison de deux séries
/ 3 pts- Deux vendeurs réalisent ces ventes journalières (en unités) sur une semaine :
Vendeur A : $\bar{x}_A = 20$ ; $\sigma_A = 2$.
Vendeur B : $\bar{x}_B = 20$ ; $\sigma_B = 7$. - 1. Comparer les ventes moyennes.
- 2. Quel vendeur est le plus régulier ? Justifier.
- 3. Pour un client qui veut un volume de ventes prévisible chaque jour, lequel choisir ?
Exercice 5 — Effet d'une transformation sur les indicateurs
/ 3 pts- Une série de notes sur $20$ a pour moyenne $\bar{x} = 11$ et pour écart-type $\sigma = 2$.
- 1. Le professeur ajoute $1$ point à chaque copie. Donner la nouvelle moyenne et le nouvel écart-type.
- 2. Pour passer les notes sur $40$, on multiplie chaque note par $2$. Donner la nouvelle moyenne et le nouvel écart-type.
- 3. Expliquer pourquoi ajouter une constante ne change pas l'écart-type.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Lecture d'un tableau d'effectifs
1. $2+3+5+6+3+1 = 20$. ✓
2. $f = \frac{6}{20} = 0{,}30 = \mathbf{30\,\%}$.
3. $\bar{x} = \frac{2\times0 + 3\times1 + 5\times2 + 6\times3 + 3\times4 + 1\times5}{20} = \frac{0+3+10+18+12+5}{20} = \frac{48}{20} = \mathbf{2{,}4}$ livres.
Exercice 2 — Médiane et quartiles
1. $N = 10$ pair, rangs $5$ et $6$ : Me $= \frac{65+67}{2} = \mathbf{66}$ s.
2. $\frac{N}{4} = 2{,}5 \to$ rang $3$ : $Q_1 = 63$ s. $\frac{3N}{4} = 7{,}5 \to$ rang $8$ : $Q_3 = 70$ s.
3. $e = 80 - 58 = \mathbf{22}$ s.
4. $74 \gt Q_3 = 70$, donc oui, ce nageur fait partie du quart le plus lent.
Exercice 3 — Moyenne, variance et écart-type
1. $\bar{x} = \frac{160+165+168+170+172}{5} = \frac{835}{5} = \mathbf{167}$ cm.
2. Écarts² : $(160-167)^2 = 49$ ; $(165-167)^2 = 4$ ; $(168-167)^2 = 1$ ; $(170-167)^2 = 9$ ; $(172-167)^2 = 25$. $V = \frac{49+4+1+9+25}{5} = \frac{88}{5} = \mathbf{17{,}6}$ cm².
3. $\sigma = \sqrt{17{,}6} \approx \mathbf{4{,}20}$ cm.
4. En moyenne, les tailles s'écartent d'environ $4{,}2$ cm de la moyenne $167$ cm : les tailles sont assez groupées.
Exercice 4 — Comparaison de deux séries
1. $\bar{x}_A = \bar{x}_B = 20$ : même volume moyen de ventes.
2. $\sigma_A = 2 \lt \sigma_B = 7$ : le vendeur A est plus régulier (ventes peu dispersées d'un jour à l'autre).
3. Le vendeur A, car ses ventes varient peu : le volume quotidien est plus prévisible.
Exercice 5 — Effet d'une transformation sur les indicateurs
1. Moyenne $= 11 + 1 = \mathbf{12}$ ; écart-type inchangé $= \mathbf{2}$ (ajouter une constante ne modifie pas la dispersion).
2. Moyenne $= 11 \times 2 = \mathbf{22}$ ; écart-type $= 2 \times 2 = \mathbf{4}$ (multiplier par $k$ multiplie $\sigma$ par $k$).
3. Ajouter une constante décale toutes les valeurs ET la moyenne d'autant : les écarts $x_i - \bar{x}$ restent identiques, donc la variance et l'écart-type ne changent pas.
Ce contrôle de mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Statistiques : moyenne et écart-type » : 5 exercices, 50 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Lecture d'un tableau d'effectifs/ 4 pts
- Exercice 2 — Médiane et quartiles/ 5 pts
- Exercice 3 — Moyenne, variance et écart-type/ 5 pts
- Exercice 4 — Comparaison de deux séries/ 3 pts
- Exercice 5 — Effet d'une transformation sur les indicateurs/ 3 pts
Notions évaluées
Série statistique, effectifs et fréquences, La moyenne, Médiane et quartiles, Étendue : une première mesure de dispersion, Variance et écart-type, Interpréter et comparer des séries.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 50 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
Voir tous les contrôles de mathématiques 1ʳᵉ · tous les devoirs surveillés corrigés
Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Statistiques : moyenne et écart-type » ?
- 50 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 50 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Statistiques : moyenne et écart-type » du programme officiel de mathématiques en première, soit Série statistique, effectifs et fréquences, La moyenne, Médiane et quartiles, Étendue : une première mesure de dispersion.
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs